安裝誤差對(duì)弧線齒面齒輪接觸特性影響分析

趙玉龍，馮占榮，郭正華，熊光勁，高凌鋒

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引言

面齒輪[1～3]傳動(dòng)是一種新型的齒輪傳動(dòng)，具有重合度大、傳動(dòng)平穩(wěn)、振動(dòng)小等優(yōu)點(diǎn)[4]，主要應(yīng)用于直升機(jī)主減速器的動(dòng)力分流機(jī)構(gòu)，適應(yīng)于高速、重載的工作環(huán)境。面齒輪的嚙合分析在面齒輪設(shè)計(jì)與制造中有著重要的影響，其中接觸應(yīng)力與接觸區(qū)域是影響齒輪副傳動(dòng)的承載能力、傳動(dòng)效率以及噪聲等綜合技術(shù)指標(biāo)，因此要著重研究該方面。目前，國外在面齒輪傳動(dòng)接觸應(yīng)力方面研究，主要為F.L.Litvin等[5～7]利用TCA（tooth contact analysis）理論，結(jié)合有限元方法對(duì)面齒輪嚙合點(diǎn)處接觸應(yīng)力和嚙合位置做了大量研究，得到了不同嚙合位置對(duì)其的影響規(guī)律。國內(nèi)，趙寧[8,9]分別對(duì)直齒與斜齒面齒輪齒面仿真以及接觸應(yīng)力進(jìn)行了研究；陳書涵[10]對(duì)含安裝誤差對(duì)直齒面齒輪傳動(dòng)接觸軌跡與接觸應(yīng)力進(jìn)行了研究，得出了直齒面齒輪安裝誤差與接觸軌跡與應(yīng)力的變化規(guī)律；在弧線齒面齒輪方面，沈云波[11]對(duì)弧線齒面齒輪傳動(dòng)承載接觸進(jìn)行了分析,利用有限元的方法得到面齒輪在一定外加扭矩的情況下齒面載荷分布均勻。蘇進(jìn)展[12]對(duì)弧線齒面齒輪齒面接觸進(jìn)行了分析，分析了產(chǎn)形齒輪齒數(shù)、刀傾角和刀尖半徑對(duì)齒面接觸印痕的影響。以上關(guān)于直齒面齒輪的齒面設(shè)計(jì)及齒面接觸研究成果較為詳實(shí)，對(duì)于弧線齒面齒輪相關(guān)研究還較少。

本文主要對(duì)弧線齒面齒輪的幾何展成方法以及輪齒接觸進(jìn)行了分析，提出包含安裝誤差的弧線齒面齒輪展成方法以及嚙合點(diǎn)主曲率與最大接觸應(yīng)力的算法，研究了安裝誤差對(duì)接觸軌跡與最大接觸應(yīng)力的影響規(guī)律。

1 弧線齒面齒輪副的齒面方程推導(dǎo)

1.1 弧線齒圓柱齒輪齒面方程的推導(dǎo)

采用刀具漸開線弧線齒圓柱齒輪展成的方法來加工弧線齒面齒輪，利用假想刀具齒輪與被加工圓柱齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)，展成加工出被加工圓柱齒輪。建立圖1刀具漸開線弧線齒圓柱齒輪齒輪坐標(biāo)系Os和Oh，其中圖2與圖3分別為弧線齒圓柱齒輪齒線截面圖與圓柱齒輪截面圖。

圖1 弧線齒圓柱齒輪坐標(biāo)系

圖2 圓柱齒輪齒線截面圖

圖3 圓柱齒輪截面圖

可以得到在坐標(biāo)系Os下漸開線圓柱齒輪齒面方程為：

坐標(biāo)系Oh到Os坐標(biāo)變換矩陣為：

經(jīng)坐標(biāo)變換可得到刀具漸開線弧線齒圓柱齒輪齒面方程為：

式(5)中B為漸開線弧線齒圓柱齒輪齒寬，R1分度圓半徑，Rb為基圓半徑，其中L在分度圓柱面上的展開圖上的標(biāo)準(zhǔn)圓弧，圓弧半徑為RT，θS是漸開線上一點(diǎn)的角度參數(shù)，θS0是漸開線起始點(diǎn)的角度參數(shù)，方程中±號(hào)代表兩側(cè)齒面，β為位置角，h為齒寬參數(shù)。

1.2 弧線齒面齒輪齒面方程的推導(dǎo)

圖4所示為刀具齒輪展成加工出弧線齒面齒輪的坐標(biāo)系，O0、O2分別為刀具齒輪和弧線齒面齒輪固定坐標(biāo)系，O1、O3分別為刀具齒輪和弧線齒面齒輪的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。刀具展成加工弧線齒面齒輪時(shí)，就像是模擬兩個(gè)齒輪的嚙合過程，其中φ1和φ3分別為刀具齒輪和面齒輪展成時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度。

圖4 正交弧線齒面齒輪坐標(biāo)系

其中得到從弧線齒圓柱齒輪動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到面齒輪動(dòng)坐標(biāo)系的變換矩陣為：

經(jīng)坐標(biāo)變換可得弧線齒面齒輪齒面方程為：

其中弧線齒面齒輪齒面單位法向量為：

其中，L31為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣M31的前三行和前三列元素組成的子矩陣。

由齒輪嚙合原理可知，圓柱齒輪與面齒輪嚙合條件式為：

其中v(1,3)為刀具齒輪與被加工面齒輪的齒面接觸處的相對(duì)速度?？筛鶕?jù)嚙合條件式(9)得到φ1與θS和h的關(guān)系，將這兩個(gè)值離散化取值代入到弧線齒面齒輪齒面方程式(7)聯(lián)立求解，即可以到面齒輪工作曲面方程。

2 齒面接觸分析

弧線齒圓柱齒輪和面齒輪的傳動(dòng)中，若采用與面齒輪加工刀具參數(shù)完全一致的弧線齒圓柱齒輪，則嚙合傳動(dòng)形式為線接觸，這種理想傳動(dòng)形式很難實(shí)現(xiàn)，相反還可能因邊緣接觸而發(fā)生偏載，破壞正常傳動(dòng)。在這里我們采用實(shí)際參與嚙合的弧線齒圓柱齒輪比刀具齒輪齒數(shù)少1～3，形成點(diǎn)接觸的傳動(dòng)形式，其余參數(shù)均與刀具齒輪相同，因此只需將刀具齒輪的下標(biāo)“S”改為“1”即可。

∑S與∑1為分別為刀具齒面與嚙合傳動(dòng)的弧線齒圓柱齒輪齒面，圖5為假想的內(nèi)嚙合情形，其中rbs、rb1分別為刀具齒輪和弧線齒圓柱齒輪基圓半徑，rs、r1分別為刀具齒輪和弧線齒圓柱齒輪分度圓半徑，其中b為兩齒輪轉(zhuǎn)軸之間的最短距離由式(10)決定：

圖5 刀具齒輪與被加工齒輪假想內(nèi)嚙合圖

齒輪接觸分析（TCA）就是通過計(jì)算機(jī)仿真進(jìn)行嚙合與接觸的過程，建立如圖6弧線齒面齒輪接觸分析坐標(biāo)系，在固定坐標(biāo)系O1c下，弧線齒圓柱齒輪與面齒輪齒面∑1與∑2進(jìn)行嚙合接觸，可知嚙合點(diǎn)的位置矢量和單位法向量相等。建立如圖7和圖8包含安裝誤差的弧線齒面齒輪嚙合傳動(dòng)坐標(biāo)系，將其代入弧線齒面齒輪接觸分析坐標(biāo)系中。

圖6 弧線齒面齒輪接觸分析坐標(biāo)系

圖7 含安裝誤差的弧線齒面齒輪副嚙合坐標(biāo)系

圖8 刀具與弧線齒圓柱齒輪坐標(biāo)關(guān)系

其中O1c為弧線齒圓柱齒輪的固定坐標(biāo)系，Oh和Oq為輔助坐標(biāo)系，模擬齒輪間的裝配誤差。ΔE為軸偏置安裝誤差，Δq為軸向位移安裝誤差，Δγ為軸夾角安裝誤差。在弧線齒圓柱齒輪固定坐標(biāo)系O1c下，弧線齒圓柱齒輪與面齒輪的位置矢量與法向量分別為：

式中，φ1與φ2分別為弧線齒圓柱齒輪與弧線齒面齒輪嚙合時(shí)的轉(zhuǎn)角。M1c,1為弧線齒圓柱齒輪動(dòng)坐標(biāo)系到靜坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，L1c,1為齊次變換矩陣M1c,1的旋轉(zhuǎn)矩陣。M1c,3為弧線齒面齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系到弧線齒圓柱齒輪固定坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，L1c,3為齊次變換矩陣M1c,3的旋轉(zhuǎn)矩陣。弧線齒面齒輪傳動(dòng)嚙合接觸的基本方程為：

將上式方程(16)向x,y,z軸投影，可得6個(gè)標(biāo)量方程，其中=1，得到5個(gè)獨(dú)立的方程，聯(lián)合嚙合方程(9)，即有6個(gè)方程，7個(gè)未知數(shù)，給一定步長φ1的值，可求出其他6個(gè)未知量，將求得的值代回弧線齒面齒輪方程，可以得到完整的面齒輪齒面的嚙合線。

3 弧線齒面齒輪接觸點(diǎn)主曲率與接觸應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)微分幾何理論，曲面的曲率可以由兩類基本量來確定，用E,F,G,L,M,N來表示?；【€齒面齒輪曲面的參數(shù)方程可以用r=r(u,v)表示，其中u、v表示齒面參數(shù)。假設(shè)曲面上的一點(diǎn)P(u,v)，則該曲面的單位法向矢量為：

其中E=ruru，F(xiàn)=rurv，G=rvrv，L=-nuru，M=-nu rv，N=rvvn。

則P(u,v)點(diǎn)沿方向du/dv的法曲率kn為：

化簡公式(18)則得到主曲率的計(jì)算公式為：

該方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，就是弧線齒面齒輪上一點(diǎn)處兩個(gè)不同的主曲率，而且主方向相互垂直。其中K11與K12為弧線齒圓柱齒輪兩個(gè)主曲率；K21與K22為面齒輪兩個(gè)主曲率，將兩個(gè)齒面方程按上述步驟計(jì)算即可求得。

基于赫茲接觸理論，如圖9可知在假設(shè)弧線齒面齒輪與漸開線齒面在O點(diǎn)接觸，負(fù)載的轉(zhuǎn)矩T已知，弧線齒面齒輪與弧線齒圓柱齒輪嚙合方式為點(diǎn)接觸，在嚙合點(diǎn)O的法向接觸力Fn的作用線與其法線共線，可知其法向接觸力與基圓相切，得齒面接觸點(diǎn)法向接觸力為：

圖9 弧線齒面齒輪嚙合點(diǎn)法向力

式(20)中，T為弧線齒圓柱齒輪施加的轉(zhuǎn)矩，Rb1為圓柱齒輪基圓半徑。

其中接觸點(diǎn)處最大接觸應(yīng)力σmax為：

式(21)中，a接觸橢圓長半軸、b短半軸，可以由式(22)求出：

其中，α、β、γ為計(jì)算系數(shù)，其值由cosθ=B/A確定，可查表并線性插值得到。E1、E2，μ1、μ2分別為弧線齒圓柱齒輪和弧線齒面齒輪材料的彈性模量和泊松比。其中A,B關(guān)于兩個(gè)齒面接觸主曲率的方程，可由式(23)得出：

4 算例

4.1 安裝誤差對(duì)面齒輪接觸軌跡影響

表1為弧線齒面齒輪傳動(dòng)副的基本參數(shù)。圖10為弧線齒面齒輪傳動(dòng)副裝配圖。根據(jù)前文提到的公式(16)編寫MATLAB文件，分別對(duì)三種安裝誤差進(jìn)行軌跡接觸分析所得結(jié)果如圖11～圖13所示。其中，T為弧線齒圓柱齒輪施加的轉(zhuǎn)矩為T=24N·m；泊松比μ1=μ2=0.3，彈性模量為E1=E2=2.07×105MPa。

表1 弧線齒面齒輪副基本參數(shù)

圖10 弧線齒面齒輪副

圖11 軸交角誤差對(duì)接觸軌跡的影響

圖12 軸交錯(cuò)誤差對(duì)接觸軌跡的影響

圖13 軸偏移誤差對(duì)接觸軌跡影響

對(duì)圖11～13分析可知，三幅圖的接觸軌跡類似在一條從齒頂?shù)烬X根的直線上，軸交角誤差為正，可知嚙合點(diǎn)軌跡是向面齒輪內(nèi)端移動(dòng)，軸交角誤差為負(fù)，嚙合點(diǎn)軌跡向面齒輪外端移動(dòng)。軸交錯(cuò)誤差為正，嚙合點(diǎn)軌跡向面齒輪外端移動(dòng)，軸交錯(cuò)誤差為負(fù)時(shí)，嚙合點(diǎn)軌跡向面齒輪齒面內(nèi)端移動(dòng)。軸偏移誤差為正時(shí)，嚙合點(diǎn)軌跡向面齒輪齒面外端移動(dòng)，當(dāng)軸偏移誤差取負(fù)時(shí)，嚙合點(diǎn)軌跡向面齒輪內(nèi)端移動(dòng)。

相比較三種誤差對(duì)嚙合點(diǎn)軌跡的影響，軸交錯(cuò)誤差取值偏大，接觸軌跡移動(dòng)與其他兩種誤差偏移相近，可以得出軸交錯(cuò)誤差對(duì)接觸軌跡影響相對(duì)較小。但軸交角誤差取值很小，接觸軌跡已發(fā)生較大移動(dòng)，所以在安裝面齒輪副時(shí)，要嚴(yán)格控制軸交角誤差。

4.2 裝配誤差對(duì)單齒最大接觸應(yīng)力影響

根據(jù)表1中面齒輪副的基本設(shè)計(jì)參數(shù)，結(jié)合式(20)～式(23)對(duì)面齒輪嚙合點(diǎn)的長短半軸以及單齒最大接觸應(yīng)力進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，所得仿真結(jié)果如圖14～圖16所示。

分析圖14～圖16我們可以得出結(jié)論：

通過計(jì)算，當(dāng)弧線齒面齒輪齒面上的嚙合點(diǎn)從齒頂位置向齒根位置移動(dòng)時(shí)，嚙合點(diǎn)的橢圓長軸在減小，短軸在增大，因而從圖14～圖16可以看出最大接觸應(yīng)力是先減小，后減小緩慢；在有安裝誤差的情況下，最大接觸應(yīng)力先減小后有增大的趨勢(shì)。

由圖14可知，當(dāng)軸交角誤差為正時(shí)，嚙合點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力大于無誤差的最大接觸應(yīng)力，當(dāng)軸交角誤差為負(fù)時(shí)，嚙合點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力小于正常的最大接觸應(yīng)力。

圖14 軸交角誤差對(duì)最大接觸應(yīng)力的影響

由圖15～圖16可知，當(dāng)軸交錯(cuò)誤差與軸向偏移誤差為正時(shí)，最大接觸應(yīng)力小于正常接觸應(yīng)力；當(dāng)軸交錯(cuò)誤差與軸向偏移誤差為負(fù)時(shí)，最大接觸應(yīng)力大于正常接觸應(yīng)力。

圖15 軸向偏移誤差對(duì)最大接觸應(yīng)力的影響

圖16 軸交錯(cuò)誤差對(duì)最大接觸應(yīng)力的影響

5 結(jié)語

建立了弧線齒面齒輪嚙合坐標(biāo)系，分別推導(dǎo)了弧線齒圓柱齒輪齒面方程與弧線齒面齒輪齒面方程，得到了齒面可視化，并且通過建立正交弧線齒面齒輪副的模型，驗(yàn)證了齒面推導(dǎo)的正確性。

建立了含三種安裝誤差的弧線齒面齒輪嚙合接觸坐標(biāo)系，對(duì)接觸軌跡與接觸應(yīng)力進(jìn)行了分析，得到三種安裝誤差均會(huì)影響接觸軌跡位置與接觸應(yīng)力大小，其中軸交角誤差影響最為顯著，應(yīng)避免軸交角誤差；適當(dāng)?shù)倪x取軸交錯(cuò)誤差與軸向偏移誤差可增加弧線齒面齒輪副的承載能力。