基于GeoGebra的數(shù)學實驗教學實踐與反思
——以“二次函數(shù)的性質”為例

張 彤

(蘇州大學數(shù)學科學學院 215006)

高貞壽

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學 215200)

數(shù)學實驗是通過動手動腦“做”數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，是學生運用有關工具(實物或計算機等)，在數(shù)學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動．[1]數(shù)學實驗教學將過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現(xiàn)了靜態(tài)數(shù)學觀與動態(tài)數(shù)學觀的融通，使得數(shù)學教學變得完整而有活力．[2]蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》將數(shù)學實驗引進教材，專門設置了“數(shù)學實驗室”，為教師開展數(shù)學實驗教學提供了素材和基本線索．筆者參與了九年級下冊5.2節(jié)“二次函數(shù)的圖象和性質”中的“數(shù)學實驗室——二次函數(shù)的性質”公開課的研討和磨課過程，并在數(shù)學實驗教學中應用動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra(下稱GGB)探究了含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律．

1 基本情況

·教材分析

本節(jié)課旨在對含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律進行探究，使學生深入理解二次函數(shù)的圖象和性質，對學習二次函數(shù)與一元一次方程、不等式和二次函數(shù)的應用都有非常重要的意義．利用動態(tài)數(shù)學軟件可以較好地演示二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律．

·學情分析

學生在八年級已經學過一次函數(shù)和反比例函數(shù)，對函數(shù)的研究結構和方法有了初步的體悟．在九年級下冊第5章5.1節(jié)和5.2節(jié)中，學生又系統(tǒng)地學習了二次函數(shù)的概念、圖象和基本性質，完整地經歷了二次函數(shù)圖象和基本性質的研究過程，具有從特殊到一般、從具體到抽象的思維經歷．含參二次函數(shù)的相關內容一直是學生學習的難點．利用GGB強大的動態(tài)演示功能，可以幫助學生經歷參數(shù)變化引起圖形變化規(guī)律的過程，促進學生從感性的數(shù)學認識順利地過渡到理性的數(shù)學原理的探究，從而突破難點，降低學習坡度．

·教學目標

(1)利用GGB構建數(shù)學實驗平臺，通過實驗操作、比較研究、探索發(fā)現(xiàn)參數(shù)變化引起圖形變化的規(guī)律，促進對含參二次函數(shù)圖象的理解和認識．

(2)感受數(shù)形結合的思想方法，體會由具體到抽象、從特殊到一般的研究方法，提高觀察、分析和解決問題的能力．

·教學重點與難點

教學重點 參數(shù)的變化引起二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律．

教學難點 理解二次函數(shù)參數(shù)引起圖象變化的數(shù)學本質．

·教學方法與手段

問題啟發(fā)式、小組合作式、實驗操作式相結合．

·教學器材

未來教室，人手一臺裝有GGB軟件的電腦．

2 教學過程

2.1 復習回顧，引入課題

師：很好！對于二次函數(shù)y=ax2(a≠0)，參數(shù)a從3變到-3，其圖象發(fā)生了怎樣的變化呢？下面，我們來研究這一問題．

設計意圖通過具體的二次函數(shù)，教師引導學生發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)的正負和絕對值大小對函數(shù)圖象的影響，為系數(shù)由具體數(shù)字變?yōu)槌橄笞帜缸骱娩亯|．

3.1 實驗探索，歸納性質

探究1參數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2圖象的影響．

師：請同學們打開桌面上的GGB畫圖軟件，新建滑動條a(-10≤a≤10)，然后在下方“輸入”位置新建函數(shù)y=ax2．如圖1，滑動a改變a的大小，觀察二次函數(shù)y=ax2的圖象，看看有什么變化？

圖1

生1：開口方向和大小在變化．

生2：當a=0時，圖形消失了．

師：請仔細觀察，當a=0時y=0，圖形不是消失了，而是變成了直線y=0，即x軸．

師：對應a的數(shù)值，看看具體是怎么變的？

生4：當a>0時，開口向上；反之，開口向下(圖略)．

生5：當|a|越大時，開口越??；當|a|越小時，開口越大．

設計意圖數(shù)學實驗的關鍵是讓學生參與到實驗探究過程中．教師引導學生通過操作GGB觀察系數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2圖象變化的影響，從直觀的角度回答探究1，為其數(shù)學分析作準備．

師：同學們，請思考一下，為什么當|a|越大時開口越小，當|a|越小時開口越大？

(學生思考)

師：我們以前學習過一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，|k|的值越大，y隨x的變化速率越快，圖形呈現(xiàn)“陡”的情況．

生6：哦！我懂了．在這邊，|a|越大，y隨x的變化速率越快，圖形呈現(xiàn)“陡”的情況，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．

師：那么誰能來總結一下參數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的影響？

生7：a的正負影響二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的開口方向．a為正數(shù)，圖象開口向上；a為負數(shù)，圖象開口向下．

生8：|a|影響圖象的開口大?。畖a|越大，y隨x的變化速率越快，圖形也是呈現(xiàn)“陡”的情況，拋物線的開口就越小；反之，開口就越大．

設計意圖教師幫助學生回憶參數(shù)k對一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象變化的影響，并將該方法遷移到二次函數(shù)中，借助GGB直觀動態(tài)的演示，引導學生探索、發(fā)現(xiàn)相應的性質．

探究2參數(shù)a,b,c對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)(*)圖象的影響．

師：上面我們已經研究了參數(shù)a對二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的影響，下面仿照上述研究方法，進一步探究參數(shù)a,b,c對二次函數(shù)(*)圖象的影響．

各小組先進行學生個人探究，再合作討論，從開口方向、開口大小、對稱軸位置、與y軸交點C這四個方面探究：當參數(shù)a,b,c分別變化時哪些量在變，是如何變的；哪些量是不變的．

(教師巡視，了解學生存在的困難，適時指導解惑，引導學生自己實驗、觀察、總結)

師：我們首先邀請第一小組代表演示、總結．

生9：僅參數(shù)a變化時，我們發(fā)現(xiàn)，開口方向和開口大小都在變化，如圖2．a的正負影響圖象的開口方向．當a為正數(shù)時，圖象開口向上；當a為負數(shù)時，圖象開口向下．|a|影響圖象的開口大?。畖a|越大，拋物線的開口就越??；反之，開口就越大．這與我們前面研究的y=ax2(a≠0)的情況一致．

圖2

師：總結得不錯！他們認為參數(shù)a影響二次函數(shù)圖象的開口方向和開口大小．有補充的嗎？

生10：我來補充一下．我們小組觀察到，當a=0時，函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)y=bx+c，其圖象為一條直線．

師：很好！觀察得非常仔細，并且分析了原因.當a=0時函數(shù)變?yōu)閥=bx+c，為一次函數(shù)，所以其圖象為一條直線．

生11：老師，我們組也有補充．我們發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)a變化時，拋物線的對稱軸也在移動位置(圖略)．

師：非常好！對稱軸的位置也與參數(shù)a有關．那么有沒有不受參數(shù)a影響，始終不動的？

生12：與y軸交點C．

師：參數(shù)b變化時，情況又如何呢？

生13：我們小組發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)b變化時，對稱軸的位置發(fā)生了變化．拋物線的開口大小也發(fā)生了變化，開口方向不變(圖略)．

生14：老師，我們認為拋物線的開口方向和開口大小都沒有變．

師：當參數(shù)b變化時，對稱軸的位置發(fā)生變化是沒有疑義的．但在拋物線的開口大小上有一定的爭議．參數(shù)b對拋物線的開口大小有影響嗎？請同學們再實驗操作一下．

在教師的指導下，學生通過實驗沒有發(fā)現(xiàn)參數(shù)b對拋物線的開口大小有影響．

師：通過實驗，我們可以得到：參數(shù)b僅對對稱軸的位置有影響，對其他沒有影響．

師：那么參數(shù)c對圖象的哪些元素有影響？

生15：僅對拋物線與y軸交點C有影響(圖略)．

師：很棒！下面我們來總結一下參數(shù)a,b,c變化對二次函數(shù)(*)圖象的影響．

生16：參數(shù)a影響拋物線的開口方向和開口大小，a的正負影響圖象的開口方向，當a為正數(shù)時，圖象開口向上；當a為負數(shù)時，圖象開口向下；|a|影響圖象的開口大小，|a|越大，拋物線的開口就越??；反之，開口就越大．同時，對稱軸的位置也受參數(shù)a的影響．

生17：參數(shù)b僅對對稱軸的位置有影響．

生18：參數(shù)c僅對拋物線與y軸交點C有影響．

設計意圖通過GGB動態(tài)演示參數(shù)a,b,c變化時對二次函數(shù)(*)圖象變化的影響，以學生先自主探究再小組合作的方式探索相應的結論．

探索3參數(shù)a,b,c對二次函數(shù)(*)圖象影響的原因分析．

師：你能分析一下原因嗎？

師：分析得非常好，我們可以簡單地記為“左同右異”．那么，對y軸交點C的坐標(0,c)的影響如何呢？

生20：當c>0，拋物線與y軸交點C(0,c)在y軸正半軸上；當c=0，拋物線與y軸交點C(0,c)在原點(0,0)處；當c<0，拋物線與y軸交點C(0,c)在y軸負半軸上．

師：總結得非常好！這里我們可以簡單地記為“上正下負”．

師：今天我們利用GGB軟件通過實驗結合數(shù)學分析，探討了參數(shù)a,b,c的變化對二次函數(shù)(*)圖象變化的影響．GGB幫助我們直觀清晰地觀察動態(tài)二次函數(shù)圖象變化及相應的復雜動態(tài)問題，希望同學們在以后的學習中熟練運用．

設計意圖利用計算機進行數(shù)學實驗，除了驗證結論外，應將重點放在促進學生對數(shù)學的理解和探究更多的數(shù)學結論上．在探索2的基礎上，教師緊扣開口方向、對稱軸和與y軸交點這三個主要的圖象特征，引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象變化的整體趨勢，并從二次函數(shù)表達式本身進行數(shù)學分析，揭示其變化規(guī)律背后的數(shù)學原理．

3 教學反思

(1)在數(shù)學實驗教學中的應用分析

數(shù)學是一門邏輯性很強、具有高度抽象性的學科，而初中生處于具體形象思維向抽象思維的過渡階段，對這一階段抽象思維能力的培養(yǎng)，不僅要基于已有的認知水平，還要依賴于具體生動的表象．因此，對于“數(shù)形結合”這一重要數(shù)學思想方法，如何使用信息技術輔助教師的教和學生的學已成為一線教學需要關注的問題．本節(jié)數(shù)學實驗教學課使用GGB軟件研究二次函數(shù)的性質，探討含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律，既是教學的重點，也是教學的難點．本節(jié)課教者從始至終一直在引導學生自主操作GGB軟件，以自主探究和合作討論的方式觀察參數(shù)a,b,c數(shù)值的變化對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象變化的影響，以師生互動的形式揭示圖象變化的原因，并對原因進行抽象概括和歸納、總結．憑借GGB強大的動態(tài)演示功能，“二次函數(shù)的性質”這一復雜、抽象的代數(shù)問題，經歷學生自主改變參數(shù)值的大小和觀察相應圖象的變化規(guī)律，被轉換成一個形象、直觀的幾何問題，并在“形”“數(shù)”互變中建立數(shù)學關系．教師還以師生互動的方式，運用基于代數(shù)抽象推理的講授來彌補幾何直覺的不足．這節(jié)課將抽象的知識具體化、形象化、動態(tài)化，再自然地過渡到嚴密的邏輯推理上，不僅可以提高學生學習數(shù)學的信心和興趣，還可以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式和學習習慣．

(2)在數(shù)學實驗教學中的優(yōu)勢分析

建立數(shù)學實驗室，讓學生獲得適應未來生存與發(fā)展所必需的數(shù)學活動經驗，是義務教育階段數(shù)學課程的目標之一．蘇科版數(shù)學教科書要求教師在“教學實驗室”中用幾何畫板軟件研究二次函數(shù)的性質．比較而言，GGB比幾何畫板更容易上手，操作也更為簡明流暢，“數(shù)”“形”結合得更好．在數(shù)學實驗教學中，學生可以在教師的引導下，同步操作GGB進行幾何圖形的建構，并借助圖形的變換、測量、試驗和分析，研究幾何圖形的性質，從而實現(xiàn)以自主體驗的方式完成“數(shù)學基本活動經驗”中的“探究活動”和“論證活動”．