基于磁荷觀點(diǎn)分析小磁針間的相互作用
——以一道競(jìng)賽題為例

王 勇

（江蘇省常州高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州 213000）

電與磁經(jīng)常聯(lián)系在一起并相互轉(zhuǎn)化，所以凡是用到電的地方，幾乎都有磁過(guò)程參與其中.從電磁理論的發(fā)展史看，磁理論最初是建立在磁的庫(kù)侖定律的基礎(chǔ)之上，它與電的庫(kù)侖定律平行，把磁極看成磁荷集聚的地方，將小磁針看作磁偶極子，具有一定的磁偶極矩；后來(lái)建立了分子電流理論，將小磁針等價(jià)于小螺線(xiàn)管，線(xiàn)圈等價(jià)于磁偶極層，電流環(huán)有一定的磁矩.前者稱(chēng)為磁荷觀點(diǎn)，后者稱(chēng)為分子電流觀點(diǎn).

在第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽中第4題涉及到磁體間的相互作用問(wèn)題，解本題第（2）問(wèn)與第（3）問(wèn)關(guān)鍵是必須要求出兩個(gè)小磁針之間的相互作用勢(shì)能，而參照2016年版的《全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽內(nèi)容提要》，磁場(chǎng)部分的考試內(nèi)容只提出了通電圓線(xiàn)圈在軸線(xiàn)上和環(huán)面上的磁場(chǎng)和磁矩要求，但相互作用勢(shì)能并不在競(jìng)賽內(nèi)容要求范圍之內(nèi).那么小磁針之間的相互作用勢(shì)能如何理解，相互作用勢(shì)能表達(dá)式怎么推導(dǎo)，小磁針為何等效為無(wú)限小圓線(xiàn)圈，如何快速地求出無(wú)限小線(xiàn)圈中的電流在軸線(xiàn)上和環(huán)面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在標(biāo)準(zhǔn)答案之外筆者嘗試從磁荷的觀點(diǎn)類(lèi)比電荷間的相互作用分析解決該問(wèn)題.

例題.一枚小的永磁針可視為一個(gè)半徑很小的電流環(huán)，其磁矩μ的大小為μ＝IS（I為固有不變的環(huán)電流強(qiáng)度，S＝πR2，R為電流環(huán)的半徑），方向與電流環(huán)所在的平面垂直，且與電流方向成右手螺旋關(guān)系，如圖1所示.兩枚小磁針A和B的磁矩大小保持不變均為μ，質(zhì)量均為m.取豎直向下的方向?yàn)閦軸正方向建立坐標(biāo)系.將A固定在坐標(biāo)系的原點(diǎn)O上，其磁矩方向沿x軸正方向；將B置A的正下方.已知真空的磁導(dǎo)率為μ0，重力加速度大小為g.

圖1

（1）假設(shè)B的磁矩方向與x軸成θ角，其質(zhì)心坐標(biāo)為（0，0，z）（z?R），求 A、B之間的相互作用能.

（2）假設(shè)z不變，求B可以處于穩(wěn)定平衡時(shí)與x軸所成的角θ穩(wěn).

（3）假設(shè)z可以變化，但B的磁矩與x軸所成的角θ＝θ穩(wěn)，求B的受力平衡位置，并說(shuō)明此平衡位置是否為穩(wěn)定平衡位置.

1 試題分析

本題研究?jī)尚〈裴樀南嗷プ饔茫}目中提示將小磁針等效為一個(gè)半徑很小且磁矩為μ的通電小圓環(huán)，通過(guò)畢奧-薩伐爾定律積分計(jì)算通電小圓環(huán)平面內(nèi)遠(yuǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，且用通電小圓環(huán)磁矩為μ等效表示出小磁針在遠(yuǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，進(jìn)而計(jì)算相距較遠(yuǎn)的兩個(gè)小磁針之間的相互作用勢(shì)能，再通過(guò)小磁針之間的相互作用勢(shì)能分析小磁針的穩(wěn)定平衡位置.

2 標(biāo)準(zhǔn)解答

計(jì)算小磁針A（通電小電流環(huán)平面內(nèi)）在z軸上坐標(biāo)為z（z?R）處（記為P點(diǎn)）的磁場(chǎng)，x軸垂直于紙面向外，如圖2所示A的電流環(huán)（位于yz平面）上Q處電流元為Idl＝IRdφ（cosφj＋sinφk），其中φ為電流元與y軸正方向的夾角，電流元Q到P的矢徑為d＝－Rsinφj＋（Rcosφ＋z）k，電流元Q到P的距離

圖2

根據(jù)畢奧-薩法爾定律有

磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分式為

可見(jiàn)A在（0，0，z）處的磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿x軸負(fù)方向，取B的磁矩與磁場(chǎng)垂直時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn)，則A、B之間的相互作用能為

考慮重力后，系統(tǒng)勢(shì)能為

它只與z有關(guān)，由于z不變，B受到磁場(chǎng)的外力矩大小為

當(dāng)θ＝0，π時(shí)外力矩為0，小磁針處于平衡位置.

3 磁荷分析法

3.1 小磁針的磁極類(lèi)比為磁荷

庫(kù)侖在得到點(diǎn)電荷之間的相互作用力服從平方反比關(guān)系后，直覺(jué)地感到磁極之間的相互作用力服從類(lèi)似的關(guān)系，若點(diǎn)磁荷1、2的磁荷分別為＋qm1和－qm2，則點(diǎn)磁荷1、2間的作用力為，磁場(chǎng)強(qiáng)度為.

3.2 小磁針類(lèi)比為磁偶極子

小磁針兩端帶等量的異種小磁荷，兩小磁荷之間的間距極小，小磁針可看成一個(gè)磁偶極子.設(shè)小磁針的N極帶正磁荷＋qm，小磁針的S極帶負(fù)磁荷和－qm，兩磁荷間的距離為l，磁偶極距為pm＝qml，方向由負(fù)磁荷指向正磁荷.

3.3 磁偶極子類(lèi)比為電偶極子

相距較近的等量的異種電荷構(gòu)成一電偶極子，若電偶極子的極距為pe，則電偶極子在延長(zhǎng)線(xiàn)和中垂線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

電偶極子在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中的力矩為

電偶極子在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電勢(shì)能為

類(lèi)比電偶極子的（1）、（2）式則磁偶極子在延長(zhǎng)線(xiàn)和中垂線(xiàn)上的磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為

類(lèi)比電偶極子的（3）式則磁偶極子在磁場(chǎng)中的力矩為

類(lèi)比電偶極子的（4）式則磁場(chǎng)強(qiáng)度為H的勻強(qiáng)磁場(chǎng)相互作用的電勢(shì)能為

3.4 小磁針類(lèi)比為通電小圓環(huán)分析小磁針在磁場(chǎng)中的相互作用勢(shì)能

磁矩為μ的通電小圓環(huán)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中力矩為

由于在真空中

比較磁偶極子在磁場(chǎng)中的力矩（3）式和（10）式與通電小圓環(huán)在磁場(chǎng)中的力矩（9）式則小磁針的磁偶極矩為

將（10）式和（11）式代入（8）式，則有小磁針在磁場(chǎng)中的相互作用勢(shì)能為

通電小圓環(huán)平面內(nèi)遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)等效為磁偶極子中垂線(xiàn)遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)，磁偶極子中垂線(xiàn)遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)可類(lèi)比為電偶極子在中垂線(xiàn)上遠(yuǎn)處的電場(chǎng)，則小磁針中垂線(xiàn)上（或通電小圓環(huán)平面內(nèi)）遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為（6）式.將磁偶極矩（11）式代入（6）式后可得磁場(chǎng)強(qiáng)度為

當(dāng)兩小磁針中心距離為z（z?R）時(shí)，（0，0，z）處小磁針的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

比較上述兩種解法，磁荷觀點(diǎn)簡(jiǎn)便很多，磁場(chǎng)相關(guān)概念與靜電場(chǎng)的規(guī)律一一對(duì)應(yīng)，有關(guān)靜電場(chǎng)的概念、規(guī)律、定理、討論方式以及計(jì)算結(jié)果等幾乎都可以直接借用.將小磁針類(lèi)比為電偶極子從磁荷的角度解決相關(guān)磁場(chǎng)問(wèn)題是一種有效的方法，也便于深入理解磁場(chǎng)的相關(guān)概念規(guī)律.