基于部分耦合模型的干擾抑制分散控制器設(shè)計(jì)

蔡 鋈 沈 鵬 杜星瀚

（1.廣州番禺職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 511483；2.江蘇師范大學(xué)，江蘇 徐州 221116）

0 引言

干擾廣泛存在于過程工業(yè)并會(huì)對(duì)系統(tǒng)的控制性能產(chǎn)生不利影響，導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法完成期望的控制目標(biāo)，產(chǎn)品質(zhì)量下降[1]。不同于簡(jiǎn)單的單變量系統(tǒng)，大部分的工業(yè)過程控制系統(tǒng)都具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出，回路間存在著復(fù)雜的耦合作用，并且由于物料、能量和信號(hào)的傳輸不可避免地存在延時(shí)，這類系統(tǒng)普遍含有時(shí)滯，這些特性都對(duì)控制系統(tǒng)的干擾抑制造成了阻礙[2]。

目前，時(shí)滯多變量系統(tǒng)的控制方法按照對(duì)耦合的不同處理大致可分為分散控制、（完全）解耦控制和部分解耦控制。其中，分散控制具有對(duì)角型控制器，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)，但并未對(duì)耦合進(jìn)行任何處理；解耦和部分解耦控制則是通過引入額外的解耦器或設(shè)計(jì)具有解耦功能的集中控制器，對(duì)回路間的耦合進(jìn)行去除或部分保留，這類方法相對(duì)復(fù)雜，且大多以改善系統(tǒng)的跟蹤性能為目標(biāo)。鑒于此，在實(shí)際的工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的分散控制目前仍被廣泛應(yīng)用，并且很多先進(jìn)控制策略的底層實(shí)現(xiàn)也仍依賴于這種傳統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)。

為了在不改變控制系統(tǒng)原有硬件結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高系統(tǒng)的干擾抑制能力，本文針對(duì)時(shí)滯多變量系統(tǒng)，提出了一種基于部分耦合模型的干擾抑制分散控制器設(shè)計(jì)方法。通過有選擇地將部分耦合動(dòng)態(tài)包含在被控對(duì)象模型中，實(shí)現(xiàn)了在不增加控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜度的情況下改善系統(tǒng)抗擾性能的目的，為提高實(shí)際過程工業(yè)的生產(chǎn)效益、保證產(chǎn)品質(zhì)量、降低能耗提供了新的思路，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 干擾分析指標(biāo)

1.1 內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)反饋控制具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，目前仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)。圖1為傳統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，圖中Gp（s）為被控對(duì)象；C（s）為反饋控制器；L（s）為干擾向量；r、u、y、d、d0分別為設(shè)定值、操縱變量、系統(tǒng)輸出、干擾和歸一化干擾。

圖1 傳統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

在此控制框架下很難直接分析耦合與系統(tǒng)干擾抑制性能之間的關(guān)系，為此，本文借助內(nèi)?？刂瓶蚣軄碚归_分析，如圖2所示[3]，圖中Gm（s）和CIMC（s）分別為內(nèi)模控制的內(nèi)部模型和控制器。

圖2 等效的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)

通過分析虛線框中的輸入、輸出關(guān)系，不難得出內(nèi)?？刂破髋c反饋控制器之間的等價(jià)關(guān)系，如式（1）（2）所示。在之后的推導(dǎo)中，為簡(jiǎn)化表達(dá)，將在不引起歧義的情況下省略拉普拉斯算子“（s）”。

式中：I為具有相應(yīng)維度的單位矩陣。

1.2 廣義相對(duì)干擾增益

根據(jù)圖2，干擾單獨(dú)作用時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：

其中，（I-GmCIMC）項(xiàng)被視為積分作用，在討論干擾對(duì)輸出的影響時(shí)暫時(shí)將其忽略。

考慮到不同的模型結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)著對(duì)耦合的不同處理，可以根據(jù)模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來展開分析。在完美內(nèi)模控制器（CIMC=Gm-1）下，討論以下兩種情況：

（1）有相互作用，即Gm≠Gp時(shí)，根據(jù)式（3），干擾對(duì)輸出的影響（L*）可表示為：

（2）無(wú)相互作用，即Gm=Gp時(shí)，代入式（4）可得：

基于式（4）（5），廣義相對(duì)干擾增益（Generalized Relative Disturbance Gain，GRDG）被定義為：“存在耦合時(shí)干擾對(duì)輸出的影響”與“完全解耦時(shí)干擾對(duì)輸出的影響”之比[4]，其具體表達(dá)式如式（6）所示。

式中：βi為GRDG的第i個(gè)元素；n為GRDG的維數(shù)；符號(hào)⊙表示向量的對(duì)應(yīng)元素相除。

根據(jù)上述定義，GRDG反映了不同耦合情況下，干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響程度。因此，GRDG指標(biāo)值可被用于分析不同耦合情況（或不同Gm結(jié)構(gòu)）下系統(tǒng)的干擾抑制性能。

（1）若|βi|＞1，說明回路i在不受其他回路影響時(shí)能獲得更好的干擾抑制效果，即此時(shí)應(yīng)對(duì)回路i進(jìn)行解耦；

（2）若|βi|＜1，則說明存在耦合時(shí)的干擾抑制效果更好，此時(shí)應(yīng)保留耦合。

以一個(gè)四室暖通空調(diào)（HVAC）系統(tǒng)為例，如式（7）所示，運(yùn)用上述GRDG指標(biāo)進(jìn)行分析。

假設(shè)該系統(tǒng)受到的干擾為D=[-1 0.5 0.6 0.8]T，d0=1/s?；谑剑?），可求得不同模型結(jié)構(gòu)下的GRDG指標(biāo)值，如表1所示。

表1 不同HVAC模型（Gm）結(jié)構(gòu)下的GRDG指標(biāo)值

顯然，部分耦合的Gm取得了最小的GRDG指標(biāo)值，這也就意味著此時(shí)的控制系統(tǒng)獲得了更優(yōu)的干擾抑制性能。

2 部分耦合模型

從干擾抑制的角度出發(fā)，根據(jù)表1的結(jié)果，應(yīng)選取含有部分耦合的被控對(duì)象模型結(jié)構(gòu)為：

式中：gij（i，j=1，2，3，4）為過程模型Gm第i行第j列的元素。

觀察式（8）可知，此時(shí)的Gpc具有對(duì)角型和滿元素型之間的一般化結(jié)構(gòu)，直接對(duì)其進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。為此，這里基于有效開環(huán)傳遞函數(shù)，對(duì)上述部分耦合模型進(jìn)行對(duì)角近似，而后即可基于此近似的對(duì)角模型來直接設(shè)計(jì)分散控制器。

2.1 有效開環(huán)傳遞函數(shù)

有效開環(huán)傳遞函數(shù)（Effective Open-loop Transfer Function，EOTF）被定義為：反饋控制框架下（圖1），本回路開環(huán)而其他回路閉合時(shí)，本回路輸入/輸出間的等效傳遞函數(shù)[5]。將式（8）的Gpc作為新的被控對(duì)象，替換圖1中的Gp，推導(dǎo)此時(shí)各回路的EOTF。根據(jù)輸入/輸出關(guān)系，有：

式中：gii為回路i的主通道模型；Gpc，-ii為Gpc去掉第i行和第i列后得到的矩陣；Gpc，*i和Gpc，i*分別為Gpc的第i列和第i行去掉gii后得到的列向量和行向量；yi和ui分別為回路i的輸出和輸入；y-i和u-i分別為y和u去掉第i個(gè)元素后得到的向量。

經(jīng)推導(dǎo)計(jì)算，得到回路i的有效開環(huán)傳遞函數(shù)為：

結(jié)合式（8）（10），可求得各回路的EOTF如式（11）所示。

2.2 模型近似

上述得到的EOTF模型通常較為復(fù)雜，難以直接用于控制器設(shè)計(jì)，為此，這里采用麥克勞林（Maclaurin）展開式來進(jìn)行模型近似和化簡(jiǎn)，具體步驟如下：

步驟一，對(duì)式（11）中的EOTF進(jìn)行Maclaurin展開，系數(shù)aii、bii和cii分別為：

步驟二，若將其近似為一階加時(shí)滯（FOPTD）模型，則同樣對(duì)此FOPTD模型進(jìn)行Maclaurin展開，得到：

步驟三，令式（12）和（13）中關(guān)于“s”的各項(xiàng)系數(shù)分別相等，最終可得：

基于上述方法對(duì)式（11）中的EOTF模型進(jìn)行近似，最終得到含有部分耦合的對(duì)角近似模型為：

3 分散控制器設(shè)計(jì)

在將部分耦合模型近似為對(duì)角模型后，就可采用單變量系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的一系列方法來分別設(shè)計(jì)各回路的控制器。

考慮到內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)單、參數(shù)少且易于轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)反饋控制器的特點(diǎn)，此處先通過兩步設(shè)計(jì)法得到內(nèi)模控制器，而后基于等效關(guān)系得到最終的分散控制器。

依照內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)的兩步法，首先，將回路i的主通道模型進(jìn)行分解。需要注意的是，這里的主通道模型為2.2節(jié)中得到的近似對(duì)角模型中的元素，如式（16）所示。

而后，回路i的內(nèi)?？刂破骺稍O(shè)計(jì)為：

式中：fi（s）為低通濾波器，保證了控制器可實(shí)現(xiàn)；ni為濾波器的階次；λi為濾波器常數(shù)，是唯一待整定的參數(shù)。

最后，將式（17）代入式（2），即可得到回路i的等效反饋控制器，為：

為便于工業(yè)實(shí)現(xiàn)，還可將式（18）的控制器轉(zhuǎn)化為PID形式，在此不多做說明。

延續(xù)先前對(duì)HVAC系統(tǒng)的分析，將本文方法與分散控制[6]和反向解耦控制[7]方法進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果如圖3和表2所示（λi=45；i=1，2，3，4）。很顯然，所提方法不論是在干擾響應(yīng)幅值、穩(wěn)定時(shí)間等動(dòng)態(tài)性能方面，還是在誤差積分（IAE）、TV指標(biāo)方面，都取得了比另兩種方法更好的效果。

圖3 HVAC過程的干擾輸出響應(yīng)

表2 HVAC干擾響應(yīng)的性能指標(biāo)

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)時(shí)滯多變量系統(tǒng)的干擾抑制問題，提出了一種基于部分耦合模型的干擾抑制分散控制器設(shè)計(jì)方法。通過耦合分析，從干擾抑制的角度出發(fā)，構(gòu)建了包含部分耦合動(dòng)態(tài)的被控對(duì)象模型，而后對(duì)該模型進(jìn)行對(duì)角近似，在不影響系統(tǒng)性能的情況下極大地簡(jiǎn)化了分散控制器的設(shè)計(jì)。最后，將本文方法與其他兩種方法進(jìn)行仿真對(duì)比，仿真結(jié)果證實(shí)了所提方法的優(yōu)越性。