柴油機(jī)曲軸疲勞計(jì)算中曲線數(shù)據(jù)提取與擬合

田中旭，趙娟，李奇彥，王川，侯璋天

(上海海洋大學(xué) 工程學(xué)院，上海 201306)

0 引言

曲軸是柴油機(jī)系統(tǒng)中最為核心的運(yùn)動(dòng)部件之一，曲軸的運(yùn)動(dòng)可靠性取決于曲軸的疲勞強(qiáng)度特性，進(jìn)行船用柴油機(jī)曲軸疲勞強(qiáng)度校核時(shí)，大多數(shù)計(jì)算參數(shù)都采用圖片方式呈現(xiàn)，如彎曲應(yīng)力集中系數(shù)、扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)、結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的影響系數(shù)等，因此，為船級社數(shù)據(jù)的后期分析處理帶來了很多不便之處[1]。運(yùn)用圖像處理技術(shù)，結(jié)合嶺回歸、lasso回歸等曲線擬合方法，構(gòu)建能反映計(jì)算參數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)公式，對于研究曲軸疲勞強(qiáng)度計(jì)算軟件開發(fā)是非常重要的。

目前，對于復(fù)雜曲線數(shù)據(jù)提取問題，文獻(xiàn)[2]從打印的圖形中提取曲線數(shù)據(jù)的方法，采用區(qū)域插值的方法來去除曲線中的一些間斷點(diǎn)，但是提取出的曲線僅有一條。文獻(xiàn)[3]對于電磁兼容圖片測試曲線中的數(shù)據(jù)提取，建立一種關(guān)于像素坐標(biāo)和坐標(biāo)軸的分布的數(shù)學(xué)關(guān)系，遍歷掃描圖片坐標(biāo)軸內(nèi)有效區(qū)域的每一個(gè)像素點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的提取，但是此方法提到曲線提取對于數(shù)據(jù)量大的復(fù)雜曲線，其不能很好實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)提取。文獻(xiàn)[4]提出了一種針對兩條曲線的識(shí)別提取算法和一種針對多條彩色曲線的識(shí)別提取算法，針對不同曲線運(yùn)用插值法，但是提取出的數(shù)據(jù)精度不高。文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]主要利用Hough變換,研究了有曲線方程的圓、橢圓曲線的識(shí)別,而對于曲線方程未知的一般性非參數(shù)平面曲線,其識(shí)別與提取就無法實(shí)現(xiàn)了。

本文考慮圖像干擾多，多曲線等因素，根據(jù)曲線本身的特性，提出了一種曲線數(shù)據(jù)提取的方法，利用像素點(diǎn)的位置關(guān)系對曲線圖片進(jìn)行數(shù)據(jù)遍歷掃描，避免繁瑣的操作，獲取初步的曲線數(shù)據(jù)表，然后通過比較多種數(shù)據(jù)擬合方法，選擇最大擬合優(yōu)度的回歸算法得出擬合經(jīng)驗(yàn)公式，再做誤差分析，符合標(biāo)準(zhǔn)提取出曲線數(shù)據(jù)。

1 曲線圖像降噪

曲軸疲勞強(qiáng)度計(jì)算參數(shù)表是以圖片形式呈現(xiàn)的，可能包含一些背景網(wǎng)格和水印，這些都會(huì)對圖片造成干擾。所以，為方便人工取點(diǎn)與降低干擾，先對圖1進(jìn)行圖像降噪。

圖1 特征原始圖

本文所采用的是像素值法，即根據(jù)該點(diǎn)的像素值，為此來判斷該點(diǎn)是否為曲線上的有效點(diǎn)，再將圖片轉(zhuǎn)化為只有黑白兩色的灰度圖有助于像素點(diǎn)數(shù)值的迅速判別[3]。處理的關(guān)鍵是通過閾值來判斷，f(ek,ω)曲線灰度圖的主要構(gòu)成是背景色和曲線兩種顏色，而且呈現(xiàn)出的圖像兩部分的差別非常大，將部分目標(biāo)錯(cuò)判成背景或者將部分背景錯(cuò)分成目標(biāo)都會(huì)導(dǎo)致兩部分差別變小，為此本文采用大津法來進(jìn)行處理[7]。再利用深度學(xué)習(xí)對原始圖像進(jìn)行去除復(fù)雜圖像水印和內(nèi)部的網(wǎng)格線，需要先通過對大量訓(xùn)練圖片樣本測試，保留曲線部分以及坐標(biāo)軸的邊界線，再通過高斯濾波消除噪音，為了更好的平滑圖像質(zhì)量，使用高斯濾波器與圖片進(jìn)行卷積，以此來減少邊緣檢測器上面明顯的噪聲影響。高斯濾波的計(jì)算滿足式(1)：

通過高斯濾波器降噪后的圖2為方便后續(xù)數(shù)據(jù)處理。

圖2 待提取數(shù)據(jù)的曲線

2 曲線數(shù)據(jù)提取

為了將復(fù)雜曲線分離，提取圖形數(shù)據(jù)，先讓該圖像顯示最大化，便于取點(diǎn)。這里取到的坐標(biāo)是像素坐標(biāo)，將像素坐標(biāo)值存放在數(shù)組xp，yp中，將取得的點(diǎn)像素坐標(biāo)依據(jù)坐標(biāo)軸的像素坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到曲線上點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)。再將真實(shí)坐標(biāo)存放在數(shù)組xc，yc，中。其中像素坐標(biāo)與真實(shí)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換滿足式(2)和式(3)：

取點(diǎn)后，再通過公式將像素坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，提取出ω=0.38、ω=0.36、ω=0.25的部分坐標(biāo)值如表1所示。

表1 曲線上提取的數(shù)據(jù)點(diǎn)

3 多曲線數(shù)據(jù)擬合

曲線擬合是指根據(jù)獲取的部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)解析式，使其部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)盡可能接近擬合出的值。

3.1 多曲線擬合原理分析

目前，常用的擬合方法有二次函數(shù)擬合、拋物線擬合、指數(shù)式擬合等，根據(jù)曲線線條樣式，該曲線采用高次冪數(shù)據(jù)擬合。首先建立數(shù)學(xué)模型：

則根據(jù)高次冪數(shù)據(jù)擬合原理有：

令k1,k2,...,kn合理取值，使得M的取值最小。則滿足式(5)的函數(shù)f(x)，求高次冪擬合曲線的解。

函數(shù)類型的選取決定擬合優(yōu)度，只有選取合適的函數(shù)類型，才能得到合適的擬合曲線。常用的函數(shù)有多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、傅立葉函數(shù)、高斯函數(shù)等。本文以多項(xiàng)式高次冪函數(shù)為力對曲線進(jìn)行擬合。高次冪多項(xiàng)式擬合公式為：

滿足式(7)的fm(x)就是高次冪的擬合多項(xiàng)式。公式中的α0,α1,...,αm的多項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)多項(xiàng)式極值存在的必要條件，可求得：

式(8)中，j=0，1，…，m。

將式(9)轉(zhuǎn)換成矩陣的形式：

可以證明式(9)的系數(shù)矩陣是一個(gè)對稱正定矩陣，所以存在唯一解。根據(jù)上式可以求解得到多項(xiàng)式系數(shù)矩陣。

此時(shí)，高次冪數(shù)據(jù)擬合完成，取ω=0.35這個(gè)數(shù)值的數(shù)據(jù)，得到擬合曲線計(jì)算數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的差值如圖3所示。

圖3 曲線計(jì)算數(shù)據(jù)多元圖

3.2 多曲線擬合方法選擇

曲線數(shù)據(jù)擬合的方法有很多，以下針對四種擬合方法普通最小二乘法[6]、多項(xiàng)式回歸[7]、嶺回歸[8]（ridge regression）、Lasso回歸[9]進(jìn)行比較分析。普通最小二乘法又稱高斯法，通過N個(gè)不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合出我們設(shè)定函數(shù)的未知參數(shù)的過程。多項(xiàng)式回歸將會(huì)對連續(xù)性的數(shù)據(jù)做出預(yù)測，從數(shù)據(jù)里求出回歸方程。嶺回歸（ridge regression）是加了二階正則項(xiàng)的最小二乘，嶺回歸用于處理變量間存在共線性。Lasso回歸是通過拉格朗日乘數(shù)法原理，擬合出回歸曲線，對于參數(shù)w增加一個(gè)限定條件，能到達(dá)和嶺回歸一樣的效果。如圖4所示為各算法對擬合優(yōu)度的影響曲線。

圖4 各算法擬合優(yōu)度影響曲線

此時(shí)，各算法擬合優(yōu)度的比較，取多項(xiàng)式回歸是最理想化的擬合方法，它得到的擬合曲線優(yōu)度最接近1，說明此方法擬合的曲線是最接近目標(biāo)曲線。

3.3 多項(xiàng)式擬合次冪選擇

多項(xiàng)式曲線擬合回歸模型有一次擬合、二次多項(xiàng)式擬合、三次多項(xiàng)式擬合、四次多項(xiàng)式擬合，在實(shí)驗(yàn)過程中，要根據(jù)不同次冪擬合優(yōu)度和均方誤差等方法進(jìn)行比較，選擇最適合曲線擬合模型次數(shù)，才能得到最合理的經(jīng)驗(yàn)公式。圖5為各次冪對擬合優(yōu)度的影響，圖6為各次冪對絕對值誤差的影響，圖7為各次冪對均方誤差（MSE）的影響。

圖5 各次冪對擬合優(yōu)度的影響

圖6 各次冪對絕對值誤差的影響

圖7 各次冪對均方誤差（MSE）的影響

擬合優(yōu)度R2的值約接近1，說明回歸直線對預(yù)測值的擬合程度越好，反之，R2的值越小，說明擬合程度越差，圖5當(dāng)多項(xiàng)式擬合次數(shù)達(dá)到四次時(shí)，擬合優(yōu)度幾乎接近1，就是最滿意的擬合程度。絕對值誤差（MAE）用來評估回歸模型，圖6的絕對值誤差都接近1，說明改變次數(shù)對改變絕對值誤差的影響不大。均方誤差（MSE）是指參數(shù)估計(jì)值與真實(shí)值之差平方的期望值，MSE是評價(jià)數(shù)據(jù)變化程度較方便的方法，圖7的MSE值越小，說明預(yù)測模型描述擬合數(shù)據(jù)具有更好的精確度，由圖知四次冪擬合具有更好的精度。以上回歸模型的評估指標(biāo)得出擬合的經(jīng)驗(yàn)公式如式(10)所示：

式(10)中的n=4時(shí)滿足評估指標(biāo)最優(yōu)化，根據(jù)多項(xiàng)式極值存在的必要條件，可求得式(11)的經(jīng)驗(yàn)公式系數(shù)矩陣值：

3.4 曲線擬合誤差分析

上述方法只是對圖像中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了提取，并不能說明此方法的準(zhǔn)確性，為了說明該提取數(shù)據(jù)方法的準(zhǔn)確性，要對提取出的結(jié)果進(jìn)行誤差分析。

曲線數(shù)據(jù)可以根據(jù)曲線經(jīng)驗(yàn)公式得到的，現(xiàn)在根據(jù)誤差分析公式，通過擬合所得到的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對比來獲得誤差的大小。誤差的計(jì)算公式為：

求得與原始提取數(shù)據(jù)的誤差率分別如表2所示。

表2 曲線誤差分析數(shù)據(jù)表

柴油機(jī)疲勞強(qiáng)度分析過程中，校核強(qiáng)度過程中需要對參數(shù)進(jìn)行查表，五條擬合曲線的誤差率都在誤差范圍之內(nèi)，說明此方法擬合曲線數(shù)據(jù)滿足柴油機(jī)查表數(shù)據(jù)要求。根據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)公式得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)集，再通過數(shù)據(jù)集開發(fā)查表分析軟件，可以直接通過輸入數(shù)值得到查表后的參數(shù)值，節(jié)省了查表的人力和時(shí)間，使得操作更方便。

4 結(jié)語

通過檢測系統(tǒng)的運(yùn)行，表明柴油機(jī)曲軸疲勞計(jì)算曲線數(shù)據(jù)提取與擬合方法研究，具有結(jié)果穩(wěn)定、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，適用于柴油機(jī)疲勞強(qiáng)度分析過程中計(jì)算參數(shù)的查找，同時(shí)該高次冪曲線擬合效果明顯，實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)、快速查找系數(shù)，具有較高的研究價(jià)值。對于類似的曲線提取，可以對不清晰，干擾大的圖像先進(jìn)行圖像預(yù)處理，可以通過高斯濾波、二值化、閾值化等方法初步去除噪聲等干擾。確定圖像中坐標(biāo)軸位置與坐標(biāo)刻度，使圖像中的像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為真實(shí)坐標(biāo)。在曲線上進(jìn)行取點(diǎn)，對于取到的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行多種方法曲線數(shù)據(jù)擬合，分析比較擬合優(yōu)度和均方誤差，找到一條擬合優(yōu)度最接近1的擬合方法，求解擬合經(jīng)驗(yàn)公式。通過本方法得到的曲線與原始曲線相比，數(shù)據(jù)非常吻合，誤差也相對較小。