中考中豐富多彩的正方形問題

王友峰

正方形是最特殊的平行四邊形，具有許多特殊之處，因此成為中考命題的熱點(diǎn)素材. 下面向同學(xué)們介紹中考中那些豐富多彩的正方形問題.

一、添加條件型

例1 （2021·廣西·玉林）如圖1，一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形：

a.兩組對邊分別相等

b.一組對邊平行且相等

c.一組鄰邊相等

d.一個角是直角

順次添加的條件：①a→c→d ；②b→d→c ； ③a→b→c.則正確的是（）.

A. 僅① B. 僅③ C. ①② D. ②③

分析：根據(jù)正方形的判定方法來判斷.

解：由條件a可得到四邊形是平行四邊形，添加c得到平行四邊形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，①正確；由條件b得到四邊形是平行四邊形，添加d得到平行四邊形是矩形，再添加c得到矩形是正方形，②正確；由a和b都可得到四邊形是平行四邊形，再添加c得到平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，③不正確. 故選C．

點(diǎn)評：本題通過添加條件的形式，考查了判定正方形的不同方法，十分新穎.

二、定義概念型

例2 （2021·上海）定義：在平面內(nèi)，一個點(diǎn)到圖形的距離是這個點(diǎn)到這個圖上所有點(diǎn)的最短距離.如圖2，在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)P，[OP=2]，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為．

分析：先確定正方形的中心O與各邊的所有點(diǎn)的連線中的最大值與最小值，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的條件即可求解．

解：（1）如圖3，設(shè)[AD]的中點(diǎn)為E，連接OA，OE，則AE = OE = 1，∠AEO = 90°，[OA=2]，∴點(diǎn)O與正方形[ABCD]邊上的所有點(diǎn)的連線中，[OE]最小，等于1，[OA]最大，等于[2]. ∵[OP=2]，∴點(diǎn)P與正方形[ABCD]邊上的所有點(diǎn)的連線中：如圖4，當(dāng)點(diǎn)E落在[OP]上時，最大值PE = PO - EO = 2 - 1 = 1；如圖5，當(dāng)點(diǎn)A落在[OP]上時，最小值[PA=PO-AO=2-2]．

∴當(dāng)正方形ABCD繞中心O旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)P到正方形的距離d的取值范圍是[2-2≤d≤1]．

點(diǎn)評：準(zhǔn)確理解新定義的含義，熟知正方形的性質(zhì)，找出正方形的中心O與各邊的所有點(diǎn)的連線中的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．

三、推理計算型

例3 （2021·湖南·衡陽）如圖6，點(diǎn)E為正方形[ABCD]外一點(diǎn)，[∠AEB=90°]，將[Rt△ABE]繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)[90°]得到[△ADF]，[DF]的延長線交[BE]于H點(diǎn)．

（1）試判定四邊形[AFHE]的形狀，并說明理由；

（2）已知[BH=7，BC=13]，求[DH]的長．

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB = ∠AFD = 90°，AE = AF，∠DAF = ∠EAB，由正方形的判定方法可證得四邊形AFHE是正方形；

（2）連接[BD]，利用勾股定理可求得[BD=CD2+CB2=132]，再利用勾股定理可求出DH的長．

解：（1）四邊形AFHE是正方形，理由如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)有∠AEB = ∠AFD = 90°，AE = AF，∠DAF = ∠EAB. ∵四邊形[ABCD]是正方形，∴∠DAB = 90°，∴∠FAE = ∠DAB = 90°，∴∠FAE = ∠AEB = ∠AFH = 90°，∴四邊形AFHE是矩形.又∵AE = AF，∴矩形AFHE是正方形.

（2）連接[BD]，∵[BC=CD=13]，∴在[Rt△BCD]中，[BD=CD2+CB2=132].

∵四邊形[AFHE]是正方形，∴[∠EHD=90°]，∴∠DHB = 90°.在[Rt△DHB]中，[DH=BD2-BH2]. ∵[BH=7]，∴DH = 17．

點(diǎn)評：本題考查正方形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些知識進(jìn)行推理與計算是解題的關(guān)鍵．