簡諧與光晶格復合勢阱中旋轉二維玻色-愛因斯坦凝聚體中的渦旋鏈*

張志強

(鄭州商學院,通識教育中心,鄭州 451200)

利用數(shù)值計算方法,研究了由簡諧勢與光晶格勢構成的復合勢阱中旋轉二維玻色-愛因斯坦凝聚體中渦旋的產(chǎn)生、渦旋鏈的形成,以及渦旋鏈的特性.首先利用多重網(wǎng)格預條件共軛梯度法,研究了二維凝聚體中渦旋的產(chǎn)生、渦旋鏈的形成及分布情況和不同物理參量對渦旋鏈的影響;其次利用時間分裂譜方法研究了渦旋鏈隨時間的演化情況.結果表明,囚禁于復合勢阱的凝聚體中渦旋的產(chǎn)生,對應于勢阱的極小值,當光晶格深度增大到一定值時,凝聚體中形成了渦旋鏈,而隨著光晶格深度的進一步增大,凝聚體中渦旋鏈中的渦旋深度不斷減小,最終渦旋鏈完全消失.當原子間相互作用強度增大,凝聚體的分布范圍擴大,凝聚體中的渦旋和渦旋鏈的數(shù)量也增加,但當原子間相互作用強度增大一定值后,渦旋鏈的對稱性被破壞.隨著凝聚體旋轉角速度的增大,凝聚體的分布范圍隨之擴展,凝聚體中渦旋和渦旋鏈的數(shù)量也隨之增加.當凝聚體旋轉角速度接近外部勢阱的諧振頻率時,渦旋鏈的直線排列被破壞.還發(fā)現(xiàn)凝聚體中渦旋鏈隨時間演化存在3 個階段:第1 階段渦旋鏈與凝聚體一同旋轉且保持原有的鏈狀分布不變;第2 階段出現(xiàn)了渦旋空間擠壓現(xiàn)象,渦旋鏈被破壞;第3 階段出現(xiàn)了渦旋空間擴張現(xiàn)象,最終渦旋鏈消失.

1 引言

自從1995 年在實驗中首次實現(xiàn)玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)以來[1?3],由于其特有的可操控性,使其成為一個全新的量子模擬和研究相互作用量子體系的理想平臺.BEC 中具有豐富的非線性現(xiàn)象,如亮孤子及暗孤子[4,5]、渦旋及渦旋對[6?8]和渦旋面[9]、怪波[10,11]等,成為物理學發(fā)展最迅速、成果最豐富的領域之一,受到了廣泛的關注和持續(xù)的研究.

BEC 本質上是一種宏觀量子效應,其具有量子波動性、宏觀量子相干性和人工可調(diào)控性.與其他非線性系統(tǒng)相比,BEC 具有更多的可調(diào)控的物理參量,如原子間相互作用強度[12]、囚禁凝聚體的外部勢阱、自旋-軌道耦合作用[13]、凝聚體旋轉頻率[14]等.

實驗上,基于Feshbach 共振技術[15],可以調(diào)節(jié)BEC 中原子的S-波散射長度的大小甚至正負.S-波散射長度的變化會改變原子間相互作用強度,對BEC的物性有重要影響.實驗通過一個隨時間變化的外加磁場[16],不僅可以調(diào)節(jié)S-波散射長度的大小隨時間線性變化、指數(shù)變化和周期性變化等,還可以調(diào)節(jié)原子間相互作用從排斥到吸引,從而在BEC 中觀察亮孤子的形成.Nguyen等[17]利用Feshbach 共振技術快速地將BEC 中原子間相互作用從排斥調(diào)節(jié)到吸引,基于調(diào)制不穩(wěn)定性在BEC 中觀察到了亮孤子陣列的形成,并且孤子之間呈相互排斥作用.2020年,Di Carli等[18]利用Feshbach 共振技術加上一個空間梯度磁場,實現(xiàn)了長時間存在的BEC,并且其中一部分區(qū)域中的BEC 原子間為排斥相互作用、另一部分BEC 原子間相互作用為相互吸引.他們首次在實驗中研究了非均勻BEC的動力學行為,并且還觀察了孤子的形成,以及孤子從相互吸引作用區(qū)域隧穿到相互排斥作用區(qū)域的動力學行為.2009年,美國國家標準技術研究所聯(lián)合量子中心的Spielman 課題組[19]在實驗中采用兩束Raman 光耦合原子的Zeeman內(nèi)態(tài)成功實現(xiàn)了人造規(guī)范矢勢,隨后,他們又相繼實現(xiàn)了人造均勻規(guī)范勢和自旋-軌道耦合等等.針對自旋-軌道耦合BEC的基態(tài)和非線性物質波等的研究中,在自旋-軌道耦合BEC 觀察到了Hess-Fairbank 效應和拓撲渦旋量子態(tài)[20],發(fā)現(xiàn)了平面波態(tài)、條紋態(tài)、分數(shù)Skyrmion 渦旋態(tài)、Majoranan孤子、拓撲超流態(tài)等新奇量子現(xiàn)象[21?23].

理論上,Gligori?等[24]研究了BEC 中的離散亮孤子,發(fā)現(xiàn)當原子間相互作用增大到一定值時,離散亮孤子在晶格中可保持穩(wěn)定.考慮高斯分布形式的原子間相互作用,Bala?等[25]發(fā)現(xiàn)在雪茄型非均勻BEC 中也會產(chǎn)生法拉第波.BEC 中的孤子通過線性勢時,隨空間坐標變化的原子間相互作用會增強孤子的隧穿.當化學勢超過臨界值時,Sudharsan等[26]發(fā)現(xiàn)在二維BEC 中可形成穩(wěn)定渦旋.Kengne等[27]研究了BEC 中平面波的調(diào)制不穩(wěn)定性,并詳細介紹了如何通過原子間相互作用和外部勢阱來精確操控BEC 中的孤子.通過使用直接數(shù)值模擬和變分法,Cheng等[28]研究了雙色光晶格勢阱中BEC的靜態(tài)和動力學性質,證實隨坐標空間變化的原子間相互作用的正負和大小對BEC的性質有重要影響.考慮周期性的原子間相互作用,Wang等[29]發(fā)現(xiàn)暗孤子穩(wěn)定性與BEC 背景形成的周期性結構密切相關.北京信息科技大學Wang等[30]研究了一維、二維和旋轉BEC,發(fā)現(xiàn)在一維和二維BEC 中都存在穩(wěn)定的局域非線性物質波,如呼吸孤子和移動的孤子等,而在旋轉BEC 中存在量子化渦旋.中科院數(shù)學與系統(tǒng)研究院Yan等[31]發(fā)現(xiàn)二維BEC 中也存在穩(wěn)定的超流態(tài).

基于BEC的組分、幾何維度、外部囚禁勢和原子相互作用強度等參數(shù)的高度可控性,既可利用該平臺研究BEC 中的物質波干涉、孤子、量子液滴、集體激發(fā)、渦旋等基礎物理,也可以模擬Hubbard 模型、Su-Schrieffer-Heeger 模型等量子體系,探索其中的新奇量子現(xiàn)象.

綜上所述,本文考慮了一個由二維諧振勢與一維光晶格勢組成的復合勢阱,旋轉二維玻色-愛因斯坦凝聚體囚禁在復合勢阱中,研究了二維凝聚體中渦旋的產(chǎn)生、渦旋鏈的形成及分布情況以及渦旋鏈隨時間的演化情況.首先得到了描述復合勢阱中旋轉二維BEC 體系的無量綱Gross-Pitaevskii(GP)方程,其次介紹了數(shù)值計算方法,并由實際實驗數(shù)據(jù),選取了計算參數(shù)和凝聚體初始條件.由計算結果,分別討論了渦旋及渦旋鏈的形成、光晶格深度、原子間相互作用強度、凝聚體旋轉角速度對渦旋鏈的影響,最后,研究了渦旋鏈隨時間演化情況.

2 理論模型及數(shù)值計算

2.1 理論模型

旋轉二維玻色-愛因斯坦凝聚體可由二維Gross-Pitaevskii(GP)方程描述:

V(X,Y)為二維外部勢阱,選取二維諧振勢與一維光晶格勢組成的復合勢阱,形式如下:

其中,ωX和ωY表示二維諧振勢阱X和Y方向的諧振頻率,E0表示光晶格的深度,D=λL/2 表示光晶格的間距,這里的λL為激光的波長.

2.2 數(shù)值計算方法與參數(shù)選取

方程(4)的解析解是不容易得到的,因此,通常選擇一種合適的數(shù)值計算方法,可以較為方便得到方程(4)的數(shù)值解.本文選擇多重網(wǎng)格預條件共軛梯度法[32](multigrid preconditioned conjugate gradient method).該方法在文獻[32]中有詳細的介紹,是一種高效的求解旋轉BEC 波函數(shù)密度分布的數(shù)值方法.為此,選取一個正方向區(qū)域U=[?L,L]2,將正方向區(qū)域在兩個方向都等分成M份,間隔為hx=hy=2L/M.在本文的計算過程中,取L=10,通常M取一個較大的正整數(shù),為了達到更好的精度和較快的計算速度,在計算程序中,取M=210.

根據(jù)Williams等[33]的實驗數(shù)據(jù),考慮玻色-愛因斯坦凝聚體由87Rb 原子組成,選取的數(shù)值計算參數(shù)如下:總原子數(shù)目N=1.5×104,諧振勢阱的諧振頻率ωX=ωY=2π×20.1 Hz,S-波散射長度as=5.61nm.這樣,無量綱化后的單位長度對應的實際長度是2.40 μ m,無量綱單位時間對應的實際時間是7.9 ms.依據(jù)上述實驗中的參數(shù),其他數(shù)值計算參數(shù)選取為:k=1.25,g=0.1,?=0.7.后續(xù),可以通過改變g或者?值,討論原子間相互作用強度及凝聚體旋轉角速度對凝聚體中渦旋鏈的影響.

在本文的計算過程中,選取的凝聚體初始條件為歸一化的二維高斯波包,形式如下:

3 結果與討論

3.1 諧振勢與光晶格勢構成的復合勢阱中渦旋鏈的形成

首先,討論光晶格勢對渦旋鏈形成的影響.圖1給出了不同光晶格深度時凝聚體的密度分布|ψ(x,y)|2的圖像.圖1(a)對應于光晶格深度為0,也就是對應于只有諧振勢阱的情況.此時,凝聚體分布呈現(xiàn)中間高,四周逐漸降低,這是典型的二維高斯型孤子密度分布.在二維諧振勢阱中,凝聚體密度分布的本征態(tài)就對應于二維高斯型孤子[34].從圖1(a)還可以看到,此時凝聚體中并沒有渦旋存在.當設置光晶格深度V0=0.05時,對應的凝聚體密度分布圖像如圖1(b)所示.此時,凝聚體中出現(xiàn)了渦旋,并且渦旋的分布呈現(xiàn)水平方向(x方向)和豎直方向(y方向)大致對稱的排列.分析認為,凝聚體中渦旋產(chǎn)生的原因是,渦旋對應于空間中總能量的局部最小值,僅考慮外部勢阱時,就要求外部勢阱存在一個極小值.否則,即使凝聚體旋轉得足夠快,渦旋也不會形成[9].由于此時光晶格的深度很小,外部勢阱仍然由諧振勢阱占主導地位,這就使得渦旋的分布在空間上呈現(xiàn)x和y方向大致的對稱性.增大光晶格深度至V0=0.5時,如圖1(c)所示,凝聚體中渦旋排列的對稱性分布就被破壞,此時渦旋的分布不再具有對稱性.當繼續(xù)增大光晶格深度V0=1.5時,凝聚體中渦旋開始出現(xiàn)豎直方向(y方向)上的鏈式排布,如圖1(d)所示.可以認為,此時凝聚體中形成了渦旋鏈,在豎直方向(y方向)上,出現(xiàn)了5 條可分辨的渦旋鏈.隨著光晶格深度繼續(xù)增大,如圖1(e)和(f)所示,渦旋鏈更加清晰可辨,而且隨著光晶格深度的增大,凝聚體的分布出現(xiàn)了明顯的條帶狀分布.這是由于光晶格深度的增大,其囚禁凝聚體的能力增強,導致凝聚體分布在光晶格的最小值處,從而出現(xiàn)了條帶狀的凝聚體密度分布.渦旋鏈的形成,主要是x方向光晶格勢阱的作用,由于光晶格深度的增大,其囚禁凝聚體的能力增強,導致凝聚體分布在光晶格的最小值處,從而出現(xiàn)了y方向上條帶狀的凝聚體密度分布.渦旋分布在條帶狀的凝聚體之間,進而形成了沿y方向的渦旋鏈.光晶格深度越深,條帶狀分布就越明顯.

圖1 不同光晶格深度對渦旋鏈形成的影響(a);(b);(c);(d);(e);(f).其他參數(shù)設置為:,,V0=0 V0=0.05 V0=0.5 V0=1.5 V0=3.0 V0=4.5 k=1.25 g=0.1 ?=0.7 V0=0 V0=0.05 V0=0.5 V0=1.5 V0=3.0 V0=4.5 k=1.25 g=0.1?=0.7Fig.1.Effect of the depth of the optical lattice on the formation of vortex chains:(a);(b);(c);(d);(e);(f).Values of other parameters are,,and.

3.2 光晶格深度對渦旋鏈的影響

通過關于渦旋鏈的討論,發(fā)現(xiàn)光晶格深度對渦旋鏈分布和形態(tài)有影響,因此,重點討論光晶格深度對渦旋鏈的影響.如圖2 所示,給出了不同光晶格深度的情況下凝聚體的密度分布|ψ(x,y)|2的圖像.對比圖2(a)—(c),發(fā)現(xiàn)凝聚體里均產(chǎn)生了5 條渦旋鏈,隨著光晶格深度的增大,例如光晶格深度V0=3.0增大到9.0,凝聚體的條帶狀分布愈發(fā)明顯.可見隨著光晶格深度的進一步增大,其囚禁能力也進一步增強,凝聚體越來越多的分布在光晶格的最小值處,從而凝聚體的條帶狀密度分布就越明顯.進一步增大光晶格深度到V0=15.0,圖2(d)給出了此時凝聚體的密度分布,從圖2(d)可以看到,凝聚體中形成了6 條帶狀結構,中間仍然出現(xiàn)了5 條渦旋鏈,不過最外側的兩條渦旋鏈只能勉強分辨清楚.對比圖2(a)—(d),可以看出,隨著光晶格深度的增大,最外側的渦旋鏈中的渦旋深度在不斷減小,到圖2(d)所示情況時,這兩條渦旋鏈中的渦旋處于消失的邊緣.當光晶格深度增加至V0=21.0,凝聚體的密度分布如圖2(e)所示.此時,凝聚體仍然呈6 條帶狀結構,中間只出現(xiàn)了3 條渦旋鏈,最外側的渦旋鏈已經(jīng)完全消失.繼續(xù)增大加光晶格深度V0=30.0,如圖2(f)所示,凝聚體中的渦旋基本上消失至不可見狀態(tài),凝聚體只剩下6 條帶狀密度分布,可以得出渦旋鏈已經(jīng)消失.綜合上述,光晶格深度對渦旋鏈的形成和演化有重要影響,隨著光晶格深度的增大,凝聚體中最外側渦旋鏈中的渦旋深度不斷減小,最終消失.進一步增大光晶格深度,內(nèi)測渦旋鏈中的渦旋深度也減小,最終所有的渦旋鏈完全消失,凝聚體只剩下條帶狀的密度分布.

圖2 不同光晶格深度情況下,凝聚體的密度分布 |ψ(x,y)|2的圖像(a)V0=3.0;(b)V0=6.0;(c)V0=9.0;(d)V0=15.0;(e)V0=21.0;(f)V0=30.0.其他參數(shù)與圖 1 中的相同F(xiàn)ig.2.The density distribution of BEC at different optical lattice depths:(a)V0=3.0;(b)V0=6.0;(c)V0=9.0;(d)V0=15.0;(e)V0=21.0;(f)V0=30.0.The other parameters used are the same as those in Fig.1.

隨著光晶格深度的增大,光晶格勢阱囚禁能力增強,凝聚體分布越來越集中在光晶格的最小值處,導致條帶狀的凝聚體密度分布越來越明顯.渦旋鏈分布在條帶狀的凝聚體之間,隨著光晶格深度越深,條帶狀分布就越明顯,條帶狀凝聚體之間部分的渦旋深度就越來小,最終,條帶狀之間幾乎不存在凝聚體分布,渦旋和渦旋鏈就隨之消失.

3.3 原子間相互作用強度對渦旋鏈的影響

在BEC的相關實驗中,廣泛應用了Feshbach共振技術來改變BEC 組成的原子間相關作用強度,用以調(diào)控BEC 中的亮孤子的產(chǎn)生,或者調(diào)節(jié)BEC 中孤子的性質.Feshbach 共振技術使原子間相互作用強度成為一個可以方便調(diào)節(jié)的宏觀物理量,因此,本節(jié)討論原子間相互作用強度的改變,對BEC 中渦旋鏈的影響情況.圖3 展示了不同原子間相互作用強度情況下凝聚體的密度分布|ψ(x,y)|2的圖像,從圖3(a)—(f),原子間相互作用強度從g=0.05 增大到g=0.90.

圖3 不同原子間相 互作用強度情況下,凝聚體的密度分布|ψ(x,y)|2的圖像(a)g=0.05;(b)g=0.10;(c)g=0.15;(d)g=0.30;(e)g=0.60;(f)g=0.90.其他參數(shù)設置為:k=1.25,V0=3.0,?=0.7Fig.3.De nsity distribution of BEC for different interaction strengths between atoms:(a)g=0.05;(b)g=0.10;(c)g=0.15;(d)g=0.30;(e)g=0.60;(f)g=0.90.Values of other parameters are k=1.25,V0=3.0,and ?=0.7.

首先,可以直觀發(fā)現(xiàn),隨著原子間相互作用強度的增大,BEC的分布范圍隨之擴大,這是由于原子間相互作用強度大于0時,表示原子間是相互排斥的,隨著相互作用強度的增大,原子間排斥作用增大,就導致了BEC 原子分布的范圍擴大.

其次,除了BEC 分布范圍擴大,原子間相互作用強度還對渦旋鏈的長度和渦旋鏈中渦旋數(shù)目有重要影響.當g=0.05時,如圖3(a)所示,此時成型的渦旋鏈有3條,這3 條渦旋鏈中的渦旋也只有4 個.研究發(fā)現(xiàn)在凝聚體的邊緣,還有一些渦旋正在形成.隨著原子間相互作用強度增大到g=0.10,BEC 中形成了5 條渦旋鏈,每條渦旋鏈中至少有4 個渦旋,居于中間的渦旋鏈中出現(xiàn)了7 個渦旋,如圖3(b)所示,此時,凝聚體中的渦旋數(shù)量也隨著原子間相互作用強度的增大而增加.繼續(xù)增大原子間相互作用強度至g=0.15,從圖3(c)中可以看到,這時凝聚體中仍然是5 條渦旋鏈,但每條渦旋鏈的渦旋數(shù)量比之前有所增加,凝聚體中總的渦旋數(shù)目更多了.當設置原子間相互作用強度g=0.30,BEC 中出現(xiàn)了7 條渦旋鏈,如圖3(d)所示,每條渦旋鏈中的渦旋數(shù)目5—9 個不等,凝聚體中的渦旋數(shù)目繼續(xù)增多.進一步增大原子間相互作用強度g=0.60,凝聚體中仍舊維持7 條渦旋鏈,每條渦旋鏈中的渦旋數(shù)目增到8—10個,BEC 中渦旋的總數(shù)目也進一步增大,見圖3(e).此外,中間3 條渦旋鏈中的渦旋排列,出現(xiàn)了不在一條直線上的情況,也就是說,隨著原子間相互作用強度進一步增大,凝聚體中的渦旋鏈的對稱性被破壞.繼續(xù)增大原子間相互作用強度g=0.90,從圖3(f)中可以發(fā)現(xiàn),凝聚體中的渦旋數(shù)量繼續(xù)增加,中央渦旋鏈的渦旋排列出現(xiàn)了更多的不規(guī)則排列,也就是渦旋鏈的對稱性出現(xiàn)了更多的破壞.

分析認為,凝聚體分布范圍的擴展,是由于原子間排斥性相互作用強度的增大導致的.而渦旋對應于空間中總能量的局部最小值,為了保持凝聚體能量的最小值,隨著原子間排斥性相互作用強度的增大,凝聚體中渦旋的數(shù)目也隨之增加,大量的渦旋在y方向上排列在凝聚體中,從而來降低系統(tǒng)的總能量[35],最終達到一個穩(wěn)定的狀態(tài),此時呈現(xiàn)出的就是渦旋鏈數(shù)目增加、每條渦旋鏈中渦旋數(shù)目也增加.

綜上所述,隨著原子間相互作用強度的增大,BEC的分布范圍隨之擴大,凝聚體中的渦旋和渦旋鏈的數(shù)量也隨之增加,當原子間相互作用強度增大一定值后,渦旋鏈的對稱性出現(xiàn)破壞,渦旋的排列不再對稱排列.可見,原子間相互作用強度對凝聚體中的渦旋和渦旋鏈有重要影響,通過Feshbach共振技術調(diào)節(jié)原子間相互作用強度,可以有效的調(diào)控凝聚體中的渦旋的數(shù)量和渦旋鏈的形態(tài).

3.4 凝聚體旋轉角速度對渦旋鏈的影響

通過設置不同的凝聚體旋轉角速度?的值,討論旋轉角速度對凝聚體中渦旋鏈的影響.圖4 給出了不同凝聚體旋轉角速度?時凝聚體的密度分布|ψ(x,y)|2中的渦旋及渦旋鏈的分布情況.當凝聚體旋轉角速度較小,凝聚體中沒有出現(xiàn)渦旋,如圖4(a)所示,此時設置?=0.1,凝聚體呈現(xiàn)對稱性分布,其中沒有渦旋存在.當設置凝聚體旋轉角速度?=0.3時,凝聚體中出現(xiàn)了4 個渦旋,呈對稱分布在凝聚體中,如圖4(b)所示,此時還不能稱之為形成了渦旋鏈.當增大凝聚體旋轉角速度至?=0.5,此時凝聚體中出現(xiàn)了14 個渦旋,凝聚體中的渦旋排列形成了3 條較為明顯的縱向有序結構,這時可以認為凝聚體中形成了渦旋鏈,如圖4(c)所示.繼續(xù)增大凝聚體旋轉角速度到?=0.7,從圖4(d)中可以看出凝聚體中渦旋數(shù)量大大增加,總共出現(xiàn)了27 個渦旋,同時渦旋鏈也增加到5條,每條渦旋鏈里的渦旋數(shù)目也增多,這說明隨著凝聚體旋轉角速度的增大,渦旋和渦旋鏈的數(shù)量都隨之增多.進一步增大凝聚體旋轉角速度?=0.9,此時凝聚體中出現(xiàn)了64 個渦旋,凝聚體中渦旋的數(shù)量大幅增加,還形成了7 條渦旋鏈,每條渦旋鏈中渦旋的數(shù)量也隨之增加,如圖4(e)所示.最后設置凝聚體旋轉角速度?=0.95,這時凝聚體旋轉角速度接近囚禁凝聚體的諧振勢阱的諧振頻率,這種情況稱為最低朗道能級近似(the lowest Landau level approximation)[36,37].此時凝聚體的分布如圖4(f)所示,可以看到,凝聚體中產(chǎn)生了更多的渦旋,共生成了84 個渦旋,渦旋幾乎占據(jù)了凝聚體的每個地方,這時的7 條渦旋鏈每條中至少有10 個渦旋,中央的渦旋鏈有14 個渦旋.中央渦旋鏈兩側的渦旋鏈,渦旋的分布出現(xiàn)了不在一條直線上的情況,這說明,凝聚體的高速旋轉,破壞了渦旋的對稱性分布.

對比圖4 中對應于凝聚體旋轉角速度不同的6 幅圖像,可以發(fā)現(xiàn)隨著凝聚體旋轉角速度的增大,凝聚體的分布范圍也隨之擴展,特別是當旋轉角速度趨近于1時,凝聚體幾乎占據(jù)了整個正方向區(qū)域U=[?10,10]2.隨著凝聚體旋轉角速度的增大,凝聚體中的原子由于離心力的增大,進一步遠離原子云的中心區(qū)域,造成凝聚體分布范圍擴大,但由于外部勢阱的在x方向的周期性分布,凝聚體的分布仍然呈現(xiàn)一定的周期性分布,在旋轉角速度較小時,凝聚體中渦旋和渦旋鏈基本上呈現(xiàn)關于中央的軸對稱性分布,在旋轉角速度接近外部勢阱的諧振頻率時,即最低朗道能級近似時,對稱性出現(xiàn)了少許的破壞,渦旋不再呈現(xiàn)直線排列.這是由于隨著凝聚體旋轉角速度的增大,較高的旋轉角速度減小了外部勢阱的限制作用,二者共同作用下,就導致渦旋數(shù)目增加,也導致了渦旋鏈不再呈直線排列.

圖4 不同旋轉角速度情況下,凝聚體的密度分布 |ψ(x,y)|2 中的渦旋及渦 旋鏈的分布情況(a)?=0.1;(b)?=0.3;(c)?=0.5;(d)?=0.7;(e)?=0.9;(f)?=0.95.其他參 數(shù)設置為:k=1.25,g=0.1,V0=3.0Fig.4.Distribution of vortices and vortex chains in the BEC under different rotation frequency:(a)?=0.1;(b)?=0.3;(c)?=0.5;(d)?=0.7;(e)?=0.9;(f)?=0.95.Values of other parameters are k=1.25,g=0.1,and V0=3.0.

3.5 渦旋鏈隨時間演化

利用時間分裂譜方法(time-splitting spectral metho d)[38,39],研究渦旋鏈隨時間的演化情況.為研究渦旋鏈隨時間的演化情況,選取計算參數(shù)k=1.25,g=0.1,V0=3.0,?=0.7 時BEC 中形成的渦旋鏈分布為初始計算條件,對應的凝聚體密度分布|ψ(x,y)|2如圖5(a)所示.此時,凝聚體中的渦旋在豎直方向(y方向)上的出現(xiàn)了明顯鏈式排布,形成了渦旋鏈,且渦旋鏈排列整齊、清晰可辨,而凝聚體的分布剛剛出現(xiàn)條帶狀分布.以此為初始狀態(tài)研究渦旋鏈的演化,不失一般性可以作為一個有代表性的渦旋鏈隨時間的演化情形.

為了在較長的時間范圍內(nèi)有較高的計算精度,計算過程中時間步長取一個較小的值,為?t=0.0001.計算了從t=0到t=16.0 這一段時間的凝聚體演化情況,結果如圖5所示.圖5 中的(a)—(f),從t=0至t=5.0,間隔1 個無量綱時間單位給出一幅圖像;(g)—(l),從t=6.0 開始至t=16.0,間隔2 個無量綱時間單位給出一幅圖像.

對比t=0至t=4.0的圖像,可以發(fā)現(xiàn),隨著時間的延長,凝聚體沿順時針方向旋轉,凝聚體中的渦旋和渦旋鏈數(shù)量沒有變化,渦旋鏈仍呈直線排列,不過渦旋鏈的排列方向沿順時針方向旋轉,凝聚體外側渦旋的位置也沿順時針方向發(fā)生了移動,但位移變化量不大.隨著時間的延長,凝聚體邊緣的原子,出現(xiàn)了絮狀分布,意味著這些原子在離心力的作用下,遠離了凝聚體主體部分,換句話說旋轉凝聚體中的原子數(shù)目會隨著時間延長而減少.

值得注意的是,對比t=4.0,5.0,6.0和8.0 時刻凝聚體密度分布圖像,即圖5(e)—(h),凝聚體中的渦旋鏈似乎旋轉方向發(fā)生了反轉,好像是沿著逆時針方向旋轉一樣.為了更清晰展示凝聚體隨時間的演化,以更小的時間間隔對t=4.0到t=6.0 之間凝聚體的演化情況進行精細分析.分析結果是,凝聚體中的渦旋和渦旋鏈仍然是沿著順時針方向旋轉,但在旋轉過程中,凝聚體中間部分的渦旋隨著時間的推移,渦旋之間的距離變小,呈現(xiàn)一種渦旋空間擠壓的現(xiàn)象.在文獻[40]中,一種同時發(fā)生在凝聚態(tài)渦旋結構和原子云形狀的類似現(xiàn)象被稱為“幾何壓縮”(geometric squeezing)[40].分析認為,這種空間擠壓現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是凝聚體中的渦旋,在隨著凝聚體順時針旋轉時,由于外部勢阱的限制作用,導致渦旋的運動軌跡并不是圓弧,而是出現(xiàn)了朝圓心方向運動,最終形成渦旋在空間擠壓的現(xiàn)象.

圖5 旋轉BEC 中渦旋和渦旋 鏈隨時間演化(a);(b);(c);(d);(e);(f);(g);(h);(i);(j);(k);(l).其他參數(shù)為,,,t=0 t=1.0 t=2.0 t=3.0 t=4.0 t=5.0 t=6.0 t=8.0 t=10.0 t=12.0 t=14.0 t=16.0 k=1.25 g=0.1 V0=3.0?=0.7Fig.5.Evolution of vortices and vortex chains of the rotating BEC:(a);(b);(c);(d);(e);(f);(g);(h);(i);(j);(k);(l).Values of other parameters are t=0 t=1.0 t=2.0 t=3.0 t=4.0 t=5.0 t=6.0 t=8.0 t=10.0 t=12.0 t=14.0 t=16.0 k=1.25 g=0.1 V0=3.0 ?=0.7,,,and.

而在t=8.0 之后,如圖5(i)—(l)所示,隨著時間的推移,渦旋不再有呈現(xiàn)直線排列的規(guī)律,可以認為凝聚體中的渦旋鏈逐漸消失.值得注意的是,這段時間內(nèi),渦旋朝向凝聚體的外側運動,凝聚體中央的渦旋數(shù)目隨著時間延長而減少.凝聚體中的渦旋之間的距離開始隨著時間推移而逐漸變大,這與t=4.0到t=8.0 之間渦旋的運動情況相反.該階段可以稱為渦旋空間擴張.這種情況產(chǎn)生的可能原因是旋轉BEC 中的渦旋在離心力的作用下,均有向凝聚體外側運動的趨勢,隨著時間的延長,導致渦旋間的距離隨著時間的推移而增大,渦旋間距離逐漸擴大,最終出現(xiàn)了渦旋空間擴張這種現(xiàn)象.

通過以上分析,發(fā)現(xiàn)了渦旋鏈隨時間演化存在3 個階段:第1 階段,渦旋鏈隨著凝聚體旋轉且保持原有的鏈狀分布不變;第2 階段,旋轉BEC中渦旋出現(xiàn)了空間擠壓現(xiàn)象,渦旋鏈被破壞;第3 階段,出現(xiàn)了渦旋空間擴張,渦旋鏈消失.

為了從實驗上實現(xiàn)渦旋鏈及研究其隨時間的演化情況,建議采取如下的實驗參數(shù).考慮由單一組分的87Rb 所構成的BEC 系統(tǒng),原子數(shù)目約為N=1.5×104個[33].首先將其裝載到一個由磁場產(chǎn)生碟形諧振勢阱中,諧振勢阱的頻率可取為ωX=ωY=2π×20.1 Hz,ωZ=2π×53.0 Hz[33].凝聚體的旋轉可以通過稱為“旋轉框架”的方式產(chǎn)生,即在諧振勢阱上疊加一個旋轉頻率為ω=?×ωX的激光束.之后,利用兩束激光相干的方法,產(chǎn)生一維的光晶格勢阱,光晶格勢阱的深度可以通過調(diào)節(jié)激光強度或者兩束激光的相干角而改變.當凝聚體中形成了穩(wěn)定的渦旋鏈之后,可以讓其自由演化,研究其隨時間的演化情況.凝聚體中渦旋和渦旋鏈的動力學特性可以通過實時成像(the real-time imaging)來觀察.

4 結論

綜上所述,考慮囚禁在二維諧振勢與一維光晶格勢組成的復合勢阱中的旋轉二維玻色-愛因斯坦凝聚體,研究了凝聚體中渦旋及渦旋鏈的分布情況,以及渦旋鏈隨時間的演化.首先,理論上得到描述其波函數(shù)概論密度分布的無量綱的二維GP方程.其次,通過多重網(wǎng)格預條件共軛梯度法,采用數(shù)值方法研究了光晶格勢阱中渦旋及渦旋鏈的產(chǎn)生,光晶格勢阱深度、原子間相互作用強度和凝聚體旋轉角速度對渦旋鏈的影響.結果表明,凝聚體中渦旋對應于外部勢阱的一個極小值,光晶格勢阱深度增大到一定值時,凝聚體中形成了渦旋鏈.隨著光晶格勢阱深度的進一步增大,凝聚體中渦旋鏈中的渦旋深度不斷減小,最終所有的渦旋鏈完全消失,只剩下條帶狀的密度分布.隨著原子間相互作用強度的增大,凝聚體的分布范圍隨之擴大,凝聚體中的渦旋和渦旋鏈的數(shù)量也隨之增加,當原子間相互作用強度增大一定值后,渦旋鏈的對稱性出現(xiàn)破壞,渦旋的排列不再對稱排列.隨著凝聚體旋轉角速度的增大,凝聚體的分布范圍也隨之擴展,凝聚體中渦旋和渦旋鏈的數(shù)量也隨之增加,在旋轉角速度較小時,凝聚體中渦旋和渦旋鏈基本上呈現(xiàn)關于中央的軸對稱性分布,在旋轉角速度接近外部勢阱的諧振頻率時,即最低朗道能級近似時,對稱性出現(xiàn)了少許的破壞.最后,探討了渦旋鏈隨時間的演化情況.發(fā)現(xiàn)了渦旋鏈隨時間演化存在3 個階段:第1 階段渦旋鏈與凝聚體一同旋轉且保持原有的鏈狀分布不變;第2 階段出現(xiàn)了渦旋空間擠壓現(xiàn)象,渦旋鏈被破壞;第3 階段出現(xiàn)了渦旋空間擴張,渦旋鏈消失.

上述結果表明,光晶格勢阱深度、原子間相互作用強度和凝聚體旋轉角速度對凝聚體中的渦旋和渦旋鏈有重要影響,通過調(diào)節(jié)相關物理量的大小,可以有效調(diào)控凝聚體中的渦旋的數(shù)量和渦旋鏈的形態(tài),為將來的實驗與應用提供一定的理論參考和指導.