基于改進廣義線性組合算法的極化陣列穩(wěn)健波束形成

呂巖，曹菲，楊劍，馮曉偉，何川

（1. 火箭軍工程大學 核工程學院，陜西，西安 710025；2. 中國人民解放軍 96746 部隊，新疆，庫爾勒 841000；3. 火箭軍工程大學 導(dǎo)彈工程學院，陜西，西安 710025）

陣列信號處理作為一種空間濾波技術(shù)，可通過調(diào)整陣元權(quán)值控制波束形成，使其在期望信號(signal of interest, SOI)方向形成高增益波束，同時抑制干擾信號方向的增益. 目前，波束形成算法已被廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶、地震波監(jiān)測、通訊和醫(yī)學等領(lǐng)域[1?3]. 極化陣列[4]不同于傳統(tǒng)相控陣，能夠獲取空間電磁波的極化方式信息，從而將信號極化域和空域信息相結(jié)合，可有效克服空域濾波的不足[5?6].

自適應(yīng)波束形成算法在信號模型出現(xiàn)陣元位置擾動和波達方向(direction of arrival, DOA)誤差時，性能將會嚴重下降. 為了提升波束形成的穩(wěn)健性，對角加載技術(shù)被廣泛應(yīng)用于陣列信號處理中. 廣義線性組合(general linear combination, GLC)算法[7]是一種在最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)準則下估計陣列理論協(xié)方差矩陣的算法，能夠依據(jù)采樣協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix, SCM)自動確定對角加載量(diagonal loading level, DLL)，從而提升有限快拍條件下陣列波束形成的穩(wěn)健性. WANG等[8]中提出了一種使用兩種收縮方案的改進GLC算法，分別使用原GLC 算法和經(jīng)指數(shù)矩陣改進的GLC 算法確定DLL，獲得了更高的輸出信干噪比.KE 等[9]首先研究了不同算法在快拍數(shù)和傳感器數(shù)量較大時的性能，并針對GLC 算法的不足，提出了結(jié)合數(shù)據(jù)降噪預(yù)處理和MMSE 準則估計真實協(xié)方差矩陣的自動確定DLL 算法，該算法在高快拍和多傳感器條件下性能優(yōu)于其他算法，但在快拍數(shù)較低時，過大的DLL 將會影響陣列輸出的信干噪比.GAN 等[10]基于高斯分布提出了一種改進的GLC 算法，該算法在保持GLC 算法性能的同時具有更低的計算復(fù)雜度. YUAN[11]通過添加協(xié)方差矩陣相關(guān)的系數(shù)對GLC 算法收縮矩陣進行改進，得到了比GLC算法更大的DLL，但該算法在輸入信噪比較高時性能受限.

為了提升極化敏感陣列波束形成的穩(wěn)健性，本文將GLC 算法應(yīng)用于極化敏感陣列. 分析了信噪比較高時，GLC 算法在陣元擾動和SOI 存在DOA 誤差情況下的輸出信干噪比隨快拍數(shù)增加而下降的原因，并提出了一種結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)的改進GLC 算法. 所提算法依據(jù)SCM 特征值相關(guān)參數(shù)的大小，對信噪比進行判斷. 信噪比較高時，采用改進GLC 算法計算DLL；信噪比較低時，采用原GLC 算法計算DLL. 最后，通過主瓣干擾條件下的仿真實驗驗證了所提算法的性能.

1 信號模型

如圖1 所示，考慮一個由N組正交偶極子對組成的均勻線陣，陣元間距為入射信號半波長d=λ/2，每組正交偶極子分別沿X軸和Y軸放置.

圖1 極化陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of polarization array

假設(shè)遠場空間中存在1 個SOI 分量s0(t)和J個互不相關(guān)的干擾信號s1(t),s2(t),···,sJ(t)（均為窄帶信號），其中SOI 的DOA 為 [θ0,φ0]， 干擾信號DOA 為[θ1,φ1],[θ2,φ2],···,[θJ,φJ]， 則 陣 列 在 瞬 時 時 刻t接 收 到 的 信號為

式中：ai=?為極化-空域聯(lián)合導(dǎo)向矢量；n(t)為加性高斯復(fù)噪聲； ?表示Kronecker 乘積運算；表示極化導(dǎo)向矢量分量[12]：

式中：Bi表示入射信號在各電偶極子上的投影矩陣；gi為 入 射 信 號 的 極 化 信 息； γi和 ηi代 表 極 化 參 數(shù)，tanγi=AY/AX表示電場極化幅度比，滿足 γi∈[0,π/2]，ηi=?Y??X為電場極化相位差， ηi∈[0,2π]. 為便于分析，假設(shè)入射信號位于XOY平面內(nèi)，則可得

則陣列接收數(shù)據(jù)X(t)的協(xié)方差矩陣為[13]

式中：E(·)表 示期望運算； (·)H代 表Hermitian 轉(zhuǎn)置運算；表示入射信號功率；為 噪聲功率，I代表單位矩陣；Ri+n為理想的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣. 基于Capon 波束形成器(standard Capon beamformer, SCB)，陣列的最優(yōu)權(quán)值矢量和最優(yōu)輸出信干噪比可表示為

2 GLC 算法及改進

2.1 極化陣列GLC 算法

對角加載技術(shù)[14?15]可以使SCM 的小特征值散布程度變低，從而提升波束形成的穩(wěn)健性，尤其在快拍數(shù)較低的情況下，對角加載算法對方向圖的穩(wěn)定性和輸出信干噪比的提升效果較為顯著，但最優(yōu)DLL 的選取相對困難. GLC 算法可根據(jù)SCM 參數(shù)自動確定DLL，描述如下：

在GLC 算法中，RX被估計為

其中，K為快拍數(shù). 式(8)中， α 和 β可通過MMSE 方法獲得

經(jīng)過推導(dǎo)，可得

其中:

其中， tr(·)表示矩陣求跡運算. 經(jīng)過GLC 算法計算極化陣列模型的DLL，可得陣列的權(quán)值矢量.

此時，波束形成器輸出的信干噪比為

2.2 GLC 算法的不足

根據(jù)文獻[7]可知，隨著快拍數(shù)的增加，由GLC算法所得的DLL 逐漸降低并趨近于0，此時將逐漸接近于理論協(xié)方差矩陣RX，為便于理論推導(dǎo)，使用RX代 替SCM 進行后續(xù)分析. 若SOI 的導(dǎo)向矢量a0不存在誤差，則陣列輸出的信干噪比為

在實際應(yīng)用中，由于存在SOI 的DOA 誤差或者陣元位置擾動，a0無法準確獲取. 假設(shè)估計的SOI 導(dǎo)向 矢 量 為ad，和a0之 間 滿 足：ad=a0+ae， 其 中ae表 示兩者之間的誤差. 將ad和RX代入式(16)求出權(quán)值矢量，并代入式(17)計算陣列輸出為

利用矩陣求逆公式，根據(jù)式(5)可得

將式(20)代入式(18)和式(19)，并計算兩者之間的差值：

式中： Λ為對角矩陣，對角線元素表示Ri+n的特征值；U為對應(yīng)的特征向量所組成的矩陣. 將式(23)代入Θ可得

將式(24)中Cad記 為c1，Ca0記 為c2，可得：

由式(25)可知 Θ ≤1， 代入式(22)，可得 S INRdif>0，且SCM 中所含的SOI 功率越大或者ae越 大，則SINRdif也隨之增大. 可得結(jié)論：當信噪比較高時，若陣列模型存在DOA 誤差或陣元位置擾動誤差，此時隨著快拍數(shù)的增加，由GLC 算法所得的陣列輸出要遠低于不存在誤差時的輸出 SINRpol.

2.3 改進GLC 算法

由2.2 節(jié)可知，快拍數(shù)較高時，若陣列模型出現(xiàn)誤差將導(dǎo)致GLC 算法性能下降，因此需要在原GLC算法的基礎(chǔ)上，提升其在高快拍時的DLL. 根據(jù)式(11)和式(12)，可得

本文采取放大式(14)中的參數(shù) ε提升DLL，為使調(diào)整后的DLL 與快拍數(shù)相關(guān)，在 ε基礎(chǔ)上乘以一個系數(shù)項，構(gòu)造?ε

其中k為當前陣列接收的快拍數(shù)， ρ ∈[0,1]表示階次，易知 ε?>ε. 從式(27)可以看出，使用 ε? 代 替 ε能夠達到提升DLL 的目的. 根據(jù)文獻[9]，當快拍數(shù)較低時，DLL 過大會使陣列輸出信干噪比降低，因此所提算法需要在低快拍時保持原GLC 算法的性能，快拍數(shù)較高時能夠隨之增大DLL. 基于以上分析，構(gòu)造轉(zhuǎn)換函數(shù)為

其中，Kfix∈[1,K]為設(shè)定的快拍轉(zhuǎn)換參數(shù). 由式(28)可知，當k≤Kfix時 ， χ(k)≈1； 當k>Kfix時 ， χ(k)≈kρ+1.假設(shè)k∈[0,500]，Kfix=200， ρ分別為1/3、1/2、2/3 的曲線如圖2 所示.

圖2 轉(zhuǎn)換函數(shù)曲線Fig.2 Curve of transformation function

將原GLC 算法中式(14)修改為

根據(jù)式(29)可知，當k≤Kfix時 ， χ(k)≈1，與原GLC算法一致；當k>Kfix時 ， ε? 被 放大 χ(k)倍，致使DLL 較原GLC 算法有所提升.

式中： δn為 降序排列的特征值；un代表與之對應(yīng)的特征向量；D表示入射信號數(shù)量，前D個特征值屬于信號加干擾子空間，其余 2N?D個較小特征值構(gòu)成噪聲子空間. 陣列入射信號的個數(shù)可使用信源數(shù)量估計算法獲得[16]，所以類似于文獻[17]，本文假設(shè)D已知.干擾信號功率一般遠大于SOI 和噪聲功率，因此能夠通過特征值 δD的幅度判斷信噪比的高低程度. 根據(jù)文獻[18]的判定方法，當輸入信噪比較高時，所有較小特征值的和小于最小信號子空間特征值和最大噪聲子空間特征值的差值，即

定義不等式(31)中的參數(shù)：

當 ζ1>ζ2時，判定為信噪比較高，此時需采用結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)的GLC 算法計算DLL；反之當 ζ1＜ζ2時，則采用原GLC 算法計算DLL.

2.4 算法步驟

根據(jù)以上分析，總結(jié)所提算法步驟如下.

②根據(jù)式(32)和式(33)計算參數(shù) ζ1與 ζ2， 若ζ1＜ζ2，則執(zhí)行步驟(4)，否則執(zhí)行步驟(3)；

④根據(jù)式(13)、(14)和(15)計算 υ、 ε和l，確 定DLL，轉(zhuǎn)步驟(5)；

⑤根據(jù)式(16)計算陣元權(quán)值矢量，算法結(jié)束.

3 仿真分析

仿真基于極化敏感均勻線性陣列，正交偶極子對數(shù)量N=10，入射信號頻率設(shè)置為2.2 GHz，陣元間距為入射信號半波長. 入射信號的極化參數(shù)設(shè)置為：γ0=γ2=45?、γ1=30?、η0=180?、 η1=150?、 η2=70?.空 域參 數(shù)設(shè)置為：SOI 的DOA 為 θ0=25?、干擾信號DOA 為 θ1=?15?和 θ2=22?. 當存在陣元位置擾動誤差時，設(shè)定其隨機分布在[(n?1)d?0.05λ,(n?1)d+0.05λ]范圍內(nèi)；SOI 存在DOA 誤差時，設(shè)置其隨機分布在[θ0?2?,θ0+2?]范 圍內(nèi)，其中 θ0代表真實DOA. 仿真中信噪比設(shè)置為較高值等于10 dB（3.4 節(jié)除外）、干噪比設(shè)置為20 dB、快拍數(shù)量取10～500 拍，仿真中所得的結(jié)果均為200 次蒙特卡羅實驗后的平均值.

3.1 算法參數(shù)選取

根據(jù)式(28)可知，所提算法需要確定的參數(shù)分別為階次 ρ和快拍轉(zhuǎn)換參數(shù)Kfix. 假設(shè)陣元位置擾動和SOI 的DOA 誤差同時存在，選取 ρ分別等于0、1/6、2/6、3/6、4/6、5/6 和1 繪制陣列輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化的曲線如圖3 所示. 在構(gòu)造轉(zhuǎn)換函數(shù)過程中，為保證低快拍時 χ(k)≈1， 需向系數(shù)項kρ中添加常數(shù)1，圖3 一并對比了采用式(27)和式(34)對陣列輸出信干噪比的影響，其中式(34)為

從圖3 可以看出，階次較低時，由式(27)和式(34)所得的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的升高出現(xiàn)較大差異，且呈現(xiàn)出逐漸下降的趨勢，表明DLL 不足. 當階次設(shè)置為 ρ=1/2時，高快拍條件下陣列輸出的信干噪比要比其他階次更優(yōu)，并且此時采用式(27)和式(34)計算DLL 所得的輸出信干噪比曲線基本一致，因此設(shè)置階次 ρ=1/2. 為使所提算法在低快拍時保持原GLC 算法性能，高快拍時能夠利用轉(zhuǎn)換函數(shù)提高DLL，選擇 ρ=1/2與原GLC 算法的曲線交點作為快拍轉(zhuǎn)換參數(shù)，設(shè)置Kfix=70.

圖3 不同階次輸出信干噪比的變化趨勢Fig.3 Trends in output signal to interference plus noise ratio of different orders

3.2 陣元擾動對陣列輸出信干噪比的影響

為驗證所提算法性能，將其與SCB、HKB[7](Hoerl-Kennard-Baldwin)、原GLC 算法和GLC 的一種改進算法LS-TMMSE[9]相對比. 圖4 和圖5 分別為不同算法輸出信干噪比和DLL 隨快拍數(shù)的變化趨勢.

圖5 對角加載量對比Fig.5 Comparison of average diagonal loading levels

根據(jù)圖4 可知，由于主瓣內(nèi)部存在一個干擾信號，導(dǎo)致最優(yōu)信干噪比較非主瓣干擾有所降低，但因該干擾和SOI 的極化參數(shù)存在一定差異，使得最優(yōu)信干噪比仍能夠達到較高水平. 其中，非主瓣干擾條件下陣列輸出的最優(yōu)信干噪比為[19]

圖4 不用算法輸出信干噪比的變化趨勢Fig.4 Trends in output signal to interference plus noise ratio of different algorithms

其 中 SNRin表 示SOI 的 功 率， lg(·)為 取 以10 為 底 的 對數(shù)運算. 從圖4 還可以看出，對角加載類算法輸出的信干噪比均大于SCB. 當快拍數(shù)較低時，由于所提算法的轉(zhuǎn)換函數(shù)值約等于1，所以該算法性能和原GLC 算法保持一致；隨著快拍數(shù)的升高，GLC 算法性能嚴重下降，輸出信干噪比均低于其他算法；與之相異，由于所提算法利用轉(zhuǎn)換函數(shù)有效提高了DLL，在快拍數(shù)較高時輸出信干噪比達到了最高，并且變化趨勢較為穩(wěn)定. 從圖5 可知，LS-TMMSE 算法由于在低快拍時采用較大的DLL，所以其性能不及GLC算法. GLC 算法隨快拍數(shù)升高DLL 逐漸趨于0，而所提算法在快拍數(shù)較高時的DLL 大于GLC 算法，因此使陣列具備更好的穩(wěn)健性能.

3.3 陣元擾動加DOA 誤差對陣列輸出信干噪比的影響

圖6 和圖7 分別為不同算法輸出信干噪比與DLL 隨快拍數(shù)量的變化情況. 對比圖4 和圖6 可以看出，在陣元擾動加DOA 失配的復(fù)雜條件下，所有算法輸出的信干噪比均有所降低，但所提算法在快拍數(shù)較高時仍優(yōu)于其他算法. 對比圖5 和圖7 可以發(fā)現(xiàn)，在快拍數(shù)較高時GLC 算法的DLL 趨近于0，所以GLC 算法輸出的信干噪比下降最為嚴重；相反，所提算法由于適度提高了DLL，從而使其輸出的信干噪比高于GLC 算法.

圖6 不同算法輸出信干噪比的變化趨勢Fig.6 Trends in output signal to interference plus noise ratio of different algorithms

圖7 對角加載量對比Fig.7 Comparison of average diagonal loading levels

3.4 輸入信噪比對陣列輸出信干噪比的影響

主要檢驗主瓣干擾條件下，陣元擾動和陣元擾動加DOA 誤差兩種情況時，輸入信噪比變化對陣列輸出信干噪比的影響，快拍數(shù)設(shè)置為K=300. 圖8 為陣列輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，可以看出所提算法的性能優(yōu)于GLC 算法，尤其在信噪比較高時性能差異較為明顯. 當信噪比較低時，LSTMMSE 算法輸出的信干噪比較所提算法略高，隨著信噪比的提升，所提算法超過了其余算法，使陣列獲得了更優(yōu)的輸出.

圖8 信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線Fig.8 Signal to interference plus noise ratio of different algorithms versus input signal to noise ratio

4 結(jié) 論

①本文將GLC 算法應(yīng)用于極化敏感陣列，根據(jù)SCM 特征值相關(guān)參數(shù)的大小判定信噪比，從而選擇不同的DLL 計算策略；

②分析了信噪比較高時，GLC 算法性能下降的原因，提出了一種結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)的改進GLC 算法，所提算法能夠在低快拍時保持GLC 算法的性能優(yōu)勢，當快拍數(shù)較高時，通過增大DLL 進一步提升了極化陣列在復(fù)雜誤差條件下波束形成的穩(wěn)健性；

③通過陣元擾動和陣元擾動加DOA 誤差主瓣干擾條件下的仿真實驗，驗證了所提算法在輸入信噪比和快拍數(shù)較高時的性能均優(yōu)于原GLC 算法和其他幾種典型算法.