基于多相材料的完全解耦柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

占金青，汪庭威，段丁強(qiáng)，劉 敏

（1.華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.華東交通大學(xué)載運(yùn)工具與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013）

柔順機(jī)構(gòu)是利用自身的彈性變形將運(yùn)動(dòng)、力和能量傳遞到輸出端的一種整體式機(jī)構(gòu)[1-3]。 與傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)比較，它具有免裝配、無須潤滑、運(yùn)動(dòng)精度高、易集成等優(yōu)點(diǎn)。 柔順機(jī)構(gòu)廣泛用于精密定位、 微機(jī)電系統(tǒng) （micro-electro mechanical system，MEMS）、生物醫(yī)療、微納制造等領(lǐng)域[4-7]。 拓?fù)鋬?yōu)化方法已是柔順機(jī)構(gòu)的主要設(shè)計(jì)方法之一。 多相材料柔順機(jī)構(gòu)可以通過集成不同材料的特性提升機(jī)構(gòu)綜合性能[8]。

張憲民等[9]提出一種基于并行策略的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，將一個(gè)復(fù)雜的多相材料設(shè)計(jì)問題離散成為單材料子設(shè)計(jì)問題。Majdi 等[10]采用各向同性材料懲罰模型（solid isotropic material with penalization，SIMP） 和交替主動(dòng)相算法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。 Zuo 等[11]采用基于冪函數(shù)的材料插值模型進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，無須引入任何新設(shè)計(jì)變量。 Rostami 等[12]提出了一種基于正則化投影梯度方法的多相柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。 Zhan 等[13]采用可分離應(yīng)力插值方法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，使得每相材料結(jié)構(gòu)滿足相應(yīng)的應(yīng)力約束。 上述研究主要集中在單輸入、單輸出多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。 在實(shí)際工程中，經(jīng)常需要具有多個(gè)輸入、多個(gè)輸出的多相材料柔順機(jī)構(gòu)。

目前，多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)大多采用單一材料設(shè)計(jì)。Frecker 等[14]采用加權(quán)和方法建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行單個(gè)輸入、多個(gè)輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，但是很難選擇合適的加權(quán)因子。Zhu 等[15]采用水平集方法，以互應(yīng)變能與應(yīng)變能比值最大化為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。 Alonso 等[16]以每個(gè)輸入載荷產(chǎn)生的互應(yīng)變能的總和最大化為目標(biāo)函數(shù)，建立多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。 然而，以上研究均忽略了多自由度柔順機(jī)構(gòu)存在的輸入、 輸出耦合效應(yīng)，難以實(shí)現(xiàn)多個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng)精確控制。 李兆坤等[17]為了抑制輸出耦合，引入輸出耦合約束進(jìn)行多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。最近，Zhu 等[18]采用單相材料進(jìn)行完全解耦的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，以抑制輸入、輸出耦合。 綜上所述，多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)研究沒有考慮抑制輸入耦合和輸出耦合效應(yīng)。 為此，本文提出一種基于多相材料的完全解耦多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 基于多相材料的完全解耦柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 多相材料插值模型

與基于SIMP 法的多相材料插值模型不同，基于單元堆積法的多相材料插值模型定義設(shè)計(jì)域中每一個(gè)單元的每一相材料對(duì)應(yīng)一個(gè)單元?jiǎng)偠?，能夠考慮不同材料相關(guān)邊界條件進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。 本文采用基于單元堆積法[19-20]的多相材料插值模型

式中：ke為單元e的剛度矩陣；為充滿第m 相材料的單元?jiǎng)偠染仃?；ρe，m和ρe，l分別為單元e 對(duì)應(yīng)于第m 相材料和第l 相材料的單元密度；p1和p2均為懲罰系數(shù)，取值為3；NM為選用多相材料的數(shù)目。

1.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，通過不同的輸入端施加荷載作用，在不同的輸出端產(chǎn)生不同的輸出運(yùn)動(dòng)，通常期望某個(gè)輸出端的輸出運(yùn)動(dòng)與某個(gè)輸入端的載荷作用是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即每個(gè)輸入端荷載作用產(chǎn)生相對(duì)應(yīng)的輸出端的輸出運(yùn)動(dòng)。圖1 為多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)域，Ii和Oi分別表示輸入端i（i=1，2，…，n）和輸出端i（i=1,2,…，n），fI，i為在輸入端Ii的作用載荷， 載荷fI，i期望在輸出端Oi產(chǎn)生輸出位移uOi，Γd為固定邊界。

圖1 多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)域Fig.1 Design domain for topology optimization of multiinput-output compliant mechanisms

為了滿足機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)需求，以柔順機(jī)構(gòu)多個(gè)輸出端的輸出位移uOi最大化為優(yōu)化目標(biāo)。 采用加權(quán)法[18]將多個(gè)輸出位移最大化轉(zhuǎn)變成一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，可表示為

式中：J 為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；ωi為權(quán)重因子， 它能夠避免優(yōu)化中出現(xiàn)某一個(gè)輸出位移值非常大，而其他的輸出位移值都非常小。權(quán)重因子ωi隨著迭代不斷更新，表示為

當(dāng)n=2 時(shí)，優(yōu)化目標(biāo)可改寫為

由式（2）可知，當(dāng)uO1增大，ω2隨之增大，從而使得uO2變大，反之亦然。 所用方法可以自適應(yīng)地調(diào)整加權(quán)因子的大小，能夠消除不同輸出端的輸出位移在數(shù)量級(jí)上的差異。

1.3 輸入、輸出耦合約束

對(duì)于多自由度柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，作用載荷fI，i在對(duì)應(yīng)的輸出端Oi產(chǎn)生輸出位移uOi，然而，fI，i實(shí)際上不僅產(chǎn)生輸出位移uOi，還在其它的輸出端Oj（j≠i）產(chǎn)生輸出位移，即為輸出耦合效應(yīng)；同時(shí)，輸入載荷fI，i除了在輸入端Ii產(chǎn)生輸入位移，還在其它的輸入端Ij（j≠i）產(chǎn)生輸入位移，即為輸入耦合效應(yīng)。 如前所述，為了提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度，多相材料柔順機(jī)構(gòu)非常有必要抑制輸入耦合和輸出耦合效應(yīng)。

當(dāng)輸入端Ii施加載荷作用fI，i，在對(duì)應(yīng)的輸出端Oi產(chǎn)生位移uOi，同時(shí)，fI，i在其它輸出端產(chǎn)生輸出位移（j≠i）,如圖2（a）所示。 為了抑制輸出耦合，構(gòu)建輸出耦合約束為

式中：η*為輸出耦合抑制參數(shù)。

當(dāng)輸入端Ii施加荷載作用fI，i， 在其它輸入端（j≠i）產(chǎn)生輸入位移（j≠i），如圖2（b）所示。同樣地，構(gòu)建輸入耦合約束為

圖2 多自由度柔順機(jī)構(gòu)輸入耦合和輸出耦合示意圖Fig.2 Schematic diagram of the input and output coupling issues for compliant mechanisms with multiple degrees of freedom

式中：ξ*為輸入耦合抑制參數(shù)。

1.4 拓?fù)鋬?yōu)化模型

采用基于單元堆積方法的多相材料插值模型，以機(jī)構(gòu)的多個(gè)輸出位移加權(quán)和最大化作為優(yōu)化目標(biāo)，以輸入耦合、輸出耦合及各相材料結(jié)構(gòu)體積為約束，建立基于多相材料的完全解耦多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為

式中：K 為整體剛度矩陣；U 為節(jié)點(diǎn)位移列陣；f為作用載荷列陣；v0充滿材料單元的體積；Vm為優(yōu)化后的第m 相材料結(jié)構(gòu)體積；V0為優(yōu)化前的設(shè)計(jì)域體積；βm為第m 相材料的允許體積分?jǐn)?shù)；ρmin為單元密度最小值；NE為有限單元的數(shù)目。

2 靈敏度分析及過濾技術(shù)

采用基于梯度的移動(dòng)漸近線優(yōu)化算法[21]求解基于多相材料的完全解耦多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。 需要求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束的靈敏度。

由式（2），目標(biāo)函數(shù)對(duì)單元密度的靈敏度求得為

為了求解輸出位移uOi的靈敏度，引入uOi=U。 其中，為虛擬單位載荷列陣，在輸出點(diǎn)自由度為1，其它的自由度上均為0。 輸出位移uOi可改寫為

輸出位移uOi對(duì)單元密度變量求導(dǎo)得

令有伴隨方程有

將式（11）代入式（10）得

將式（11）代入式（8）得目標(biāo)函數(shù)的靈敏度

對(duì)式（1）求導(dǎo)有

結(jié)構(gòu)體積約束的靈敏度為

輸出耦合約束對(duì)單元密度的靈敏度為

輸入耦合約束對(duì)單元密度的靈敏度為

式中：伴隨向量γ 由式Kγ-LOj，i=0 求得，伴隨向量ζ 由式Kζ-LIj，i=0 求得；式中矢量LOj，i和LIj，i均為虛擬單元載荷列陣。

采用變密度法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果容易出現(xiàn)網(wǎng)格依賴及棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象，本文采用映射過濾方法[22-24]修正靈敏度信息。

3 數(shù)值算例

數(shù)值算例中， 物理量和幾何參數(shù)均為無量綱。實(shí)體材料1 和實(shí)體材料2 的彈性模量分別為70 和100，泊松比μ 為0.3，最小過濾半徑rmin為4.0。

兩自由度柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)域、邊界條件以及輸入、輸出作用如圖3 所示，設(shè)計(jì)域尺寸為L×B=200×100，作用載荷fI，1和fI，2大小均為300，分別施加在左上端和左下端的水平方向， 輸入載荷fI，1在右上端O1期望產(chǎn)生水平位移uO1，輸入載荷fI，2期望在輸出端O2產(chǎn)生垂直輸出位移uO2；輸入彈簧剛度kin，1=kin，2=10，輸出彈簧剛度kout，1=kout，2=2，材料1 和材料2的允許體積份數(shù)分別為0.125 和0.150。

圖3 兩自由度柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.3 Design domain of compliant mechanism with two degrees of freedom

為了驗(yàn)證耦合約束的有效性，當(dāng)系數(shù)η*和系數(shù)ξ*均取為0.01 時(shí)，考慮有、無耦合約束進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)， 優(yōu)化結(jié)果如圖4 所示，拓?fù)錁?gòu)型中的紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別表示材料1和材料2。與無耦合約束拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型存在明顯差異。 圖5 表示為完全解耦的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代圖， 迭代過程未出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象，較快趨于平穩(wěn)。

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型Fig.4 The topological configuration of the multi-material compliant mechanism obtained by topology optimization

圖5 完全解耦的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程Fig.5 The convergence history of the objective for topology optimization of fully decoupled multi-material compliant mechanisms

由表1 可知，無耦合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)在載荷fI，1作用時(shí)， 輸出端O2產(chǎn)生輸出耦合絕對(duì)值為3.374 8， 輸入端I2產(chǎn)生輸入耦合為1.648 9；在載荷fI，2作用時(shí)，輸出端O1產(chǎn)生輸出耦合為6.964 2，輸入端I1產(chǎn)生輸入耦合為1.648 9；這表明無耦合約束設(shè)計(jì)的多相材料柔順機(jī)構(gòu)存在較大的輸入耦合和輸出耦合，導(dǎo)致難以實(shí)現(xiàn)多個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng)精確控制，降低了柔順機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度。 完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)在載荷fI，1作用時(shí)， 輸出端O2產(chǎn)生輸出耦合絕對(duì)值減小為0.064 6， 輸入端I2產(chǎn)生輸入耦合絕對(duì)值減小為0.003 3；在載荷fI，2作用時(shí)，輸出端O1產(chǎn)生輸出耦合為0.076 3， 輸入端I1產(chǎn)生輸入耦合絕對(duì)值減小為0.003 3；這表明完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的柔順機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合大大地減小，并且滿足輸入耦合和輸出耦合約束， 有效地抑制輸入、輸出耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)構(gòu)的輸入、輸出運(yùn)動(dòng)達(dá)到完全解耦，驗(yàn)證提出的設(shè)計(jì)方法的有效性。

表1 有、無耦合約束的多自由度柔順機(jī)構(gòu)多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of multi-material topology optimization of multi-input-output compliant mechanisms with decoupled constraints and without decoupled constraints

為了分析不同抑制耦合系數(shù)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果影響，考慮分別取η*=ξ*=0.1 和η*=ξ*=0.001 條件下，進(jìn)行基于多相材料的完全解耦合柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果分別如圖6 所示。隨著抑制耦合系數(shù)改變，獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型有所改變，如圖4（a），圖6 所示。 由表2 可知，隨著抑制耦合系數(shù)減小， 完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合逐漸減小， 并且均能夠滿足耦合約束，有效地抑制輸入、輸出耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)多相材料柔順機(jī)構(gòu)的輸入、輸出運(yùn)動(dòng)達(dá)到完全解耦。

圖6 完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型Fig.6 The topological configuration of the multi-material compliant mechanism obtained by topology optimization with decoupled constraints

表2 不同抑制系數(shù)條件下的完全解耦的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.2 Results of multi-material topology optimization of multi-input-output compliant mechanisms with decoupled constraints under different coupling coefficients

4 結(jié)論

本文采用基于單元堆積法的多相材料插值模型，引入輸入耦合和輸出耦合約束，進(jìn)行基于多相材料的完全解耦多自由柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究，得到以下結(jié)論。

1） 與無解耦拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料多自由度柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型有顯著不同， 機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合大大減小，有效地抑制多自由度柔順機(jī)構(gòu)輸入、 輸出耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)輸入、輸出運(yùn)動(dòng)完全解耦。

2） 隨著抑制耦合系數(shù)減小，完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型有所改變，多自由度機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合逐漸減小，并且均能夠滿足耦合、輸出耦合約束。