三階非線性邊值問(wèn)題正解的存在性

張麗，閆善文

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

1 問(wèn)題與主要定理

在泛函分析理論以及實(shí)際問(wèn)題的推動(dòng)下，微分方程邊值問(wèn)題的研究發(fā)展十分迅速。越來(lái)越多的學(xué)者利用一些著名的不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法等理論工具,研究微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性和多重性[1-6]，并且隨著研究的深入，出現(xiàn)了許多研究方向如：奇異邊值問(wèn)題[7-12]，流體問(wèn)題中的邊值問(wèn)題[13-16]，帶算子的微分方程邊值問(wèn)題[17-18]，脈沖邊值問(wèn)題[19-20]等。

研究如下形式的三階非線性邊值問(wèn)題

這里參數(shù)ρ＞0。

首先，給出正解定義。

定義1稱函數(shù)u（t）為邊值問(wèn)題（1）的一個(gè)正解，如果它滿足

其次，假設(shè)如下：

（H4）對(duì)幾乎所有的t∈（0，1），f(t，u)關(guān)于u≥0單調(diào)非增。

最后，在上述假設(shè)條件下，得到本文的主要結(jié)果。

定理1假設(shè)（H1），（H2）或（H1），（H3）成立，則邊值問(wèn)題（1）至少存在一個(gè)正解。

定理2假設(shè)（H1），（H3），（H4）成立，則邊值問(wèn)題（1）存在唯一的正解。

在假設(shè)（H1），（H3），（H4）之下，f(t，u)可以有適當(dāng)?shù)钠嫘?，例如f(t，u)=滿足（H1），（H3），（H4）。

2 預(yù)備工作

設(shè)C[0，1]是[0，1]上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，記

容易知道（2）等價(jià)于下述的積分方程

這里給出Green函數(shù)G（t，s）形式

若ν（t）是（3）的一個(gè)正解，令u（t）=Jν（t），則容易導(dǎo)出u（t）是（1）的一個(gè)正解。

引理1?s，t?[0，1]有

證明 利用Taylor公式易知

因此

在C[0，1]中定義錐K為：

引理2 Φ：K→K全連續(xù)。

證明?ν?K，由引理1知

于是

因此Φν?K，即Φ（K）?K。

另外，記D是C+[0，1]中的任何有界集，Φ（D）一致有界且等度連續(xù)，由Ascoli-Arzela定理的應(yīng)用可知，Φ（D）是相對(duì)緊的，又Φ是連續(xù)算子，故Φ：K→K是全連續(xù)的。

為尋找Φ在K中的非零不動(dòng)點(diǎn)，需要下述的錐不動(dòng)點(diǎn)定理，參見(jiàn)[21]。

引理3（錐不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)E是Banach空間，K是E中的錐，Φ：K→K是全連續(xù)算子，記Kr={u?K；‖u‖＜r}，

（i）如果對(duì)任何u??Kr，及任何0＜λ≤1都有λΦu≠u(mài)，則i（Φ，Kr，K）=1；

3 定理1的證明

假設(shè)（H1），（H2）成立.由（H2）知可選擇ε?（0，μσ）及r＞0，使當(dāng)0≤u≤r時(shí)有

f（t，u）≤（μσ-ε）u.

下證?ν??Kr，0＜λ≤1有λΦν≠ν.若不然，則存在ν0??Kr及0＜λ0≤1使λ0Φν0=ν0.由映射Φ的定義知ν0（t）滿足

由于

因此有

即有

這是矛盾的，根據(jù)引理3知i（Φ，Kr，K）=1.

再由（H2）可知，存在ε＞0及H＞0，使當(dāng)u≥H時(shí)

下證?ν∈?KR，λ≥1都有λΦν≠ν.若不然，則存在ν0∈?KR，λ0≥1，使λ0Φν0=ν0，即ν0（t）滿足（7）式，再令u0乘以（8）式兩邊并在[0，1]上積分得到

另外有

于是有

i（Φ，KR，K）=0.

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性知

假設(shè)（H1），（H3）成立。由（H3）知存在ε＞0及r＞0，使當(dāng)0≤u≤r時(shí)有，因Jν于是，與（11）式的計(jì)算相類(lèi)似可得故

現(xiàn)證?ν∈?Kr，λ≥1，有λΦν≠ν.若不然，則存在ν0??Kr及λ0≥1，使λ0Φν0=ν0。于是ν0（t）滿足（7）式，令u0（t）=Jν0（t），則u0（t）滿足（8）式。以乘（8）式兩邊并在[0，1]上積分得到

與（12），（13）兩式的計(jì)算類(lèi)似可得

因此有

即μ＞μ+σε，結(jié)果矛盾。故由引理3知i（Φ，Kr，K）=0。

再由（H3）可知，存在ε?（0，μσ）及H＞0，使當(dāng)u≥H時(shí)有f（t，u）≤（μσ-ε）u，令則有f（t，u）≤（μσ-ε）u+c，?u≥0。

與（9），（10）兩式的計(jì)算類(lèi)似可得

因此有

再由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性知

4 定理2的證明

設(shè)u1（t）和u2（t）都是邊值問(wèn)題（1），（2）的正解，令u（t）=u1（t）-u2（t），則u（t）滿足

現(xiàn)證明在區(qū)間[0，1]上ν（t）=0。否則由ν（0）=0知，在（0，1]上ν（t）≠0。

若ν（1）＜0，由ν（0）=0知存在0≤ɑ＜1，使在（ɑ，1]上ν（t）＜0，ν（ɑ）=0，于是在[ɑ，1]上ν（t）滿足

由此可得

此處

由于在（ɑ，1]上ν（t）=ν1（t）-ν2（t）＜0，有Jν1（t）-Jν2

這與ν（t）＜0相矛盾，故ν（1）=0。

若有t0?（0，1）使ν（t0）＜0，則存在0≤ɑ＜t0＜b≤1，使在（ɑ，b）內(nèi)ν（t）＜0，ν（ɑ）=0，ν（b）=0。我們斷言在[b，1]上ν（t）=0。若不然，則存在t1?（b，1）使ν（t1）≠0可設(shè)ν（t1）＜0，由于ν（b）=ν（1）=0，于是存在區(qū)間[c，d]?（b，1），使在（c，d）內(nèi)ν（t）＜0，ν（c）=0，ν（d）=0，不妨設(shè)c=b，d=1于是在[b，1]上ν（t）滿足

由此可得

這里

由于在（b，1）內(nèi)，ν（t）=ν1（t）-ν2（t）＜0，故Jν1（t）-

這與在（b，1）內(nèi)ν（t）＜0相矛盾。

綜上可知，在[ɑ，b]上ν（t）滿足

因在[b，1]上ν（t）=0，故

因此f（t，Jν1）-f（t，Jν2）≥0，t?[ɑ，b]。于是可導(dǎo)出

其中

這與在（ɑ，b）內(nèi)ν（t）＜0相矛盾。

5 結(jié)論

研究了含參數(shù)三階非線性邊值問(wèn)題u?（t）-ρ2u′（t）=f（t，u（t）），（0＜t＜1，ρ＞0）；u′（0）=0，u（1）=0，u″（1）=0正解存在性。首先給出了該問(wèn)題正解存在的充分條件；其次構(gòu)造了此問(wèn)題的Green函數(shù)，利用Green函數(shù)的性質(zhì)，在適當(dāng)?shù)目臻g上定義映射，將積分方程轉(zhuǎn)化為算子方程，進(jìn)而將該邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程；最后利用錐不動(dòng)點(diǎn)定理證明正解的存在性。