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    基于GeoGebra的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐與反思
    ——以“二次函數(shù)的性質(zhì)”為例

    2022-12-04 20:34:23
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期
    關(guān)鍵詞:開口拋物線圖象

    張 彤

    (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

    高貞壽

    (江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 215200)

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具(實(shí)物或計(jì)算機(jī)等),在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng).[1]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)將過程與結(jié)果、操作與思維、實(shí)驗(yàn)與論證、證偽與證實(shí)有機(jī)融合,實(shí)現(xiàn)了靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通,使得數(shù)學(xué)教學(xué)變得完整而有活力.[2]蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引進(jìn)教材,專門設(shè)置了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”,為教師開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了素材和基本線索.筆者參與了九年級(jí)下冊(cè)5.2節(jié)“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室——二次函數(shù)的性質(zhì)”公開課的研討和磨課過程,并在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra(下稱GGB)探究了含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律.

    1 基本情況

    ·教材分析

    本節(jié)課旨在對(duì)含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律進(jìn)行探究,使學(xué)生深入理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),對(duì)學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元一次方程、不等式和二次函數(shù)的應(yīng)用都有非常重要的意義.利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件可以較好地演示二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律.

    ·學(xué)情分析

    學(xué)生在八年級(jí)已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)和反比例函數(shù),對(duì)函數(shù)的研究結(jié)構(gòu)和方法有了初步的體悟.在九年級(jí)下冊(cè)第5章5.1節(jié)和5.2節(jié)中,學(xué)生又系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖象和基本性質(zhì),完整地經(jīng)歷了二次函數(shù)圖象和基本性質(zhì)的研究過程,具有從特殊到一般、從具體到抽象的思維經(jīng)歷.含參二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).利用GGB強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)演示功能,可以幫助學(xué)生經(jīng)歷參數(shù)變化引起圖形變化規(guī)律的過程,促進(jìn)學(xué)生從感性的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)順利地過渡到理性的數(shù)學(xué)原理的探究,從而突破難點(diǎn),降低學(xué)習(xí)坡度.

    ·教學(xué)目標(biāo)

    (1)利用GGB構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),通過實(shí)驗(yàn)操作、比較研究、探索發(fā)現(xiàn)參數(shù)變化引起圖形變化的規(guī)律,促進(jìn)對(duì)含參二次函數(shù)圖象的理解和認(rèn)識(shí).

    (2)感受數(shù)形結(jié)合的思想方法,體會(huì)由具體到抽象、從特殊到一般的研究方法,提高觀察、分析和解決問題的能力.

    ·教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

    教學(xué)重點(diǎn) 參數(shù)的變化引起二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律.

    教學(xué)難點(diǎn) 理解二次函數(shù)參數(shù)引起圖象變化的數(shù)學(xué)本質(zhì).

    ·教學(xué)方法與手段

    問題啟發(fā)式、小組合作式、實(shí)驗(yàn)操作式相結(jié)合.

    ·教學(xué)器材

    未來教室,人手一臺(tái)裝有GGB軟件的電腦.

    2 教學(xué)過程

    2.1 復(fù)習(xí)回顧,引入課題

    師:很好!對(duì)于二次函數(shù)y=ax2(a≠0),參數(shù)a從3變到-3,其圖象發(fā)生了怎樣的變化呢?下面,我們來研究這一問題.

    設(shè)計(jì)意圖通過具體的二次函數(shù),教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和絕對(duì)值大小對(duì)函數(shù)圖象的影響,為系數(shù)由具體數(shù)字變?yōu)槌橄笞帜缸骱娩亯|.

    3.1 實(shí)驗(yàn)探索,歸納性質(zhì)

    探究1參數(shù)a對(duì)二次函數(shù)y=ax2圖象的影響.

    師:請(qǐng)同學(xué)們打開桌面上的GGB畫圖軟件,新建滑動(dòng)條a(-10≤a≤10),然后在下方“輸入”位置新建函數(shù)y=ax2.如圖1,滑動(dòng)a改變a的大小,觀察二次函數(shù)y=ax2的圖象,看看有什么變化?

    圖1

    生1:開口方向和大小在變化.

    生2:當(dāng)a=0時(shí),圖形消失了.

    師:請(qǐng)仔細(xì)觀察,當(dāng)a=0時(shí)y=0,圖形不是消失了,而是變成了直線y=0,即x軸.

    師:對(duì)應(yīng)a的數(shù)值,看看具體是怎么變的?

    生4:當(dāng)a>0時(shí),開口向上;反之,開口向下(圖略).

    生5:當(dāng)|a|越大時(shí),開口越小;當(dāng)|a|越小時(shí),開口越大.

    設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是讓學(xué)生參與到實(shí)驗(yàn)探究過程中.教師引導(dǎo)學(xué)生通過操作GGB觀察系數(shù)a對(duì)二次函數(shù)y=ax2圖象變化的影響,從直觀的角度回答探究1,為其數(shù)學(xué)分析作準(zhǔn)備.

    師:同學(xué)們,請(qǐng)思考一下,為什么當(dāng)|a|越大時(shí)開口越小,當(dāng)|a|越小時(shí)開口越大?

    (學(xué)生思考)

    師:我們以前學(xué)習(xí)過一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),|k|的值越大,y隨x的變化速率越快,圖形呈現(xiàn)“陡”的情況.

    生6:哦!我懂了.在這邊,|a|越大,y隨x的變化速率越快,圖形呈現(xiàn)“陡”的情況,拋物線的開口就越?。环粗?,開口就越大.

    師:那么誰能來總結(jié)一下參數(shù)a對(duì)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的影響?

    生7:a的正負(fù)影響二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的開口方向.a(chǎn)為正數(shù),圖象開口向上;a為負(fù)數(shù),圖象開口向下.

    生8:|a|影響圖象的開口大?。畖a|越大,y隨x的變化速率越快,圖形也是呈現(xiàn)“陡”的情況,拋物線的開口就越?。环粗?,開口就越大.

    設(shè)計(jì)意圖教師幫助學(xué)生回憶參數(shù)k對(duì)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象變化的影響,并將該方法遷移到二次函數(shù)中,借助GGB直觀動(dòng)態(tài)的演示,引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的性質(zhì).

    探究2參數(shù)a,b,c對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)(*)圖象的影響.

    師:上面我們已經(jīng)研究了參數(shù)a對(duì)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的影響,下面仿照上述研究方法,進(jìn)一步探究參數(shù)a,b,c對(duì)二次函數(shù)(*)圖象的影響.

    各小組先進(jìn)行學(xué)生個(gè)人探究,再合作討論,從開口方向、開口大小、對(duì)稱軸位置、與y軸交點(diǎn)C這四個(gè)方面探究:當(dāng)參數(shù)a,b,c分別變化時(shí)哪些量在變,是如何變的;哪些量是不變的.

    (教師巡視,了解學(xué)生存在的困難,適時(shí)指導(dǎo)解惑,引導(dǎo)學(xué)生自己實(shí)驗(yàn)、觀察、總結(jié))

    師:我們首先邀請(qǐng)第一小組代表演示、總結(jié).

    生9:僅參數(shù)a變化時(shí),我們發(fā)現(xiàn),開口方向和開口大小都在變化,如圖2.a(chǎn)的正負(fù)影響圖象的開口方向.當(dāng)a為正數(shù)時(shí),圖象開口向上;當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí),圖象開口向下.|a|影響圖象的開口大?。畖a|越大,拋物線的開口就越?。环粗?,開口就越大.這與我們前面研究的y=ax2(a≠0)的情況一致.

    圖2

    師:總結(jié)得不錯(cuò)!他們認(rèn)為參數(shù)a影響二次函數(shù)圖象的開口方向和開口大?。醒a(bǔ)充的嗎?

    生10:我來補(bǔ)充一下.我們小組觀察到,當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)y=bx+c,其圖象為一條直線.

    師:很好!觀察得非常仔細(xì),并且分析了原因.當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)變?yōu)閥=bx+c,為一次函數(shù),所以其圖象為一條直線.

    生11:老師,我們組也有補(bǔ)充.我們發(fā)現(xiàn),在參數(shù)a變化時(shí),拋物線的對(duì)稱軸也在移動(dòng)位置(圖略).

    師:非常好!對(duì)稱軸的位置也與參數(shù)a有關(guān).那么有沒有不受參數(shù)a影響,始終不動(dòng)的?

    生12:與y軸交點(diǎn)C.

    師:參數(shù)b變化時(shí),情況又如何呢?

    生13:我們小組發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)b變化時(shí),對(duì)稱軸的位置發(fā)生了變化.拋物線的開口大小也發(fā)生了變化,開口方向不變(圖略).

    生14:老師,我們認(rèn)為拋物線的開口方向和開口大小都沒有變.

    師:當(dāng)參數(shù)b變化時(shí),對(duì)稱軸的位置發(fā)生變化是沒有疑義的.但在拋物線的開口大小上有一定的爭議.參數(shù)b對(duì)拋物線的開口大小有影響嗎?請(qǐng)同學(xué)們?cè)賹?shí)驗(yàn)操作一下.

    在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)沒有發(fā)現(xiàn)參數(shù)b對(duì)拋物線的開口大小有影響.

    師:通過實(shí)驗(yàn),我們可以得到:參數(shù)b僅對(duì)對(duì)稱軸的位置有影響,對(duì)其他沒有影響.

    師:那么參數(shù)c對(duì)圖象的哪些元素有影響?

    生15:僅對(duì)拋物線與y軸交點(diǎn)C有影響(圖略).

    師:很棒!下面我們來總結(jié)一下參數(shù)a,b,c變化對(duì)二次函數(shù)(*)圖象的影響.

    生16:參數(shù)a影響拋物線的開口方向和開口大小,a的正負(fù)影響圖象的開口方向,當(dāng)a為正數(shù)時(shí),圖象開口向上;當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí),圖象開口向下;|a|影響圖象的開口大小,|a|越大,拋物線的開口就越??;反之,開口就越大.同時(shí),對(duì)稱軸的位置也受參數(shù)a的影響.

    生17:參數(shù)b僅對(duì)對(duì)稱軸的位置有影響.

    生18:參數(shù)c僅對(duì)拋物線與y軸交點(diǎn)C有影響.

    設(shè)計(jì)意圖通過GGB動(dòng)態(tài)演示參數(shù)a,b,c變化時(shí)對(duì)二次函數(shù)(*)圖象變化的影響,以學(xué)生先自主探究再小組合作的方式探索相應(yīng)的結(jié)論.

    探索3參數(shù)a,b,c對(duì)二次函數(shù)(*)圖象影響的原因分析.

    師:你能分析一下原因嗎?

    師:分析得非常好,我們可以簡單地記為“左同右異”.那么,對(duì)y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,c)的影響如何呢?

    生20:當(dāng)c>0,拋物線與y軸交點(diǎn)C(0,c)在y軸正半軸上;當(dāng)c=0,拋物線與y軸交點(diǎn)C(0,c)在原點(diǎn)(0,0)處;當(dāng)c<0,拋物線與y軸交點(diǎn)C(0,c)在y軸負(fù)半軸上.

    師:總結(jié)得非常好!這里我們可以簡單地記為“上正下負(fù)”.

    師:今天我們利用GGB軟件通過實(shí)驗(yàn)結(jié)合數(shù)學(xué)分析,探討了參數(shù)a,b,c的變化對(duì)二次函數(shù)(*)圖象變化的影響.GGB幫助我們直觀清晰地觀察動(dòng)態(tài)二次函數(shù)圖象變化及相應(yīng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)問題,希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中熟練運(yùn)用.

    設(shè)計(jì)意圖利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),除了驗(yàn)證結(jié)論外,應(yīng)將重點(diǎn)放在促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和探究更多的數(shù)學(xué)結(jié)論上.在探索2的基礎(chǔ)上,教師緊扣開口方向、對(duì)稱軸和與y軸交點(diǎn)這三個(gè)主要的圖象特征,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象變化的整體趨勢(shì),并從二次函數(shù)表達(dá)式本身進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,揭示其變化規(guī)律背后的數(shù)學(xué)原理.

    3 教學(xué)反思

    (1)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用分析

    數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)、具有高度抽象性的學(xué)科,而初中生處于具體形象思維向抽象思維的過渡階段,對(duì)這一階段抽象思維能力的培養(yǎng),不僅要基于已有的認(rèn)知水平,還要依賴于具體生動(dòng)的表象.因此,對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”這一重要數(shù)學(xué)思想方法,如何使用信息技術(shù)輔助教師的教和學(xué)生的學(xué)已成為一線教學(xué)需要關(guān)注的問題.本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)課使用GGB軟件研究二次函數(shù)的性質(zhì),探討含參二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律,既是教學(xué)的重點(diǎn),也是教學(xué)的難點(diǎn).本節(jié)課教者從始至終一直在引導(dǎo)學(xué)生自主操作GGB軟件,以自主探究和合作討論的方式觀察參數(shù)a,b,c數(shù)值的變化對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象變化的影響,以師生互動(dòng)的形式揭示圖象變化的原因,并對(duì)原因進(jìn)行抽象概括和歸納、總結(jié).憑借GGB強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)演示功能,“二次函數(shù)的性質(zhì)”這一復(fù)雜、抽象的代數(shù)問題,經(jīng)歷學(xué)生自主改變參數(shù)值的大小和觀察相應(yīng)圖象的變化規(guī)律,被轉(zhuǎn)換成一個(gè)形象、直觀的幾何問題,并在“形”“數(shù)”互變中建立數(shù)學(xué)關(guān)系.教師還以師生互動(dòng)的方式,運(yùn)用基于代數(shù)抽象推理的講授來彌補(bǔ)幾何直覺的不足.這節(jié)課將抽象的知識(shí)具體化、形象化、動(dòng)態(tài)化,再自然地過渡到嚴(yán)密的邏輯推理上,不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣,還可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

    (2)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)分析

    建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室,讓學(xué)生獲得適應(yīng)未來生存與發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一.蘇科版數(shù)學(xué)教科書要求教師在“教學(xué)實(shí)驗(yàn)室”中用幾何畫板軟件研究二次函數(shù)的性質(zhì).比較而言,GGB比幾何畫板更容易上手,操作也更為簡明流暢,“數(shù)”“形”結(jié)合得更好.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下,同步操作GGB進(jìn)行幾何圖形的建構(gòu),并借助圖形的變換、測(cè)量、試驗(yàn)和分析,研究幾何圖形的性質(zhì),從而實(shí)現(xiàn)以自主體驗(yàn)的方式完成“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”中的“探究活動(dòng)”和“論證活動(dòng)”.

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