如何正確運(yùn)用χ2檢驗(yàn)
——擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與SAS實(shí)現(xiàn)

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在進(jìn)行列聯(lián)表資料的獨(dú)立性分析和/或廣義線性回歸模型［1］分析中，常會(huì)涉及“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”和“失擬檢驗(yàn)”等內(nèi)容［1-4］。本文將介紹有關(guān)概念、各種檢驗(yàn)方法的計(jì)算公式以及基于SAS軟件［5］實(shí)現(xiàn)計(jì)算的方法。

1 有關(guān)基本概念

1.1 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的定義和種類

所謂擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，就是評(píng)價(jià)基于某種假設(shè)或回歸模型推算出按順序排列的一組期望頻數(shù)與相應(yīng)觀察頻數(shù)之間一致性的一種檢驗(yàn)方法［1，5］。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)常涉及以下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)問題：其一，檢驗(yàn)?zāi)撤N假設(shè)是否成立。例如：在列聯(lián)表資料分析中可能會(huì)提出“某些屬性變量之間存在獨(dú)立性”的假設(shè)，此時(shí)的檢驗(yàn)被稱為“獨(dú)立性擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”；又例如：在展示一組單變量資料的頻數(shù)分布時(shí)，可能會(huì)提出“該組資料服從正態(tài)分布、Poisson分布或二項(xiàng)分布”的假設(shè)，此時(shí)的檢驗(yàn)被稱為“分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”。其二，檢驗(yàn)所擬合的某個(gè)回歸模型對所描述資料的變化趨勢是否吻合，此時(shí)的檢驗(yàn)被稱為“回歸模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”。

從功能上來劃分，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可分為四種：①獨(dú)立性擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（常用于列聯(lián)表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)）；②線性擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（常用于定量因變量的線性回歸分析中，以判斷是否需要采取更復(fù)雜的方法或非線性回歸模型）；③分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（以判斷給定的資料是否服從某種特定的概率分布，如正態(tài)分布、Poisson分布或二項(xiàng)分布）；④回歸模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（以判斷當(dāng)前所構(gòu)建的回歸模型與給定資料的吻合程度）”。從檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所服從的分布來劃分，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可分為三種：①F分布（常用于線性回歸模型的分析之中）；②經(jīng)驗(yàn)分布（即柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn)）；③χ2分布（常用于除線性回歸模型分析之外的其他場合）。從構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的方法來劃分，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可分為三種：①方差分析法（常用于線性回歸模型的分析）；②似然比法（常用于除線性回歸模型分析之外的其他場合）；③觀測頻數(shù)與理論頻數(shù)之偏差的平方和法（常用于除線性回歸模型分析之外的其他場合）。這三種劃分方法在內(nèi)容上存在交叉和重疊。因篇幅所限，本文僅介紹基于“χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法［5-9］。

1.2 失擬檢驗(yàn)及其與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的關(guān)系

所謂失擬檢驗(yàn)，就是對回歸函數(shù)是否為自變量的線性函數(shù)進(jìn)行的檢驗(yàn)［2］。失擬檢驗(yàn)最早出現(xiàn)在簡單線性回歸模型的分析過程中，用以檢驗(yàn)采用簡單線性回歸模型是否可以取代曲線回歸模型。若失擬檢驗(yàn)的結(jié)果為P＞0.05，表明用簡單線性回歸模型可以取代曲線回歸模型；反之亦然。在SAS/STAT的REG過程中，在進(jìn)行多重線性回歸分析時(shí)，也可以進(jìn)行失擬檢驗(yàn)［5］。值得注意的是：在線性回歸分析中所做的失擬檢驗(yàn)是F檢驗(yàn)（也叫做方差分析），而不是χ2檢驗(yàn)。在SAS/STAT的LOGISTIC過程中，將“Hosmer-Lemeshow檢驗(yàn)”列入“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（Goodness of fit tests）”標(biāo)題之下，但在指定“選項(xiàng)（lackfit=）”時(shí)，卻又將其歸類于“失擬檢驗(yàn)”之中；然而，在SAS/STAT的PROBIT過程中，將“失擬檢驗(yàn)”與“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”視為同一種檢驗(yàn)［5］。正因如此，在下文中，統(tǒng)一稱為“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”，而不特別區(qū)分何時(shí)為“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”，何時(shí)為“失擬檢驗(yàn)”。

2 Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

2.1 可以應(yīng)用的三種場合

Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可以應(yīng)用于下列三種場合［1-5］：①列聯(lián)表資料獨(dú)立性假定的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；②單變量頻數(shù)分布的分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；③除線性回歸模型分析之外的其他回歸模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

2.2 Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.2.1 獨(dú)立性擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

在進(jìn)行R×C列聯(lián)表（包括2×2列聯(lián)表）資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的形式見式（1）：

在式（1）中，χ2服從自由度為df=（R－1）（C－1）的χ2分布；R和C分別代表二維列聯(lián)表的“行數(shù)”與“列數(shù)”。

2.2.2 分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

在推斷一組單變量定量資料服從何種頻數(shù)分布時(shí)，Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的形式見式（2）：

在式（2）中，χ2服從自由度為df=k－r－1的χ2分布；k為資料中不同數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或分組數(shù)；r為假定概率分布函數(shù)中待估參數(shù)的個(gè)數(shù)；fi為定量變量的第i觀測值（需要由小到大排序，在實(shí)際使用中，應(yīng)是第i個(gè)組的組中值）所對應(yīng)的觀測頻數(shù)；Pi為與fi對應(yīng)的頻率；n為總樣本含量；nPi為基于設(shè)定概率分布推算出來的理論頻數(shù)。

值得注意的是：各nPi應(yīng)大于等于5，否則，需要將相鄰的數(shù)據(jù)或組進(jìn)行合并，以滿足前述的前提條件。

2.2.3 回歸模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.2.3.1 在SAS/STAT的GENMOD過程中的定義

在SAS/STAT的GENMOD過程中，Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義見式（3）：

在式（3）中，χ2服從自由度為df=k－r的χ2分布；k為資料中不同數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或分組數(shù)；fi、wi、yi、μi和V（μi）分別代表第i個(gè)組的“頻數(shù)”“權(quán)重”“因變量的取值”“yi的期望值”和“yi的方差”；r為所構(gòu)建的回歸模型中待估參數(shù)的個(gè)數(shù)（包括截距項(xiàng)）。值得注意的是：廣義線性模型涵蓋面很寬泛，其因變量通常涉及以下常見概率分布，例如：正態(tài)分布、Poisson分布、伽瑪分布、逆高斯分布、二項(xiàng)分布、多項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布、零膨脹Poisson分布和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布等；依據(jù)不同的概率分布，yi、μi和V（μi）將取不同的值或計(jì)算公式，限于篇幅，不再贅述。

2.2.3.2 在SAS/STAT的LOGISTIC過程中的定義

在SAS/STAT的LOGISTIC過程中，Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義見式（4）：

2.2.3.3 在SAS/STAT的PROBIT過程中的定義

在SAS/STAT的PROBIT過程中，Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義見式（5）：

3 偏差或稱似然比擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

3.1 可以應(yīng)用的場合

偏差或稱似然比擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的應(yīng)用場合較少，目前僅應(yīng)用于回歸模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型中全部參數(shù)是否都為0。

3.2 偏差擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

3.2.1 在SAS/STAT的GENMOD過程中的定義

在SAS/STAT的GENMOD過程中［5］，偏差擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義見式（6）：

在式（6）中，Y與μ分別代表因變量的向量與因變量預(yù)測均值向量；l（Y，Y）和l（Y，μ）分別代表含有全部自變量的回歸模型的似然函數(shù)的自然對數(shù)與含有部分自變量的回歸模型的似然函數(shù)的自然對數(shù)；D（Y，μ）服從自由度為df=n－q的χ2分布，這里，n和q分別代表總樣本含量與所構(gòu)建的回歸模型中待估參數(shù)的個(gè)數(shù)（包括截距項(xiàng)）。

3.2.2 在SAS/STAT的LOGISTIC過程中的定義

在SAS/STAT的LOGISTIC 過程中［5］，偏差擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義見式（7）：

3.2.3 在SAS/STAT的PROBIT過程中的定義

在SAS/STAT的PROBIT過程中［5］，偏差擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義見式（8）：

4 Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

4.1 概述

前面介紹的Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與偏差擬合優(yōu)度檢驗(yàn)都是基于數(shù)據(jù)分組之上的，當(dāng)資料中存在連續(xù)性變量時(shí)，就不可避免地會(huì)出現(xiàn)某些組中的樣本含量很少，甚至只有1～2個(gè)樣本，這種現(xiàn)象被稱為“稀疏資料”。事實(shí)上，前面提及的兩種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)要求各組樣本含量應(yīng)大于等于5，否則，其檢驗(yàn)結(jié)果不可靠。針對“稀疏資料（某些組中沒有重復(fù)數(shù)據(jù)）”，Hosmer和Lemeshow于2000年提出了一種新的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，該擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從χ2分布［5］。

4.2 二值因變量條件下Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

二值因變量條件下Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（9）：

4.3 多值因變量條件下Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

多值因變量條件下Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量［5］見式（10）：

5 稀疏資料擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

5.1 概述

盡管Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對稀疏資料具有一定的校正能力，但它仍然需要將資料分組后才能進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)資料中“稀疏情形”非常嚴(yán)重時(shí)，其檢驗(yàn)效能將會(huì)明顯下降。為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了另外6種稀疏資料擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法。迄今為止，這些方法僅適用于因變量為二值變量的logistic回歸模型之中［5］。設(shè)j代表事件出現(xiàn)的預(yù)測概率，代表擬合模型的協(xié)方差矩陣。

5.2 不需對資料進(jìn)行分組的稀疏資料擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法

5.2.1 信息矩陣檢驗(yàn)

Orme于1988年將White于1982年提出的“一般錯(cuò)誤指定檢驗(yàn)”應(yīng)用于二項(xiàng)反應(yīng)資料。設(shè)Xj為第j個(gè)觀測的設(shè)計(jì)向量（即由全部協(xié)變量形成的向量），于是，XjX'j就是信息矩陣。通過信息矩陣XjX'j的右上角矩陣，將設(shè)計(jì)向量Xj展開成為一個(gè)新向量，記為Vech（Xj）。通過將Xj尺度化，通過將Vech（Xj）尺度化。使用殘差ej=Yj-j的二項(xiàng)形式創(chuàng)建新反應(yīng)變量的值Y*，其表達(dá)式見式（11）：

構(gòu)建Y*關(guān)于展開后的協(xié)變量的多重線性回歸模型，求出該模型的回歸平方和，這個(gè)平方和服從自由度為df的χ2分布。這里，df等于尺度化后的Vech（Xj）中未退化的協(xié)變量的數(shù)目?；诖朔椒óa(chǎn)生的檢驗(yàn)結(jié)果在擬合優(yōu)度檢驗(yàn)表中的標(biāo)簽為“信息矩陣”。

5.2.2 信息矩陣對角線檢驗(yàn)

Kuss于2002年修改了上述“信息矩陣檢驗(yàn)”方法，即僅通過信息矩陣XjX'j對角線上的元素，將設(shè)計(jì)向量Xj展開成為一個(gè)新向量，記為Vech（Xj）?；诖朔椒óa(chǎn)生的檢驗(yàn)結(jié)果在擬合優(yōu)度檢驗(yàn)表中的標(biāo)簽為“信息矩陣對角”。

5.2.3 Osius-Rojek檢驗(yàn)

Osius和Rojek于1992年用固定格漸近方法推導(dǎo)出 Pearson’sχ2統(tǒng)計(jì)量的均值和方差，均值為m，即子總體的個(gè)數(shù)（即“組數(shù)”）；方差的計(jì)算方法見式（12）：

基于式（13）可得到Osius-Rojek檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（14）：

在式（14）中，B的定義見式（13）；為服從自由度為1的χ2分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

5.2.4 未加權(quán)的殘差平方和檢驗(yàn)

Hosmer等于1997年在Copas于1989年提出的基本公式的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出未加權(quán)的殘差平方和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，見式（15）：

在式（15）中，σ為回歸的殘差標(biāo)準(zhǔn)差，其他符號(hào)的含義分別如下：

5.2.5 Spiegelhalter檢驗(yàn)

Spiegelhalter于1986年基于Brier評(píng)分推導(dǎo)出一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，見式（18）：

在式（18）中，各符號(hào)的含義如下：

5.2.6 Stukel檢驗(yàn)

Stukel于1988年提出了如下方法，在現(xiàn)有模型中增加兩個(gè)新變量，然后檢驗(yàn)這兩個(gè)新變量是否為無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的變量。對于二值反應(yīng)變量而言，設(shè)ηj=X'jβ，I(·)代表指示變量，增加的兩個(gè)新變量如下：

然后，應(yīng)用“評(píng)分檢驗(yàn)（說明：此檢驗(yàn)常被用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭胁糠只貧w系數(shù)是否為0）”檢驗(yàn)這個(gè)大模型（指增加兩個(gè)新變量后的模型）與已擬合的模型（即未增加新變量的模型）之間差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。若檢驗(yàn)的結(jié)果為“P＞0.05”，說明原先已擬合的模型對資料的擬合效果滿意。

6 實(shí)例與SAS實(shí)現(xiàn)

6.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】為探討新生兒乙肝病毒宮內(nèi)感染的危險(xiǎn)因素，某醫(yī)科大學(xué)流行病學(xué)教研室于2004年-2005年收集了145例HBsAg陽性孕婦及其145例新生兒作為研究對象，檢測新生兒出生24小時(shí)內(nèi)血清中HBV DNA，以判斷是否發(fā)生了乙肝病毒宮內(nèi)感染，新生兒血清HBV DNA陽性者為發(fā)生宮內(nèi)感染，陰性者為未發(fā)生宮內(nèi)感染。同時(shí)檢測孕婦血清中HBVDNA（陰性=0，陽性=1）、HbeAg（陰性=0，陽性=1），所得資料見表1［10］，試分析新生兒乙肝宮內(nèi)感染的影響因素。

表1 145例孕婦及其新生兒血清HBV相關(guān)指標(biāo)檢測結(jié)果

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

以上輸出的是“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”結(jié)果，前兩行是最常用的方法，后六行是稀疏資料擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果，P均＞0.05，說明所構(gòu)建的回歸模型對資料的擬合效果好。

以上輸出的是“模型擬合統(tǒng)計(jì)量”，它們只能相對反映模型對資料的擬合效果，因?yàn)樗鼈儾皇羌僭O(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果，只有在有兩個(gè)或兩個(gè)以上模型時(shí)，才可根據(jù)模型擬合統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值，判斷哪個(gè)模型對資料的擬合效果相對更好（例如，各種“R2”值越大越好，AIC、AICC和SC的值越小越好）。

以上輸出的是“Hosmer和Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”結(jié)果，因P=0.9085＞0.05，說明所構(gòu)建的回歸模型對資料的擬合效果較好，不存在“失擬”問題。

以上輸出的是“檢驗(yàn)全局原假設(shè)：BETA=0”的結(jié)果，三種檢驗(yàn)方法所得結(jié)果和結(jié)論基本一致，即認(rèn)為回歸模型中的回歸系數(shù)不全為0，所構(gòu)建的回歸模型具有一定的實(shí)用價(jià)值。

以上輸出的是“優(yōu)比估計(jì)”結(jié)果，X2的95%Wald置信區(qū)間包括“1”，表明X2的兩個(gè)水平對結(jié)果的影響接近相等；X1的，其95%Wald置信區(qū)間為［1.694，31.393］，未包括“1”，表明X1的兩個(gè)水平之間對結(jié)果的影響是不同的，即“孕婦血中HBV DNA（X1）”為陽性條件下“新生兒出現(xiàn)乙肝病毒宮內(nèi)感染”的概率是“孕婦血中HBV DNA（X1）”為陰性條件下“新生兒出現(xiàn)乙肝病毒宮內(nèi)感染”概率的7.293倍。

以上輸出的是“用于Hosmer和Lemeshow檢驗(yàn)的分區(qū)”結(jié)果，實(shí)際上就是將全部資料劃分成4個(gè)組。

以上輸出的是“最大似然估計(jì)分析”結(jié)果，此結(jié)果表明：X2的回歸系數(shù)與0之間的差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，表明“孕婦血中HbeAg（X2）”是否為“陽性”對“新生兒是否出現(xiàn)乙肝病毒宮內(nèi)感染”的影響可以忽略不計(jì)。要想獲得更簡潔的回歸模型，可以淘汰掉自變量X2后重新擬合logistic回歸模型。

【統(tǒng)計(jì)結(jié)論與專業(yè)結(jié)論】由多種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果可知，所擬合的回歸模型對資料的擬合效果滿意；由回歸系數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果可知，孕婦血中HBV DNA（X1）是新生兒乙肝宮內(nèi)感染的主要影響因素。

7 討論與小結(jié)

7.1 討論

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與失擬檢驗(yàn)在本質(zhì)上是相同的，都是用來評(píng)價(jià)某種假設(shè)（例如獨(dú)立性假設(shè)或關(guān)于資料來自某種分布的假設(shè)）是否成立或所擬合的回歸模型與資料的吻合程度。其微小差別在于：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)一般要求將資料整理成一維頻數(shù)表或高維頻數(shù)表資料形式，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為P＞0.05時(shí)，表明所做的假設(shè)成立或所擬合的回歸模型與資料的變化趨勢是吻合的；當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為P≤0.05時(shí)，表明所做的假設(shè)可能不成立或所擬合的回歸模型與資料的變化趨勢不夠吻合；然而，失擬檢驗(yàn)一般要求在自變量或自變量向量取特定值的條件下應(yīng)做多次重復(fù)試驗(yàn)，采用失擬檢驗(yàn)的目的是揭示資料中所包含的“曲線變化的成分”是否足夠多。當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為P＞0.05時(shí)，表明所擬合的回歸模型與資料的變化趨勢是吻合的；當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為P≤0.05時(shí)，表明所擬合的回歸模型與資料的變化趨勢不夠吻合，分析者需要構(gòu)建更復(fù)雜的回歸模型或非線性回歸模型。

7.2 小結(jié)

本文介紹了9種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，它們的主要應(yīng)用場合是評(píng)價(jià)廣義線性回歸模型（包括logistic回歸模型）對資料的擬合效果。其中，偏差擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和Pearson’s擬合優(yōu)度檢驗(yàn)最常用；Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對稀疏資料具有一定的校正作用；當(dāng)資料的稀疏程度十分嚴(yán)重時(shí)，需要使用專門用于稀疏資料的6種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。本文結(jié)合一個(gè)實(shí)例并借助SAS軟件實(shí)現(xiàn)了全部9種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，對SAS輸出結(jié)果做了解釋，給出了統(tǒng)計(jì)結(jié)論和專業(yè)結(jié)論。