基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號意識”培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計
——以人教版數(shù)學(xué)“圓的周長”為例

◎步 寧 劉桂宏

(伊犁師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，新疆 伊寧 835000)

一、引言

數(shù)學(xué)符號意識是學(xué)生的核心素養(yǎng)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，符號意識是指能夠理解并運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性[1].“數(shù)學(xué)符號意識”包括：數(shù)學(xué)符號感知、數(shù)學(xué)符號運(yùn)算、數(shù)學(xué)符號推理、數(shù)學(xué)符號表征等[2].

自2011年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來，數(shù)學(xué)符號意識持續(xù)受到關(guān)注.馬云鵬，宋乃慶等認(rèn)為要建立數(shù)學(xué)符號意識的測評指標(biāo)體系.陶紅強(qiáng)等認(rèn)為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識要從具體的行為層面進(jìn)行分析.朱立明等對小學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的發(fā)展水平進(jìn)行了實(shí)證研究.

小學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)是由低水平向高水平提升的過程，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)“符號意識”培養(yǎng)能實(shí)現(xiàn)其由低階向高階的轉(zhuǎn)變.學(xué)習(xí)進(jìn)階是指“對學(xué)生在一個較大時間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題時，連貫的思維路徑的假定性描述”[3].學(xué)習(xí)進(jìn)階的基本要素包括進(jìn)階起點(diǎn)、進(jìn)階終點(diǎn)、進(jìn)階維度、各水平預(yù)期表現(xiàn)(教學(xué)目標(biāo))及其評估[4].

將“學(xué)習(xí)進(jìn)階”與數(shù)學(xué)“符號意識”相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，不僅為小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)符號教學(xué)提供了有進(jìn)階維度、易于操作、易于評價的教學(xué)設(shè)計，還利于小學(xué)生根據(jù)各進(jìn)階水平的教學(xué)設(shè)計理解、掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號.

圓周長的學(xué)習(xí)對小學(xué)生來說是一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，既是對先前平面圖形周長、轉(zhuǎn)化思想等的復(fù)習(xí)，又是初步學(xué)習(xí)曲線圖形的開始，從而為以后學(xué)習(xí)圓柱圓錐等知識打下基礎(chǔ).基于此，本研究以人教版數(shù)學(xué)六年級“圓的周長”為例.

二、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號意識”教學(xué)設(shè)計的理論構(gòu)建

根據(jù)NRC等機(jī)構(gòu)與學(xué)者對學(xué)習(xí)進(jìn)階包含的基本要素的研究，以及馬云鵬與朱立明學(xué)者對數(shù)學(xué)符號意識內(nèi)涵的探討，構(gòu)建教學(xué)設(shè)計框架，如圖1所示.

圖1 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號意識”教學(xué)設(shè)計框架

(一)理論框架的建構(gòu)

進(jìn)階起點(diǎn)是小學(xué)生已有的相關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及數(shù)學(xué)需要等.數(shù)學(xué)符號感知、運(yùn)算、推理、表征是小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識的四個進(jìn)階維度，每個進(jìn)階維度可分為三個進(jìn)階水平.小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識的進(jìn)階終點(diǎn)分別是全面感知狀態(tài)、符號抽象運(yùn)算階段、抽象符號推理階段及靈活性表征狀態(tài).在進(jìn)階水平中融入評價，測量學(xué)生對核心知識的理解和掌握情況[5].評價是根據(jù)進(jìn)階水平的教學(xué)目標(biāo)確定的.

(二)理論框架的運(yùn)作

整個框架是基于進(jìn)階起點(diǎn)并通過評價不斷由一個進(jìn)階水平或進(jìn)階維度推進(jìn)到更高進(jìn)階水平或進(jìn)階維度的.例如，數(shù)學(xué)符號感知維度，教師通過課前對學(xué)生的訪談、問卷等調(diào)查，評價學(xué)生是否具有本課時的前概念，具有90%的相關(guān)前概念，就進(jìn)階到水平1-1.達(dá)到水平1-1的評價標(biāo)準(zhǔn)才能進(jìn)入到水平1-2，否則就要停留在當(dāng)前水平.當(dāng)水平1-2達(dá)到評價要求時，可進(jìn)入水平1-3，即數(shù)學(xué)符號感知的最高水平(進(jìn)階終點(diǎn))——全面感知狀態(tài).當(dāng)水平1-3達(dá)到教學(xué)目標(biāo)且整個維度的學(xué)習(xí)達(dá)到評價標(biāo)準(zhǔn)時，將進(jìn)入下一進(jìn)階維度，即數(shù)學(xué)符號運(yùn)算維度.

三、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號意識”教學(xué)設(shè)計的實(shí)踐應(yīng)用

進(jìn)階起點(diǎn)如下：在學(xué)習(xí)圓的周長前，學(xué)生已習(xí)得周長C的一般概念，懂得圓的周長，學(xué)習(xí)過直徑d、半徑r及兩者的關(guān)系，能進(jìn)行邏輯思維運(yùn)算等.“圓的周長”的教學(xué)設(shè)計是在具體進(jìn)階維度中展開的.

(一)數(shù)學(xué)符號感知

數(shù)學(xué)符號的感知是指對數(shù)學(xué)符號“π”的一種直觀認(rèn)知.這一維度對應(yīng)的核心知識是圓周率π的產(chǎn)生、書寫及讀法.按照數(shù)學(xué)符號感知的狀態(tài)將這一維度分成三個水平.

水平1-1：混淆感知狀態(tài)

混淆感知狀態(tài)的典型特征是學(xué)生不能理解圓周率π的內(nèi)涵及意義.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：能準(zhǔn)確認(rèn)識圓周率π并會讀會寫，了解圓周率的發(fā)展歷史.

教學(xué)過程：教師利用課本插畫“祖沖之與圓周率的故事”向?qū)W生講述圓周率與祖沖之的淵源及其發(fā)展歷程.通過講故事，使學(xué)生對數(shù)學(xué)符號π有一個模糊的印象，激起學(xué)生對圓周率π的學(xué)習(xí)熱情與興趣.教師追問：“同學(xué)們，你們想知道圓周率π怎樣讀，怎樣寫嗎？”教師示范π的讀法并帶領(lǐng)學(xué)生書寫，進(jìn)一步深化學(xué)生對數(shù)學(xué)符號π的感知.

教學(xué)評價：能說出π的名稱，準(zhǔn)確書寫π，復(fù)述我國數(shù)學(xué)家祖沖之與圓周率的故事及其發(fā)展歷程.

水平1-2：孤立感知狀態(tài)

孤立感知狀態(tài)的典型特征是學(xué)生能通過數(shù)學(xué)符號“π”的形式了解其意義，但欠缺對“π、C、d”等符號之間關(guān)系的理解.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：對數(shù)學(xué)符號π的產(chǎn)生過程有清晰的認(rèn)識，會測量圓形學(xué)具的周長.

教學(xué)過程：教師提問：“同學(xué)們，你們想知道圓周率π是如何計算的嗎？”學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，利用準(zhǔn)備好的圓形物體，進(jìn)行“探索圓周率π”的活動，學(xué)生用不同的測量方法測出圓的直徑d與周長C，但是對圓周率π如何計算還沒有眉目.這時，教師啟發(fā)學(xué)生：“我們在學(xué)習(xí)長方形、正方形等圖形的周長時，周長與什么有關(guān)系呢？”學(xué)生在教師的引導(dǎo)下嘗試探索，猜想圓的周長與直徑有關(guān).

教學(xué)評價：能敘述如何通過活動得出π，能通過米尺等工具來測量圓形物體的周長.

水平1-3：全面感知狀態(tài)

全面感知狀態(tài)的典型特征是學(xué)生懂得“π、d、C”等數(shù)學(xué)符號之間的聯(lián)系及意義.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：領(lǐng)會圓周長C、圓直徑d與圓周率π是相互聯(lián)系的.

教學(xué)過程：通過教師的啟發(fā)與合作探究，學(xué)生對圓周率π的產(chǎn)生等知識點(diǎn)有了更加清晰且全面的感知，理解了圓周率π、圓的周長及直徑的關(guān)系.

教學(xué)評價：在已知圓周率π、圓周長C、圓直徑d中的任意兩個值的情況下，準(zhǔn)確計算出第三個量的值.

(二)數(shù)學(xué)符號運(yùn)算

在這一維度，數(shù)學(xué)符號運(yùn)算對應(yīng)的核心知識為圓周長公式的運(yùn)算.按照數(shù)學(xué)符號運(yùn)算的階段將這一維度分成三個水平.

水平2-1：數(shù)字符號運(yùn)算階段

數(shù)字符號運(yùn)算階段的典型特征是學(xué)生根據(jù)測出的圓周長C及圓直徑d，利用運(yùn)算法則解決基本的數(shù)字運(yùn)算.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：能根據(jù)運(yùn)算法則計算具體數(shù)字，準(zhǔn)確得出教師給定的幾組直徑與周長的答案.

教學(xué)過程：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對數(shù)字進(jìn)行計算，用圓形物體的周長除以圓形物體的直徑，算出圓周率的數(shù)值.由此，學(xué)生得出圓周長的計算公式C=πd.教師給出幾組直徑d的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生利用公式計算圓的周長，加深學(xué)生對圓周長公式的記憶與理解.

教學(xué)評價：能夠得到90%的正確答案，并對錯誤的答案進(jìn)行及時的修改.

水平2-2：符號形式運(yùn)算階段

符號形式運(yùn)算階段的典型特征是學(xué)生能夠理解數(shù)字符號運(yùn)算的算理，但是不認(rèn)為圓周長與圓直徑具有對應(yīng)關(guān)系.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：能夠靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計算.

教學(xué)過程：學(xué)生在計算教師給定的幾組直徑d的數(shù)據(jù)時，能夠利用圓周長計算公式及乘法運(yùn)算規(guī)則計算.但是在教師給出的圓周長C與給出的直徑d計算結(jié)果相等時，學(xué)生不能直接得出圓的直徑，還要運(yùn)用圓周長公式及除法規(guī)則計算圓的直徑.

教學(xué)評價：在計算的過程中能準(zhǔn)確運(yùn)用公式，將未知的量與已知的量填寫在準(zhǔn)確的位置上，得出正確的答案.

水平2-3：符號抽象運(yùn)算階段

符號抽象運(yùn)算階段的典型特征是學(xué)生在水平2-2的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多組數(shù)據(jù)的練習(xí)及總結(jié)，能夠意識到C與d的關(guān)系.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：對圓周長公式的計算結(jié)果進(jìn)行整理，懂得數(shù)據(jù)具有一定的普遍性.

教學(xué)過程：當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生整理結(jié)果時，學(xué)生對數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)直徑確定時，周長是不變的；周長確定時，直徑是不變的.學(xué)生能對常用的數(shù)據(jù)進(jìn)行記憶，在解題時能夠快速準(zhǔn)確地得出結(jié)果.

教學(xué)評價：理解圓周長與直徑是一一對應(yīng)的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確記憶常用的直徑與對應(yīng)周長的值、周長與對應(yīng)直徑的值.

(三)數(shù)學(xué)符號推理

數(shù)學(xué)符號推理主要是合情推理與演繹推理.數(shù)學(xué)符號推理需要學(xué)生親身體驗(yàn)推理的過程進(jìn)行感悟.這一維度對應(yīng)的核心知識為圓周長公式的推理過程.按照數(shù)學(xué)符號推理的階段將這一維度分成三個水平.

水平3-1：混亂符號推理階段

混亂符號推理階段的典型特征是學(xué)生對數(shù)學(xué)符號“π、d、C”無法清晰地推理，邏輯思維處于混亂狀態(tài).教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：在利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行嘗試的過程中，能夠準(zhǔn)確找到圓形物體的周長與直徑的固定關(guān)系，即π.

教學(xué)過程：在課程開始時，學(xué)生對如何得出圓周率π是完全沒有思路的.當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生從已知的數(shù)據(jù)出發(fā)，學(xué)生開始嘗試計算，有的學(xué)生用圓周長C與直徑d相加、相減、相除、相乘，這是對圓周率π的盲目嘗試.最后經(jīng)過教師的引導(dǎo)及學(xué)生對數(shù)據(jù)的總結(jié)，用圓周長C與直徑d相除，得出π的近似值3.14.

教學(xué)評價：能理解只有圓形物體周長與直徑的比值才是固定的，π近似于3.14.

水平3-2：單一符號推理階段

單一符號推理階段的典型特征是能夠運(yùn)用合情推理或演繹推理對圓周長公式C=πd進(jìn)行驗(yàn)證.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：能通過探究圓周率π，得出圓周長的計算公式，并對公式進(jìn)行驗(yàn)證.

教學(xué)過程：學(xué)生運(yùn)用圓周長公式進(jìn)行演繹推理，測量圓形物體的直徑，并將圓周率π取近似值3.14，將數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行計算，得出圓的周長數(shù)值與圓周長測量值近似.學(xué)生對周長與直徑的數(shù)值是一一對應(yīng)的結(jié)論持有懷疑，經(jīng)過演繹推理的證實(shí)才堅信這一結(jié)論.

教學(xué)評價：將數(shù)據(jù)帶入圓周長公式，能進(jìn)行準(zhǔn)確的檢驗(yàn)，對公式中的各個符號有準(zhǔn)確的理解.

水平3-3：抽象符號推理階段

抽象符號推理階段的典型特征是學(xué)生能夠運(yùn)用合情推理、演繹推理對圓周長公式的變形公式進(jìn)行檢驗(yàn).教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：能對圓周長公式進(jìn)行變形，對得出的公式進(jìn)行驗(yàn)證.

(四)數(shù)學(xué)符號表征

數(shù)學(xué)符號表征是從雜亂無章的問題中找出規(guī)律，從而提升自身的思維水平及解決問題的能力.這一維度對應(yīng)的核心知識是圓周長公式的應(yīng)用.按照數(shù)學(xué)符號表征的狀態(tài)將這一維度分成三個水平.

水平4-1：無意識表征狀態(tài)

無意識表征狀態(tài)的典型特征是學(xué)生無法準(zhǔn)確選擇“π、C、d”等數(shù)學(xué)符號對問題進(jìn)行表征，對數(shù)學(xué)符號的運(yùn)用處于模糊的水平.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：在解決圓周長問題的過程中能夠正確書寫圓周長公式并且懂得符號的含義.

教學(xué)過程：學(xué)生在進(jìn)行練習(xí)題的計算時，能熟練運(yùn)用圓周長公式C=πd，但無法正確表征公式.例如，進(jìn)行長方形、正方形、圓周長的混合計算時，學(xué)生不會有意識地使用表示周長的符號“C”，而是用漢字來表示所計算圖形的周長，如“正方形的周長”.少數(shù)使用計算公式的學(xué)生，其圓周長公式的書寫存在問題.

教學(xué)評價：有90%的學(xué)生能準(zhǔn)確運(yùn)用圓周長公式C=πd進(jìn)行計算.

水平4-2：機(jī)械性表征狀態(tài)

機(jī)械性表征狀態(tài)的典型特征是學(xué)生無法準(zhǔn)確選擇與圖形相對應(yīng)的“周長C”對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表征.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：能準(zhǔn)確運(yùn)用圓周長公式進(jìn)行計算，減少漢字的出現(xiàn).

教學(xué)過程：少數(shù)學(xué)生在使用周長符號“C”計算時，正方形、長方形、圓形的周長都使用“C”來表示，無法用腳注對不同圖形的周長進(jìn)行區(qū)別，反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的表征處于單一的機(jī)械性狀態(tài).

教學(xué)評價：能寫出圓周長公式及正方形、長方形計算公式的字母表達(dá)式，并進(jìn)行準(zhǔn)確的計算.

水平4-3：靈活性表征狀態(tài)

靈活性表征狀態(tài)的典型特征是學(xué)生能夠從解決問題的具體情境，選擇恰當(dāng)?shù)腃正、C圓、C長、d正、d長進(jìn)行問題表征，并能理解符號所代表的不同含義.教學(xué)設(shè)計如下：

教學(xué)目標(biāo)：可以用不同的腳注進(jìn)行區(qū)分.

教學(xué)過程：在練習(xí)中，教師啟發(fā)學(xué)生：“我們可以把計算過程中的漢字減少，多一點(diǎn)數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號，利用學(xué)過的公式進(jìn)行計算，對不同圖形的周長用C正、C長、C圓進(jìn)行表示.”學(xué)生能舉一反三，d正=2r、d長=5r.學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行計算，并能闡述各個符號代表的含義.

教學(xué)評價：學(xué)生懂得運(yùn)用腳注對不同圖形的周長、直徑等進(jìn)行區(qū)分，如C正、C圓、C長、d正、d長等.

四、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號意識”教學(xué)設(shè)計的建議

(一)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略是培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號意識的前提

運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號感知的發(fā)展，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號的再發(fā)現(xiàn)過程.數(shù)學(xué)符號感知通常是學(xué)生認(rèn)識新數(shù)學(xué)符號的起始，每一個數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生都有獨(dú)特的歷史.利用數(shù)學(xué)史當(dāng)中的認(rèn)知?dú)v史相似性，個體對數(shù)學(xué)的理解過程與數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程的相似性[6]，通過祖沖之與圓周率π的故事，學(xué)生利用學(xué)具探索，提出并驗(yàn)證假設(shè)，得出結(jié)論.在數(shù)學(xué)符號感知階段，通過與數(shù)學(xué)史的結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生過程，使他們對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行全面的感知.

運(yùn)用練習(xí)法教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號運(yùn)算的發(fā)展.運(yùn)算是一種程序性知識，學(xué)生在算理算法的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算的技能技巧，提高運(yùn)算的正確率，加強(qiáng)圓周長公式的運(yùn)用；在多次練習(xí)中，觀察數(shù)據(jù)的變化，總結(jié)出圓周長與圓直徑是一一對應(yīng)的關(guān)系.

運(yùn)用合作學(xué)習(xí)教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號推理的發(fā)展.推理注重的是過程，學(xué)生只有經(jīng)歷推理的過程才能提高推理能力.合作能擴(kuò)大學(xué)生的視野，使其產(chǎn)生不同的思路，運(yùn)用不同的推理方式，進(jìn)行高效的思維訓(xùn)練.對圓周長公式C=πd及其各種變形公式進(jìn)行驗(yàn)證時，小組成員集思廣益，靈活運(yùn)用合情推理與演繹推理進(jìn)行檢驗(yàn).

運(yùn)用深度學(xué)習(xí)教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號表征的發(fā)展.深度學(xué)習(xí)超越具體知識和技能深入到思維層面[7]，能促使學(xué)生將數(shù)學(xué)符號靈活運(yùn)用到不同的問題情境之中，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)解決現(xiàn)實(shí)問題.

(二)問題是提升進(jìn)階水平或維度的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生的思維是由問題引導(dǎo)的，因此教師對問題的設(shè)計至關(guān)重要.教師設(shè)計出指向數(shù)學(xué)本質(zhì)、居于探究中心的具有生長性的核心問題[8].每一進(jìn)階維度都有相應(yīng)的核心問題，在對核心問題進(jìn)行追問的過程中，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)階水平的提高.兩個進(jìn)階維度之間可通過高維度的核心問題完成進(jìn)階.

總之，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，就是對學(xué)生數(shù)學(xué)符號感知、運(yùn)算、推理、表征的培養(yǎng)過程.在學(xué)習(xí)進(jìn)階的理念下對數(shù)學(xué)符號意識的教學(xué)進(jìn)行有步驟的教學(xué)設(shè)計，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略與問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號意識的有效方式.