基于拓撲優(yōu)化的自由形狀波分復(fù)用超光柵*

桑迪 徐明峰 安強 付云起?

1)(國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院,長沙 410073)

2)(中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所,微細加工光學(xué)技術(shù)國家重點實驗室,成都 610209)

3)(中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所,矢量光場研究中心,成都 610209)

超表面由亞波長尺度排列的人工原子陣列組成,在調(diào)控光場相位、振幅、偏振等方面具有巨大優(yōu)勢.受離散采樣原理和周期性假設(shè)的限制,傳統(tǒng)正向設(shè)計方法不可避免地存在設(shè)計誤差,容易導(dǎo)致器件性能下降.本文采用基于伴隨的多目標拓撲優(yōu)化方法,逆向設(shè)計了一種具有大偏折角度、偏振不敏感特性的自由形狀波分復(fù)用超光柵.仿真結(jié)果表明,相比于離散規(guī)則結(jié)構(gòu),拓撲優(yōu)化的波分復(fù)用超光柵具有更優(yōu)越的偏振不敏感性能.此外,該結(jié)構(gòu)對510 nm 入射光的偏折角度可達70.8°,其絕對偏折效率高達48%;對于852 nm 入射光,其透射效率為98%.在此基礎(chǔ)上,通過使用隨機初始結(jié)構(gòu)可將絕對偏折效率優(yōu)化至70%以上.本文設(shè)計的自由形狀波分復(fù)用超光柵具有偏折角度大、效率高和空間串擾低等優(yōu)點,在光通信、微納光場調(diào)控、基于里德堡原子的微波測量等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用前景.

1 引言

相比于傳統(tǒng)光學(xué)器件,亞波長超表面具有電磁調(diào)控能力強、平面化、輕量化等優(yōu)勢,在光學(xué)成像、顯微、全息、光通信等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用[1,2].例如,光學(xué)超表面具有光場振幅、相位、偏振等多維參量調(diào)控能力,已廣泛應(yīng)用于光束偏折器[3]、消色差超透鏡[4,5]、全息超表面[6?8]、偏振光學(xué)[9?11]等.特別是在平面光束偏折器件中,利用不同的相位累積機制(例如諧振相位[12,13]、幾何相位[14?16]或?qū)Ｏ辔籟9,17]),周期性重復(fù)的離散單元可以實現(xiàn)特定的連續(xù)線性相位分布,從而將光束高效集中于特定的衍射階次.然而,傳統(tǒng)設(shè)計方法依賴于有限采樣單元的相位映射來獲得光束偏折功能,這導(dǎo)致在大偏折角度、偏振敏感性、多功能等偏折器件設(shè)計中引入不可忽略的設(shè)計誤差.特別是在大角度偏折設(shè)計中,由于光柵周期和對稱性的降低以及離散化超單元映射不足等因素,導(dǎo)致衍射效率急劇下降.盡管近期研究表明,通過非對稱單一結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)較高效率的大角度光束偏折[18,19],但它并沒有突破離散超表面的限制.與離散結(jié)構(gòu)相比,連續(xù)結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生空間連續(xù)的場分布模式,并避免相鄰子單元之間的局域共振影響[20?22].

逆向設(shè)計算法可以實現(xiàn)高效超光學(xué)器件的逆向設(shè)計[23,24],近年來引起了研究人員的廣泛關(guān)注.一般而言,復(fù)雜功能光學(xué)器件依賴于設(shè)計人員的物理直覺和經(jīng)驗,而逆向設(shè)計可避免設(shè)計人員對復(fù)雜物理過程的深刻理解,可以實現(xiàn)復(fù)雜光場傳播和空間模式分布的調(diào)控.其中,基于伴隨模擬的拓撲優(yōu)化方法具有計算效率高、設(shè)計自由度高等優(yōu)點,可以設(shè)計具有非直觀、準連續(xù)的自由形狀超表面,已廣泛應(yīng)用于大角度超光柵[25]、寬帶波長解復(fù)用器[26]、角度可調(diào)諧偏振轉(zhuǎn)換超表面[27]、雙波長聚焦超透鏡[28]、長焦深超透鏡[29]、和高NA 消色差超透鏡[30]等各種光學(xué)功能器件.利用格林函數(shù)的對稱性,基于伴隨模擬的拓撲優(yōu)化在每次優(yōu)化迭代操作中只需要計算兩次麥克斯韋方程[31,32],這可大幅提升優(yōu)化效率.

本文采用基于伴隨的多目標拓撲優(yōu)化方法,實現(xiàn)了大角度偏折、偏振不敏感的自由形狀波分復(fù)用超光柵.其可實現(xiàn)510 nm的入射光的大角度(+70.8°)、高效率偏折,以及852 nm 入射光的高效透射,從而實現(xiàn)高效波分復(fù)用功能.首先,在傳統(tǒng)離散周期方法的基礎(chǔ)上,正向設(shè)計的光束偏折超光柵作為初始結(jié)構(gòu),并采用多目標拓撲優(yōu)化方法進行逆向優(yōu)化.拓撲優(yōu)化后,自由形狀超光柵TM(TE)偏振光的絕對偏折效率從46%(36%)優(yōu)化到48%(48%),實現(xiàn)了偏振不敏感調(diào)控.然后,通過隨機初始結(jié)構(gòu)擴大參數(shù)搜索空間,成功實現(xiàn)了由非直觀、準連續(xù)拓撲結(jié)構(gòu)組成的自由形狀超光柵,其最大絕對效率提高到70%以上.上述偏振不敏感超光學(xué)器件可以替代傳統(tǒng)塊體狀二向色鏡,實現(xiàn)平面、緊湊的光學(xué)集成系統(tǒng),在光通信、基于里德堡原子的微波測量[33,34]等實際場景中具有重要的應(yīng)用價值.

2 基于廣義折反射定理的離散相位梯度超光柵

光柵方程確定了周期、工作波長與衍射階及其衍射角度之間的關(guān)系:

其中nt和ni是透射側(cè)和入射側(cè)介質(zhì)的折射率;θt和θi分別是透射角和入射角;m是衍射階次;λ是自由空間中的波長;P是光柵結(jié)構(gòu)的周期.當周圍介質(zhì)為空氣且光垂直于界面入射時,上述公式可簡化為

根據(jù)上述公式,為了實現(xiàn)圖1(a)所示的多功能波分復(fù)用超表面(λ1=510 nm 綠光偏折,而λ2=852 nm 紅光保持高透過率),光柵周期P應(yīng)滿足在510 nm 到852 nm 范圍內(nèi).此時紅光只有0 階衍射,光束仍保持入射方向垂直透射;綠光有三個衍射階(0、±1),其高階衍射光束將被偏折至θt方向.本文的設(shè)計目標為70°大角度偏折,取光柵周期為P=540 nm.

圖1 大角度波分復(fù)用超光柵示意圖(a)器件示意圖;(b)單元示意圖Fig.1.Schematic diagram of large-angle wavelength-division multiplexing-based metagrating:(a)Overall schematic;(b)unit schematic.

然而,由于光柵方程無法決定功率分配,光柵導(dǎo)致的對稱散射響應(yīng)將功率均勻分布到正負階,而不同衍射階次間的能量分布由組成光柵周期單元的定向散射貢獻總和決定.因此,為了抑制其余衍射階次能量、提高大角度偏折效率,需要打破光柵對稱性,構(gòu)建非對稱散射圖案的周期單元結(jié)構(gòu).廣義斯涅爾定律[35]給出了異常折射(反射)的相位梯度超表面的設(shè)計方法:

其中 dΦ/dx是超表面的相位梯度.通過由梯度排列相位分布構(gòu)成的非對稱梯度周期單元結(jié)構(gòu),其大部分能量集中在所需的光柵階數(shù)T+1衍射階,并抑制所有其他透射階(T0和T+1)方向的能量,從而實現(xiàn)光場的定向偏折控制.

如圖1(b)所示,所設(shè)計的超表面單元由亞波長方形晶格上的TiO2圓柱陣列組成,熔融石英為基板.TiO2圓柱可充當法布里-珀羅諧振器,不同直徑可支持不同的有效折射率模式.其中,TiO2柱高度H為600 nm,在510和852 nm 處的折射率分別為2.6964和2.5082[36],石英基板的折射率為1.45[36].圖2 顯示了單元結(jié)構(gòu)掃描的嚴格耦合波分析(rigorous coupled-wave analysis,RCWA)[37]的計算結(jié)果.為了滿足奈奎斯特采樣標準(U <λ/2 sinθt)并構(gòu)建非對稱散射結(jié)構(gòu),周期內(nèi)的單元數(shù)量越多越好.然而,隨著超單元尺寸的減小,其相位調(diào)節(jié)能力也將降低,并且深寬比的增加也導(dǎo)致加工難度陡增.因此,每個周期中設(shè)計三個單元以滿足非對稱散射結(jié)構(gòu)的最小數(shù)量,此時每個單元的大小為U=180 nm.

圖2 波長為510和852 nm時,具有不同單元尺寸和占空比的方形晶格上周期性TiO2 圓柱的(a),(d)透射率和(b),(e)相位;(c),(f)具有180 nm 單元尺寸和600 nm 高度的不同直徑的周期性TiO2 圓柱的透射率和相位Fig.2.Calculation of(a),(d)the transmission and(b),(e)the phase of the periodic TiO2 cylinders on a square lattice with different unit size and duty cycles at λ=510 nm and 852 nm;(c),(f)transmission and phase of the periodic TiO2 cylinders with 180 nm unit size and 600 nm height for different diameters.

如圖2(c)和圖2(f)所示,當單元尺寸為180 nm的圓柱陣列將圓柱直徑從0 nm 漸變?yōu)?80 nm時,它可實現(xiàn)510 nm波長處0至2π的全相位調(diào)控,同時在510和852 nm 波長處保持90%以上的高透射率.因此,本文選取了三個具有相位增量2π/3的高性能單元作為超表面光柵的周期設(shè)計單元,其參數(shù)如表1 所列.值得注意的是,雖然單元結(jié)構(gòu)在852 nm 處存在相位波動,但由于光柵方程決定的能量流動,透射光將完全保持與入射光相同的波矢量方向,并垂直透過光柵,以下全波模擬結(jié)果也將驗證這一結(jié)論.

表1 選取的不同直徑TiO2 圓柱的性能參數(shù)Table 1.Performance parameters of selected TiO2 cylinders with different diameters.

根據(jù)上述單元結(jié)構(gòu),設(shè)計的規(guī)則、離散梯度大角度偏折超光柵如圖3(a)所示.沿y方向亞衍射周期Py=180 nm,而沿x方向定義光束彎曲角的周期Px=540 nm,對應(yīng)于工作波長處的70.8°偏折角.圖3(b)和圖3(c)為xoz平面電場分布的有限差分時域(finite difference time domain,FDTD)全波模擬結(jié)果.從圖3(b)和圖3(c)中可見,光波在介質(zhì)柱子中激發(fā)出法布里-珀羅型共振.特別地,在510 nm 處垂直入射的TE 波與TM 波均被偏折到70.8°方向,而在852 nm 處保持完美的垂直透射.這里需要注意的是衍射角由(2)式?jīng)Q定,即偏折角度僅能通過調(diào)整光柵周期進行調(diào)節(jié),而偏折效率主要依賴于光柵周期單元散射能力.因此,通過超光柵所產(chǎn)生電場的空間分布本質(zhì)上是源于陣列衍射因子與單元干涉因子之積.

圖3 (a)超光柵結(jié)構(gòu)的頂視圖;(b)TM和(c)TE 激勵時,xoz 平面的電場分布Fig.3.(a)Top view of the metagrating;(b)electric field distribution in the xoz plane for TM and(c)TE excitation.

為了量化器件性能,傳輸和衍射效率定義為[3,15]

其中Iinput是石英襯底的透射強度;Iout和I1rd分別是超表面透射中的總透射強度和+1 級衍射強度.因此,絕對偏折效率可表示為

傳輸效率、偏折效率與入射偏振的關(guān)系如圖4(a)所示.實際上,由于圓形介質(zhì)柱的圓形對稱性,所設(shè)計的超光柵在理論上是偏振無關(guān)的.該器件在510和852 nm 處表現(xiàn)出偏振無關(guān)的高性能(超過84%和98%)透明狀態(tài).然而,在510 nm處,大角度衍射導(dǎo)致的阻抗失配使得TM 波偏折效率(47.5%)高于TE 波偏折效率(36.5%).此外,由于離散單元對于能量定向控制的能力較差,能量無法集中到所需的T+1階上,即TM(TE)波的相對衍射效率僅為53.5%(43.5%).圖4(b)和圖4(c)展示了TM和TE 波入射時的遠場光強分布.從圖4(b)和圖4(c)可以看到,在綠光波段中存在三個衍射階可以使光束大角度偏折,而在紅光波段中只有0 階垂直衍射并保持高透射率.

圖4 (a)設(shè)計的超光柵在不同偏振方向下的傳輸效率與偏折效率;(b)TM和(c)TE 平面波垂直入射時,透射光強的遠場分布Fig.4.(a)Transmission efficiency and deflection efficiency of the designed metagrating with different polarization directions;farfield profiles of transmitted light intensity at normal incidence of(b)TM and(c)TE plane wave.

3 基于伴隨模擬的拓撲優(yōu)化自由形狀超光柵

基于上述正向設(shè)計結(jié)果,本文基于伴隨算法的逆向設(shè)計方法,繼續(xù)設(shè)計了一種高效率、大偏折角度、偏振不敏感的自由形狀超光柵.本質(zhì)上,基于伴隨的逆向設(shè)計是一種梯度優(yōu)化算法,即每次迭代更新梯度值,使得目標函數(shù)(figure of merit,FOM)最大化.此時,單個優(yōu)化目標被定義為特定波長和偏振的入射波偏折到特定衍射通道中的效率:

其中i=λ1,λ2表示設(shè)計波長;j=TM,TE表示入射偏振態(tài);Eij表示特定波長下的所需的+1 或0 階衍射透射光的電場復(fù)振幅.因此,多目標優(yōu)化的FOM可以表示為多個目標函數(shù)的權(quán)重之和:

其中wij為不同目標函數(shù)的權(quán)重.在每次拓撲優(yōu)化迭代中的梯度可以表示為[31]

其中r和r′分別表示結(jié)構(gòu)內(nèi)的點和目標區(qū)域內(nèi)的點;G(r,r′)是麥克斯韋-格林函數(shù),表示r′點處的感應(yīng)電偶極子在r點的電場.此時,優(yōu)化目標對電場的偏導(dǎo)數(shù)即為每次迭代中伴隨模擬的激勵源:

其中*為復(fù)共軛算符.因此,僅通過計算正向和伴隨兩次模擬，并將多個優(yōu)化目標的梯度加權(quán)求和，便可得到 FoM的優(yōu)化梯度更新(如圖5 所示).

圖5 伴隨方法示意圖.每次迭代都需要兩次模擬(正向模擬和伴隨模擬),每個模擬激勵源都以紅色繪制Fig.5.Adjoint method schematic.Two simulations(the forward and the adjoint simulation)are needed for every iteration.Sources for each simulation are drawn in red.

波分復(fù)用超光柵的拓撲優(yōu)化過程如圖6 所示,其中插圖直觀地展示了超光柵結(jié)構(gòu)的演變過程.可以看到,隨著迭代次數(shù)的增加,對于510 nm 入射光,TM和TE 波的偏折效率均穩(wěn)定在48%左右;對于852 nm 入射光,透過率始終維持在98%左右.此外,在拓撲優(yōu)化過程中,漸變的超表面介電常數(shù)分布被實時修正,使得初始結(jié)構(gòu)最終收斂到拓撲形態(tài)的TiO2或空氣介電常數(shù)分布.由于梯度算法的高效性,隨著優(yōu)化迭代次數(shù)的增加,超表面的拓撲形狀迅速改變,其拓撲結(jié)構(gòu)在約60 代時基本形成.因此,在優(yōu)化過程的后期,相應(yīng)的FOM 沒有得到顯著改善.實際上,優(yōu)化過程最后階段的主要目的是在保持高FOM的同時,完全二值化超表面的介電常數(shù)分布,使得優(yōu)化后的超表面滿足物理可實現(xiàn)性.

圖6 超光柵的拓撲優(yōu)化過程:綠光偏折效率與紅光透過效率的演變,以及拓撲形態(tài)的演變Fig.6.Topology optimization process of metagratings:the evolution of green light deflection efficiency and red light transmission efficiency,and the evolution of topology shapes in different iterations.

圖7(a)顯示了拓撲優(yōu)化的自由形狀超光柵結(jié)構(gòu)分布.圖7(b)和圖7(c)給出了xoz平面中的電場分布結(jié)果,由垂直入射的TM和TE 光照射的五個周期結(jié)構(gòu)組成.結(jié)果表明,大部分透射光均有效偏折至70.8°.此外,相比于正向離散超表面,偏折電場分布更加接近均勻平面波,表明優(yōu)化后的超表面有效抑制了其余衍射階能量分配.

圖7 (a)拓撲優(yōu)化后自由形狀超光柵的頂視圖;(b)TM和(c)TE 激勵時xoz 平面的電場分布Fig.7.(a)Top view of the topology-optimized freeform metagrating;electric field distribution in the xoz plane for(b)TM and(c)TE excitation.

如圖8 所示,相比于正向設(shè)計的離散超表面,拓撲優(yōu)化后自由形狀超光柵的TM 偏折效率沒有太大變化.然而,由于優(yōu)化中選取了相同的TM和TE 性能權(quán)重,TE 波的偏折效率從36.5%提升至與TM 波相近的48.1%.值得注意的是,即使510 nm的TE 偏振透過效率大幅下降,但所需要的偏折效率仍滿足優(yōu)化目標的提升,這導(dǎo)致相對衍射效率的增加(從43.5%提升至65.5%).

圖8 (a)拓撲優(yōu)化的超光柵在不同偏振方向下的傳輸效率與偏折效率;(b)TM和(c)TE 平面波垂直入射時,透射光強的遠場分布Fig.8.(a)Transmission efficiency and deflection efficiency of the topology-optimized metagrating with different polarization directions;far-field profiles of transmitted light intensity at normal incidence of(b)TM and(c)TE plane wave.

4 基于隨機初始結(jié)構(gòu)的高效自由形狀超光柵

梯度算法是一種局部最優(yōu)算法,初始值對優(yōu)化結(jié)果具有很大的影響.將正向設(shè)計結(jié)果作為初始結(jié)構(gòu),更容易實現(xiàn)局部最優(yōu)值,但也限制了拓撲結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化空間.因此,本文使用隨機生成的圖案作為初始結(jié)構(gòu),逆向設(shè)計了多個高效的自由形狀超光柵結(jié)構(gòu).

圖9 顯示了一個典型的優(yōu)化結(jié)構(gòu).圖9(a)為不同迭代次數(shù)中的拓撲演變過程,最終由互連且復(fù)雜的線條結(jié)構(gòu)組成.圖9(b)展示了自由形狀超表面的性能.從圖9(a)和圖9(b)可以看到,相比于正向設(shè)計超光柵 47%(36%)的偏折效率以及基于正向結(jié)構(gòu)優(yōu)化超光柵的 48%(48%)偏折效率,該完全自由形狀超光柵的綠光偏折效率顯著提升至60%以上,而紅光透射效率仍然保持在96%以上.

圖9 (a)自由形狀超光柵的優(yōu)化演變過程;(b)自由形狀超光柵不同入射偏振的傳輸效率與偏折效率Fig.9.(a)Evolution of freeform metagrating;(b)transmission efficiency and deflection efficiency of the freeform metagrating with different polarization directions.

最后,本文對各種隨機初始結(jié)構(gòu)的自由形狀超表面進行了優(yōu)化設(shè)計.各種演變的拓撲形狀和性能結(jié)果如圖10 所示.從圖10 可以發(fā)現(xiàn),由于梯度算法的局部最優(yōu)特性,不同初始結(jié)構(gòu)得到最終的優(yōu)化結(jié)構(gòu)與性能均有所不同.值得注意的是,在正向設(shè)計中,由于單元尺寸的限制,y方向需要特定的周期以滿足超單元周期的預(yù)設(shè)邊界條件.而自由形狀的拓撲優(yōu)化在y方向增加了更多自由度,從而提高了性能上限.例如當Py增加至300 nm 或400 nm時,其偏折效率可大幅提升至70%.

圖10 自由形狀超表面的性能(a)—(c)Py=180 nm;(d)Py=200 nm;(e)Py=300 nm;(f)Py=400 nm,其中虛線表示正向設(shè)計的效率曲線Fig.10.Performance of freeform metasurface:(a)–(c)Py=180 nm;(d)Py=200 nm;(e)Py=300 nm;(f)Py=400 nm,where the dashed lines indicate the efficiency curves of the forward design.

5 結(jié)論

本文利用逆向拓撲優(yōu)化設(shè)計方法,逆向設(shè)計了大角度偏折、偏振不敏感的波分復(fù)用自由形狀超表面.相比于正向設(shè)計的離散超表面,拓撲優(yōu)化后的超光柵偏振不敏感性大大提升,且絕對偏折效率保持在48%左右.此外,本文還證明了基于隨機初始結(jié)構(gòu),可以優(yōu)化搜索出新的高性能器件.這種完全自由形狀超光柵具有復(fù)雜、非直觀的空間拓撲結(jié)構(gòu),并具有偏振無關(guān)、效率高、偏折角度大等優(yōu)點.本文提出的多目標拓撲優(yōu)化設(shè)計方法可以應(yīng)用于非周期性、多波長、多功能超表面設(shè)計中,為新型復(fù)雜光場調(diào)控的平面光學(xué)器件提供了一種高效的設(shè)計思路.