“任意角”概念不同引入方式的比較研究

孫信玲

(江蘇省南京市建鄴高級中學(xué) 210019)

教師普遍認為“任意角”這一節(jié)的內(nèi)容難度不大，在教學(xué)中很容易處理．在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)過“角”的概念，是0°～360°范圍的角．教師通過生活情境的引入，讓學(xué)生感受現(xiàn)實生活中隨處可見超過0°～360°范圍的角，比如跳水中的“翻騰三周半”、體操中的“前空翻轉(zhuǎn)體720°”、車輪旋轉(zhuǎn)兩圈等．然后教師逐一介紹關(guān)于角的概念的相關(guān)規(guī)定，包括角的定義、角的始邊與終邊、角的正負、終邊相同的角等，于是完成了角的擴充．

然而，“任意角”這一節(jié)作為《三角函數(shù)》這個章節(jié)的章首課，擔(dān)負重要的功能，在大單元視域下，將這節(jié)課與全章內(nèi)容聯(lián)系，可以發(fā)揮其更大的作用．同時，“任意角”作為一節(jié)概念課，是“角的概念”的擴充，知識點比較多且散，應(yīng)具有其合適的教學(xué)規(guī)律與方法．

1 三種不同的“任意角”概念的引入方式

在本學(xué)期的南京市公開課中，開設(shè)的三節(jié)課設(shè)計了不同的概念引入方式，筆者參與了研究過程，也進行了學(xué)習(xí)思考，現(xiàn)將三種不同的概念引入方式記錄與分析如下．

1.1 教學(xué)設(shè)計A

問題1在初中階段我們學(xué)習(xí)過角，它是如何定義的？你認識哪些角？

設(shè)計意圖在初中階段，角的定義是：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角．這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊．這是角的靜態(tài)定義．初中教材中也介紹了角的動態(tài)定義：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的角是銳角、直角、鈍角、平角、周角，角的范圍是0°～360°．這既是復(fù)習(xí)舊知，也是為角的擴充作準備．需要說明的是，高中教師往往認為初中只講了角的靜態(tài)定義，高中的重點是將角的概念推廣到“旋轉(zhuǎn)成角”以及擴大范圍．其實在初中已經(jīng)介紹了角的動態(tài)定義，高中推廣的是角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向．

問題2(1)游樂園中的摩天輪旋轉(zhuǎn)了兩周半，如何用角度來量化“兩周半”？

(2)假如你的時鐘快了30 min，現(xiàn)在要校正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了30 min，又該如何校正？

設(shè)計意圖感受旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與之前所學(xué)的不同．摩天輪旋轉(zhuǎn)兩周半，是旋轉(zhuǎn)了900°，這個度數(shù)超出了以前角的范圍，角不夠用了，說明了擴充角的必要性．時鐘快了30 min，需要將分針逆時針旋轉(zhuǎn)180°，慢了30 min，需要順時針旋轉(zhuǎn)180°，通過旋轉(zhuǎn)分針體現(xiàn)了角的動態(tài)定義中的“旋轉(zhuǎn)”，也區(qū)別了角的方向．

問題3實際生活中這些角與初中所學(xué)的角有所不同，這些角的不同體現(xiàn)在哪幾個方面？你能舉一些實際生活中的角的例子嗎？

設(shè)計意圖與之前所學(xué)的角相比較，一方面，遇到了超過360°的角；另一方面，同樣是180°的角，旋轉(zhuǎn)方向不同作用不同．通過歸納，得出角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與之前所學(xué)不同，這就產(chǎn)生了擴充角的必要性．通過舉例，進一步感受實際生活中存在超過360°的角，以及不同的旋轉(zhuǎn)方向帶來不同含義的角．

1.2 教學(xué)設(shè)計B

問題1日出日落，寒來暑往……自然界有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，稱為周期現(xiàn)象．你們還能舉出一些周期現(xiàn)象的例子嗎？

設(shè)計意圖“任意角”是《三角函數(shù)》這一章的章首課，三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的函數(shù)模型．讓學(xué)生通過舉例感受自然界存在許多周期現(xiàn)象，如一周七天的變化，一年四季的更替，摩天輪轉(zhuǎn)動時與水平方向的夾角、距離地面的高度等．而已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)模型都不能用來刻畫這種現(xiàn)象，于是有研究新的函數(shù)模型的必要．

問題2刻畫周期現(xiàn)象最常見的模型是圓周運動．若點P在以點O為圓心、r為半徑的圓周上運動，哪些量是周而復(fù)始的？

設(shè)計意圖研究周期運動，就先研究它的典型代表——圓周運動．帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，將圓周運動抽象為圓O上一點P的運動．在這一過程中，周而復(fù)始運動、具有周期性的量有OP與水平方向的夾角、點P的橫坐標與縱坐標等．

問題3你能刻畫圓周上一點P的位置嗎？

設(shè)計意圖可以用點P的坐標來刻畫，這個方法學(xué)生最容易想到，建立平面直角坐標系可以準確地表示點P的位置，那么就需要討論如何建系更合適．這也為后續(xù)將角都統(tǒng)一在同一個平面直角坐標系內(nèi)研究提供了可能．在半徑r確定的情況下，點P的位置還可以用射線OP轉(zhuǎn)過的角度或弧長來刻畫，這種表示方法也為后續(xù)學(xué)習(xí)“弧度制”作了準備．問題3將《三角函數(shù)》這一章要學(xué)習(xí)的知識有機整合在一起，是對單元教學(xué)內(nèi)容進行整體設(shè)計．

問題4如圖1，點P1，P2，P3從水平位置A起轉(zhuǎn)過的角分別是多少度？如何區(qū)別它們？

圖1

設(shè)計意圖從圖形上看，∠AOP1=30°，∠AOP2=30°，∠AOP3=30°，但三個點從水平位置起轉(zhuǎn)動的角度和方向不同，這說明我們需要引入新的概念來區(qū)別它們．幾何畫板動畫顯示，點P1與點P3相差一圈，出現(xiàn)了超過360°的角；點P1與點P2的運動方向不同，需要引入正角與負角的概念加以區(qū)別．這就是擴充角的必要性．

1.3 教學(xué)設(shè)計C

問題1如圖2，摩天輪的半徑r為40 m，圓心O距離地面的高度為48 m，摩天輪做逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每8 min轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上點P的起始位置在最低點處．(1)請用一個量來刻畫 1 min后點P的位置．

圖2

設(shè)計意圖摩天輪的運動作為例子在這一章的教材中多次出現(xiàn)，貫穿始終．這是一個很典型的周期運動的案例，其中有許多素材與角、三角函數(shù)相關(guān)聯(lián)．刻畫點P的位置有多種方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．點P的位置可以用轉(zhuǎn)過的角度表示；可以用轉(zhuǎn)過的弧長表示；可以用點P距離地面的高度表示；還可以以圓心O為原點、水平方向為x軸建立平面直角坐標系，用點P的坐標刻畫．其中，選擇角度刻畫更直觀，點明本節(jié)課首先研究角．

(2)1 min后、2 min后、3 min后、4 min后、 8 min后，OP從起始位置所轉(zhuǎn)過的角分別是多少度？

設(shè)計意圖感受“旋轉(zhuǎn)成角”，并復(fù)習(xí)初中所學(xué)過的銳角、直角、鈍角、平角、周角的概念．

(3)9 min后、16 min后，OP從起始位置所轉(zhuǎn)過的角又分別是多少度？

設(shè)計意圖轉(zhuǎn)過的角分別是405°和720°，遇到了超出0°～360°范圍的角，引起了認知沖突，初中所學(xué)的角不夠用了，需要推廣．

圖3

問題2摩天輪的半徑r為40 m，圓心O距離地面的高度為 48 m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每8 min轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上點P的起始位置所對應(yīng)的半徑與地面平行．當摩天輪轉(zhuǎn)動2 min后，求點P離地面的高度．

設(shè)計意圖由于沒有規(guī)定旋轉(zhuǎn)方向，轉(zhuǎn)動 2 min后，點P可能運動到最高點，也可能運動到最低點．相同的起始位置、相同的旋轉(zhuǎn)量和不同的旋轉(zhuǎn)方向，得到的角不同．

問題3你能再舉一些生活中由于旋轉(zhuǎn)方向不同而角的含義不同的例子嗎？

設(shè)計意圖通過舉例，進一步感受角與旋轉(zhuǎn)方向有關(guān)．比如擰緊螺帽和擰松螺帽、前滾翻和后滾翻等．

2 三種引入方式的比較分析

2.1 共性

這三種引入環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計都圍繞學(xué)生對角的認知沖突展開，充分展現(xiàn)了對角進行推廣的必要性；都以問題串的形式呈現(xiàn)，層層遞進，每個問題都是學(xué)生思維的階梯；都與生活實際相聯(lián)系，都通過學(xué)生舉例的方式將抽象的概念具體化，從而深化對任意角的理解．

2.2 銳角與立意的不同

教學(xué)設(shè)計A立足于概念產(chǎn)生的必然性，也就是“為什么角的概念要推廣”．教師從摩天輪旋轉(zhuǎn)兩周半、校準時鐘等豐富的生活實例出發(fā)，讓學(xué)生充分感受“角不夠用”，再通過比較歸納得出角的概念在旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向上都需要推廣．

知識推廣的原則是必要性和可行性．類比數(shù)系的擴充，每一次都是數(shù)不夠用了，于是引入新的數(shù)，解決在原有數(shù)集中某種運算不能進行的問題．角的概念的擴充，是角不夠用了，于是擴大角的范圍和規(guī)定角的方向，從而解決初中所學(xué)的角在現(xiàn)實世界中不夠用的問題．

教學(xué)設(shè)計B立足于大單元教學(xué)思想，把一個小節(jié)的內(nèi)容融入整章去通盤考慮．《三角函數(shù)》這一章研究的是周期現(xiàn)象，問題1就從這里出發(fā)，先請學(xué)生舉例，感受自然界和生活中的周期現(xiàn)象．問題2將周期運動抽象為圓周上一點的運動，問題3研究圓周上點的位置．在這些問題的研究過程中，雖然沒有立即推廣角的概念，卻在圍繞半徑、角、弧長、坐標等對象展開，而這些將是本章的重要研究對象，為后續(xù)研究作了準備，體現(xiàn)了章首課應(yīng)有的作用．

數(shù)學(xué)大單元教學(xué)是對知識結(jié)構(gòu)、方法體系和數(shù)學(xué)思想的整體性教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與核心素養(yǎng)的有效對接．一方面，“教前顧后”，為后面的學(xué)習(xí)開一扇窗、播一粒種，讓它在那兒慢慢推開一扇門、萌出一顆芽．另一方面，“學(xué)后想前”，引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)習(xí)過程中習(xí)得的方法遷移到新的問題中，使他們通過主動類比、形成結(jié)構(gòu)并內(nèi)化為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力．

教學(xué)設(shè)計C立足于課時整體設(shè)計，對核心內(nèi)容“再建構(gòu)”，對核心素養(yǎng)“重落實”．整節(jié)課用摩天輪的問題將任意角的概念串起來，在引入部分，對摩天輪轉(zhuǎn)過角度的研究使學(xué)生感受旋轉(zhuǎn)成角、產(chǎn)生角不夠用的沖突，對摩天輪距地面高度的研究使學(xué)生直觀感受旋轉(zhuǎn)方向?qū)堑挠绊懀诒竟?jié)課的后續(xù)內(nèi)容中，教師還通過研究摩天輪轉(zhuǎn)到相同位置時轉(zhuǎn)過的角之間的關(guān)系來研究終邊相同的角的表示方法．本節(jié)課行云流水，概念在同一個情境中自然流淌生成．

通過對核心概念的重組和再建構(gòu)，可以將概念課中比較零散的概念串起來，使概念之間有序、有關(guān)聯(lián)，使整節(jié)課有主線．而在有些課堂中，我們看到，學(xué)生被教師設(shè)計好的一個又一個情境牽著走，雖然也得到了概念，但不能更直接地感受到概念發(fā)生發(fā)展的過程．對于概念比較零碎的課，比如向量的概念、復(fù)數(shù)的概念等，都可以采用這個辦法．

3 教學(xué)啟示

3.1 研究章引言，上好起始課

教材的每一章都有章引言，是對本章所涉及的知識和思想方法的介紹，也是這一章的統(tǒng)領(lǐng)．在教學(xué)中，這個部分常常被忽視．而教師認真研究章引言，有助于深入理解教材，理解這部分的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和思想方法，可以說，章引言在教學(xué)中發(fā)揮著“導(dǎo)游圖”的作用．

《三角函數(shù)》這章的章引言介紹了周期現(xiàn)象，然而之前所學(xué)的函數(shù)模型無法刻畫周期現(xiàn)象，所以提出問題“用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期運動？”這就使得研究三角函數(shù)成為必然，而研究三角函數(shù)，首先就要研究角．研究圓周上一點的運動，用不同的量描述同一事物，那么它們之間必然有聯(lián)系．這就為后續(xù)擴充角、引入弧度制、建立三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)．

“任意角”是《三角函數(shù)》一章的起始課，站在整個章節(jié)的角度來設(shè)計本節(jié)課，是建立在課程標準、核心內(nèi)容、基本學(xué)情的深度分析基礎(chǔ)上的“再建構(gòu)”，可以更好地體現(xiàn)推廣任意角的作用，教學(xué)設(shè)計B正是這么建構(gòu)的．當然，章引言只是引言，涉及到的內(nèi)容跨度較大，不需要面面俱到，也不宜過分深入，其全部內(nèi)容隨著章節(jié)學(xué)習(xí)的深入而推進展開．

3.2 抓住生長點，引入新概念

在新概念的引入過程中，要關(guān)注學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗，找準知識生長的起點．本節(jié)課的生長點有小學(xué)對角的認識、初中學(xué)習(xí)過的角的概念、實際生活中的需要、數(shù)系擴充的體驗等，這些都是先行組織者，都為角的擴充奠定了基礎(chǔ)．在此基礎(chǔ)上發(fā)展新概念是自然而然的，也是必然合理的．

教學(xué)設(shè)計A和教學(xué)設(shè)計C都抓住任意角的生長點，引導(dǎo)學(xué)生親歷新概念的發(fā)生發(fā)展過程，自然適切．引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與學(xué)習(xí)是落實學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵．如果概念憑空而來，如果僅僅只是規(guī)定，學(xué)生不可能主動參與學(xué)習(xí)，核心素養(yǎng)就不可能落地．

3.3 設(shè)計好問題，指向有效性

學(xué)習(xí)發(fā)生的基本條件是產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要，教師的一個重要任務(wù)就是提出有效的問題，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)發(fā)生的條件，激發(fā)學(xué)習(xí)需要．我們在聽課中，常常聽到指向不明確的問題、學(xué)生無法回答的問題、細碎隨意的問題等．這樣的問題不僅不能促進學(xué)生思考，反而會阻礙學(xué)習(xí)的發(fā)生．

在這三種引入部分的教學(xué)設(shè)計中，教師都設(shè)計了有效的問題串．問題指向明確，把問題問在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)里，讓學(xué)生既熟悉又陌生，開始積極思考．問題分層遞進，一步一步地揭示知識本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地思考．問題包含方法，在解決問題的同時也教給學(xué)生研究問題的方法路徑．