運(yùn)用復(fù)數(shù)思維解決非復(fù)數(shù)類問題“五法”

?福建省廈門市第六中學(xué) 吳 瑾

1 引言

高中關(guān)于復(fù)數(shù)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，主要集中在人教版選修2-2第三章“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”.復(fù)數(shù)思維是建立在復(fù)數(shù)知識(shí)之上的一種重要數(shù)學(xué)思維，它利用復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角式，模及其運(yùn)算的幾何意義，為我們解決代數(shù)、三角、幾何等學(xué)科中的非復(fù)數(shù)問題提供了又一個(gè)思維方法和解題途徑.

2 解決非復(fù)數(shù)問題“五法”

2.1 利用復(fù)數(shù)冪的周期性

根據(jù)代數(shù)式的對(duì)稱性和排列組合數(shù)的規(guī)律性，我們可以將其轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題[1]，利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值或證明，從而達(dá)到快速解題的目的.

=1+ωn+(ω2)n

又根據(jù)二項(xiàng)式定理,得

方法與技巧：通過觀察，發(fā)現(xiàn)題目中這些組合數(shù)的上標(biāo)從0，1，2，3起，組合數(shù)的符號(hào)具有“+、+、-、-”的周期性，自然會(huì)聯(lián)想到復(fù)數(shù)，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)完成證明.本題主要運(yùn)用了in的周期性及棣莫佛定理.

2.2 利用復(fù)數(shù)的模

利用復(fù)數(shù)模的不等式，能夠?yàn)槲覀兘鉀Q實(shí)數(shù)的有關(guān)問題提供模型，把諸如求函數(shù)值域、解(證明)不等式、求極值等問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題.這種間接的解題方法具有“化繁為簡(jiǎn)”的優(yōu)越性.

f(x)=|z1|-|z2|.

因?yàn)?||z1|-|z2||≤|z1-z2|=1,

①

所以||z1|-|z2||<1.

故所求函數(shù)的值域?yàn)?-1,1).

方法與技巧：本題巧妙地利用了復(fù)數(shù)模的不等式，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題.從本題的求解過程可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律，對(duì)于復(fù)數(shù)模的不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2(k>0)時(shí)，|z1+z2|=|z1|+|z2|，|z1-z2|=|z1|-|z2|；當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2(k<0)時(shí)，|z1+z2|=||z1|-|z2||，|z1-z2|=|z1|+|z2|.

例4已知|a2-b2|+2|ab|=1(a，b∈R).

證明：設(shè)z=a+bi，則z2=a2-b2+2abi.于是 |Re(z2)|+|Im(z2)|=1.

因?yàn)閷?duì)于任意復(fù)數(shù)z，總有

②

所以可得|z|2=|z2|≤|Re(z2)|+|Im(z2)|=1，即|z|≤1.

方法與技巧：本題是運(yùn)用復(fù)數(shù)的模證明不等式的典型實(shí)例，其中②式揭示了復(fù)數(shù)的模與其實(shí)部、虛部絕對(duì)值之間的關(guān)系，把a(bǔ)2-b2與2ab看作復(fù)數(shù)(a+bi)2的實(shí)部與虛部也是解題常用的一種技巧.

2.3 利用復(fù)數(shù)積(商)的輻角

在求三角函數(shù)值的一些問題中，可以利用復(fù)數(shù)積的輻角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角之和，或者運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形等方法來求解，這樣既可以避免繁瑣的計(jì)算，又容易找到解決問題的突破口.

所以原式=arg(3+i)+arg(5+i)+arg(7+i)+arg(8+i)

=2kπ+arg[(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)]

方法與技巧：本題將反三角函數(shù)中的角轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的輻角，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角之和，充分體現(xiàn)了用復(fù)數(shù)思維解這類題的優(yōu)越性.

圖1

例6如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)上給定兩點(diǎn)A，B，試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)上求點(diǎn)C，使得∠ACB取得最大值.

解：以直角坐標(biāo)系確定一個(gè)復(fù)平面，設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zA,zB,zC，則

zA=ai，zB=bi(00).

2.4 利用復(fù)數(shù)的n次方根

例7求tan 9°+cot 117°-tan 243°-cot 351°的值.

解：設(shè)z=cos 9°+isin 9°，則z10=i.

所以 tan9°-cot351°+cot117°-tan243°

=tan9°+cot9°-tan27°-cot27°

方法與技巧：本題先利用誘導(dǎo)公式，將諸角化為某一個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，以便應(yīng)用棣莫佛定理的變形公式.由解題的過程可以看出，運(yùn)用復(fù)數(shù)思維來步步化簡(jiǎn)的方法顯得非常簡(jiǎn)潔明快.

證明：因?yàn)閦7-1=(z-1)(z6+z5+z4+z3+z2+z+1)，又根據(jù)根的定義，有

令z=1，得

2.5 利用向量的旋轉(zhuǎn)與共線

對(duì)于解析幾何中涉及到的較復(fù)雜的特殊角的多邊形類問題，如果利用復(fù)向量的旋轉(zhuǎn)與共線的性質(zhì)來解決會(huì)顯得很簡(jiǎn)捷.

圖2

解：如圖2，根據(jù)直角坐標(biāo)系確定一個(gè)復(fù)平面，設(shè)點(diǎn)P，Q，A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zP，zQ，zA，根據(jù)點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱可知z→AP=z→QA.

即

zP-zA=zA-zQ.

③

又因?yàn)閦A=9,所以zQ=18-zP.

因?yàn)閦→O′P=zP-zO′=zP-(5+5i),所以z→O′R=z→O′P·i=zPi+(5-5i).

于是zR=z→O′R+zO′=zPi+(5-5i)+(5+5i)=zP·i+10.

z→QR=zR-zQ=(zP·i+10)-(18-zP)=(1+i)·zP-8=[zP-(5+5i)](1+i)+5(1+i)2-8=[zP-(5+5i)](1+i)-(8-10i).

方法與技巧：本題中運(yùn)用共線向量導(dǎo)出③式以便應(yīng)用zA=9；將zP配湊成zP-(5+5i)以便取模得到半徑，這些都是我們應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)和掌握的解題技巧.

圖3

例10如圖3，∠MON=60°，邊長(zhǎng)為a的正三角形ABP在∠MON內(nèi)滑動(dòng)(不能翻轉(zhuǎn))，使點(diǎn)A始終在OM上，點(diǎn)B始終在ON上，求點(diǎn)P的軌跡方程.

方法與技巧：本題是把求動(dòng)點(diǎn)軌跡的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)(復(fù)平面)問題來求解，除了運(yùn)用復(fù)數(shù)思維，本題還體現(xiàn)了求軌跡問題的設(shè)參、消參等參數(shù)思想.

3 總結(jié)

從上述典型例題的解答中可以看到，運(yùn)用復(fù)數(shù)思維解決非復(fù)數(shù)類問題的方法和技巧具有廣泛性、實(shí)用性和極大的靈活性.我們應(yīng)該通過多種練習(xí)，學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)和掌握這些方法與技巧，這有助于開闊我們的思路，不斷提高綜合解題能力.