破思維定勢(shì) 變思維角度 提思維品質(zhì)
——例談解析幾何中與“聯(lián)立”相關(guān)的思維定勢(shì)

金一鳴 常梨君

(江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) 213001)

1 問(wèn)題提出

思維定勢(shì)(thinking set)，也稱“慣性思維”，是由先前的活動(dòng)而造成的一種對(duì)活動(dòng)的特殊的 心理準(zhǔn)備狀態(tài)，或活動(dòng)的傾向性．在數(shù)學(xué)問(wèn)題 解決中，思維定勢(shì)對(duì)問(wèn)題解決有積極的一面：利用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與當(dāng)前問(wèn)題情境建立聯(lián)系，進(jìn)行比較，把新問(wèn)題化歸成一個(gè)已解決的熟知舊問(wèn)題． 思維定勢(shì)亦有消極的一面：易產(chǎn)生思想上的惰性， 養(yǎng)成呆板的解題習(xí)慣．尤其當(dāng)新舊問(wèn)題形似質(zhì) 異時(shí)，思維的定勢(shì)會(huì)使解題者步入誤區(qū)，造成知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，成為束縛創(chuàng)造性思維的一道枷鎖．

面對(duì)解析幾何問(wèn)題，學(xué)生畏想、畏算，加之部分教師以考試得分為目的的引導(dǎo)，解答往往只有“三板斧”：一寫標(biāo)準(zhǔn)方程，二列二元二次方程組，三用韋達(dá)定理．不可否認(rèn)這種所謂“直線聯(lián)立法”是解決直線與圓錐曲線相交的“通法”，但低級(jí)的思維定勢(shì)必定阻礙了學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)與核心素養(yǎng)的提升，與新課程理念背道而馳．

2 常見(jiàn)思維定勢(shì)及思維突破

新高考“反套路，反刷題”，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)理性思維的價(jià)值，注重?cái)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)性，突出關(guān)鍵能力的考查，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法有更深刻的認(rèn)知．解析幾何問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、題目靈活多變等特點(diǎn)，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等核心素養(yǎng)的重要載體．筆者列舉解析幾何中與“聯(lián)立”相關(guān)的常見(jiàn)思維定勢(shì)，探討如何破除思維定勢(shì)，變化思維角度，提高思維品質(zhì)，提升核心素養(yǎng)．

2.1 定勢(shì)一：一定利用“直聯(lián)法”

例1(2013年全國(guó)II卷文)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，若AF=3BF，則l的方程為( )．

A．y=x-1或y=-x+1

點(diǎn)評(píng)利用直聯(lián)法(直線與拋物線聯(lián)立+韋達(dá)定理)設(shè)而不求構(gòu)造關(guān)于k的方程，是解決本題的常規(guī)思路．事實(shí)上，利用算兩次思想，將AF=3BF進(jìn)行雙重解讀，直接構(gòu)造點(diǎn)坐標(biāo)的二元方程，可以得到A,B是定點(diǎn)，進(jìn)而求出斜率，此法更直接明了．

2.2 定勢(shì)二：一定選擇直線聯(lián)立

(2)點(diǎn)A,B,D是雙曲線C上不同的三點(diǎn)，且B,D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，△ABD的外接圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求證：直線AB與圓x2+y2=1相切．

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵之處在于如何利用y1y2=1得到雙參數(shù)m,n之間的關(guān)系．以A,B兩點(diǎn)為研究對(duì)象，利用其為三種曲線(直線、圓、雙曲線)公共點(diǎn)的身份，將思維從直線與曲線聯(lián)立中解脫出來(lái)，引入曲線與曲線聯(lián)立，“算兩次”得到m,n的關(guān)系式，從而簡(jiǎn)便求解．

2.3 定勢(shì)三：一定利用直線消元

圖1

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是四元表達(dá)式3y1(x2-3)=y2(x1-3)的化簡(jiǎn)，利用直線x=my+n消元化為2my1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0，但這個(gè)表達(dá)式“不對(duì)稱”，直接利用韋達(dá)定理不方便，需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)換視角，利用點(diǎn)在橢圓上消元，可直接得到4x1x2-15(x1+x2)+36=0，后續(xù)求解自然水到渠成．

2.4 “聯(lián)立”的教材溯源

翻閱人教A版選擇性必修一，與聯(lián)立相關(guān)的內(nèi)容在解析幾何各個(gè)章節(jié)中都有滲透，以具體的例題為依托，大多以“位置關(guān)系判定”“求弦長(zhǎng)”為主．曲線方程“聯(lián)立”的幾何解釋為：如果曲線C1:f(x,y)=0與曲線C2:f(x,y)=0有公共點(diǎn)，那么公共點(diǎn)滿足曲線C1,C2的方程，即公共點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解，方程組解的個(gè)數(shù)是公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．據(jù)此判定直線與曲線的位置關(guān)系，解決相關(guān)后續(xù)問(wèn)題．由上可知，聯(lián)立只是一種手段，為何要聯(lián)立？誰(shuí)和誰(shuí)聯(lián)立？聯(lián)立后消哪個(gè)變量？這些聯(lián)立背后的底層邏輯需要厘清．

3 三點(diǎn)啟示

3.1 形成定勢(shì)，夯實(shí)解幾之基

將幾何對(duì)象坐標(biāo)化、方程化，再進(jìn)行代數(shù)討論，最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論，這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”．幾何量的坐標(biāo)化最終都可以歸結(jié)到“點(diǎn)的坐標(biāo)化”，聯(lián)立的目的就是求點(diǎn)的坐標(biāo)，如果點(diǎn)的坐標(biāo)可解，那么整個(gè)問(wèn)題就迎刃而解，但坐標(biāo)求解后常為含參多元，所以常利用“設(shè)而不求”的思想．“直線與二次曲線聯(lián)立”是解析幾何在“代數(shù)討論”中常用的一種通法，其解題模式如圖2，這種解題模式能幫助我們快速解決一部分直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題．

圖2

從行為主義的角度來(lái)看，學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)建立聯(lián)系的過(guò)程，刺激呈現(xiàn)方式、反應(yīng)后的強(qiáng)化以及重復(fù)練習(xí)的數(shù)量等是影響刺激與反應(yīng)之間建立聯(lián)系的主要因素．因此，對(duì)于解析幾何教學(xué)，將“直線聯(lián)立法”進(jìn)行一定量的訓(xùn)練與強(qiáng)化并形成定勢(shì)，可以有效縮短學(xué)生解決問(wèn)題的時(shí)間，提升解題技能，提振數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心．

3.2 突破定勢(shì)，回歸解幾之源

從“注重圖形分析，巧妙坐標(biāo)轉(zhuǎn)化”著手，破除唯“直線聯(lián)立法”論，探索解析幾何解題的基本思路才是解析幾何教學(xué)的方向．從不同視角將幾何量坐標(biāo)化，最終的化簡(jiǎn)結(jié)果殊途同歸，但運(yùn)算量卻差異很大.以例1中“直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，若AF=3BF”這個(gè)條件坐標(biāo)化為例(表1)，已知F(1,0)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)．

表1

由上可以看出，解析幾何的“坐標(biāo)化”可以從位置關(guān)系(點(diǎn)、直線、曲線三者位置關(guān)系)，距離(點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、線線距)，角(三角形內(nèi)角、傾斜角、向量夾角)等方向入手．一方面，在定勢(shì)突破過(guò)程中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生厘清解題思路與方法，明確相關(guān)解題方法的內(nèi)在原理與底層邏輯；另一方面，教師要鍛煉學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有問(wèn)題選擇恰當(dāng)解題方法的能力，讓學(xué)生從解數(shù)學(xué)題走向解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．

3.3 體悟思想，提升核心素養(yǎng)

“形成定勢(shì)”，再“突破定勢(shì)”，使學(xué)生在“先立后破，破后再立”的過(guò)程中掌握解決解析幾何問(wèn)題的基本思路．學(xué)生解題的目的不能僅僅停留在獲得答案的淺水區(qū)，而應(yīng)該在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.教師更要通過(guò)自身的引導(dǎo)，讓學(xué)生領(lǐng)悟問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生思維的提升，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．