推導(dǎo)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

◎樊賢澤

(石門縣太平鎮(zhèn)中心學(xué)校，湖南 石門 415328)

一、證n次冪差公式

指數(shù)相同的兩冪差，在指數(shù)是大于等于2的整數(shù)情況下，有下面這個(gè)公式——n次冪差公式：

an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1).

當(dāng)指數(shù)是不小于3的奇數(shù)時(shí)，此情形下的公式驗(yàn)證可以這樣做.

如圖1所示，令a>b>0，冪差a2k+3-b2k+3可認(rèn)為是：從一個(gè)相鄰邊長為a2，a2k+1的矩形里截去一個(gè)相鄰邊長為b2，b2k+1的矩形后剩下部分的面積.

圖1

則可得等式：

a2k+3-b2k+3=a2k+1(a2-b2)+b2(a2k+1-b2k+1).

不難驗(yàn)證，當(dāng)k∈Z,k≥0，a，b∈R時(shí)，這個(gè)等式是成立的.

利用這個(gè)等式可得指數(shù)為不小于3的奇數(shù)的情形下的冪差公式.

將k=0代入等式計(jì)算:

a3-b3

=a(a2-b2)+b2(a-b)

=(a-b)(a2+ab+b2).

將k=1代入等式并利用k=0時(shí)的結(jié)論計(jì)算：

a5-b5

=a3(a2-b2)+b2(a3-b3)

=a3(a2-b2)+b2(a-b)(a2+ab+b2)

=(a-b)(a4+ab3+a2b2+ab3+b4).

將k=2代入等式并利用k=1時(shí)的結(jié)論計(jì)算：

a7-b7

=a5(a2-b2)+b2(a5-b5)

=a5(a2-b2)++b2(a-b)(a4+a3b+…+ab3+b4)

=(a-b)(a6+a5b+…+ab5+b6).

由此可推知：同指數(shù)且指數(shù)為奇數(shù)(不小于3)的冪差公式如下：

a2k+3-b2k+3=(a-b)(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2).

指數(shù)是非2n的不小于6的偶數(shù)，可用奇指數(shù)的n次冪差公式證得偶指數(shù)的n次冪差公式.將非2n的不小于6的偶數(shù)記作2(2k+3)(k∈Z).

a2(2k+3)-b2(2k+3)

=(a2k+3+b2k+3)(a2k+3-b2k+3)

=(a-b)(a2k+3+b2k+3)(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2).

因?yàn)閍2k+3(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2)=a4k+5+a4k+4b+…+a2k+4b2k+1+a2k+3b2k+2，

b2k+3(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2)=a2k+2b2k+3+a2k+1b2k+4+…+ab4k+4+b4k+5，

所以a2(2k+3)-b2(2k+3)

=(a-b)(a2k+3+b2k+3)(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2)

=(a-b)(a4k+5+a4k+4b+…+ab4k+4+b4k+5).

若指數(shù)是2k(k≥1)，則n次冪差公式也適用.

a2-b2

=(a-b)(a+b).

a4-b4

=(a2-b2)(a2+b2)

=(a-b)(a+b)(a2+b2)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3).

…

思路同前面所述的一樣，用幾何圖形表示a2k+3+b2k+3(a>b>0)(如圖2所示).

圖2

構(gòu)造下面這個(gè)等式，用它可證明指數(shù)為奇數(shù)情形時(shí)的n次冪和公式.

a2k+3+b2k+3

=a2(a2k+1+b2k+1)-b2k+1(a2-b2).

將k=0代入等式計(jì)算：

a3+b3

=a2(a+b)-b(a2-b2)

=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)(a2-ab+b2).

將k=1代入等式并利用k=0時(shí)的結(jié)論計(jì)算：

a5+b5

=a2(a3+b3)-b3(a2-b2)

=(a+b)(a2(a2-ab+b2)-b3(a-b))

=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4).

將k=2代入等式并利用k=1時(shí)的結(jié)論計(jì)算：

a7+b7

=(a+b)(a6-a5b+a4b2-a3b3+a2b4-ab5+b6).

…

a2k+3+b2k+3

=(a+b)(a2k+2-a2k+1b+a2kb2-…+a2b2k-ab2k+1+b2k+2).

p，q為常量，根據(jù)冪函數(shù)的圖像特征可得：

=p.

=q.

三、推導(dǎo)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

對(duì)于給定的x(x≠0),

利用此極限，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可推導(dǎo)出實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的形如f(x)=xu(x≠0,u≠0)的冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式.若變量為0，則需另外討論.過程看似與教材上的一樣，但其涉及的極限的導(dǎo)出不同于教材.

f′(x)

=(xu)′

=uxu-1

=uxu-1.

冪函數(shù)f(x)=xu(x≠0,u≠0)的導(dǎo)數(shù)公式可記為：

f′(x)=(xu)′=uxu-1(u≠0,u∈R).

四、推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

f′(x)

=(ax)′

=axlna.