HPM 視角下三角形中位線教學設(shè)計

廣東省中山市溪角初級中學(528471)謝衛(wèi)華

1 課前準備,相關(guān)歷史素材介紹

1.1 古巴比倫泥版上的三角形分割問題

在古代兩河流域,中位線知識來源于現(xiàn)實生活中的土地或財產(chǎn)分割.古巴比倫時期的數(shù)學泥版MLC1950(圖1)上載有以下問題:三角形的高為50,用平行于底邊的直線將其分割成高分別為30 和20 的小三角形和梯形,小梯形的面積為320,求原來的三角形以及分割得到的小三角形的底邊.這其實是現(xiàn)代的“平行線分線段成比例定理”的應(yīng)用,用中位線來分割三角形,不過是其中特殊的問題而已.

而在同時期的數(shù)學泥版YBC4608(圖2)上,記載著六兄弟分割三角形土地的問題,三角形的面積和高已知,三角形是用平行于底邊且間距相等的直線來分割的.古人已經(jīng)知道,分割三角形的這些平行線段的長度是按照等差數(shù)列遞增的.三角形中位線等于底邊的一半,這一性質(zhì)已經(jīng)為古人所熟知.

圖1

圖2

圖3

1.2 《幾何原本》中的有關(guān)命題

公元前3 世紀,古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中并沒有直接討論中位線的性質(zhì),但卷六給出了更一般的命題(命題VⅠ.2):“將三角形兩腰分割成成比例的線段,則分點連線段平行于三角形的底邊.”歐幾里得證明該定理的方法是:將線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形面積之間的關(guān)系,再將三角形面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的位置關(guān)系.這種方法同樣適用于三角形中位線定理.如圖3,在ΔABC中,AD=DB,AE=EC.連結(jié)BE和DC,因AD=DB,AE=EC,故SΔEAD=SΔEDB,SΔEAD=SΔCED.于是得SΔCED=SΔEDB,故知DE//BC.另一方面,因為SΔEBC=SΔABE=2SΔBDE,而ΔEBC和ΔBDE是等高的,所以BC=2DE.

1.3 劉徽對三角形面積公式的推導

中國漢代數(shù)學典籍《九章算術(shù)》方田章載有如下問題:“今有圭田廣十步,正從二十一步.問:為田幾何? ”“又有圭田廣五步二分步之一,從八步三分步之二.問:為田幾何? ”書中給出的三角形面積公式是:“術(shù)曰:半廣以乘正從.”這里,“廣”就是三角形的底邊,“正從”就是三角形的高.術(shù)文說的就是:三角形的面積等于底邊的一半乘以高.

圖4

圖5

劉徽(3 世紀)注釋說:“半廣知,以盈補虛為直田也.亦可半正從以乘廣.按半廣乘從,以取中平之數(shù),故廣從相乘為積步.”這里,劉徽是通過割補的方法來推導三角形面積公式的:取三角形兩腰的中點,過中點作底邊的垂線,將垂線外側(cè)的小三角形補到上方的相應(yīng)位置(圖4),得到一個矩形,該矩形的面積等于原來的三角形的面積,它的長等于原三角形的高,它的寬等于原三角形底邊的一半,即三角形面積等于半底乘以高.劉徽的第二種方法是:連結(jié)兩腰中點(中位線),過頂點作中位線的垂線,將中位線上方的小三角形分割成兩個小直角三角形,分別將它們補到相應(yīng)位置(圖5),得到一個矩形,矩形的長為原三角形的底邊長,寬為原三角形高的一半,故三角形的面積等于底乘以半高.

從三角形面積公式的推導過程可以看出,中國古代數(shù)學家知道中位線與底邊的位置關(guān)系和大小關(guān)系.事實上,在圖5中,將中位線上方的兩個小直角三角形分別補到相應(yīng)位置時,所得到的四邊形是矩形(因為一組對邊平行且相等),故中位線與底邊平行,且等于底邊之半.

設(shè)計意圖通過相關(guān)歷史知識的介紹,讓學生感知中位線定理的歷史文化內(nèi)涵.同時提前掌握一些知識為本節(jié)課作鋪墊.由于這個知識內(nèi)容比較多,對于學生來說也有一定的難度,所以把知識的閱讀放在課前,給學生充足的時間,讓學生思考、消化.

2 教學目標的設(shè)定

(1)使學生理解三角形中位線的概念,經(jīng)歷三角形中位線概念形成和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的過程.明確三角形中位線與三角形中線的不同.

(2)使學生掌握三角形中位線定理.在經(jīng)歷探索三角形中位線定理的過程中,學會輔助線的添加方法,同時體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

(3)使學生會用三角形中位線定理進行有關(guān)的證明和計算,培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維能力和邏輯推理論證的表達能力.

(4)通過相關(guān)知識的介紹,感知數(shù)學定理的歷史文化內(nèi)涵.同時體驗知識來源于實踐、應(yīng)用于生活.

3 改編歷史問題,引出中位線概念

在一塊由考古學家發(fā)現(xiàn)的古巴比倫泥版記載著這樣一個有趣的故事:在巴比倫兩河流域,有四位兄弟本來相安無事的生活著,直到一天他們父親的去世打破了這一平靜,大家為了分割父親留下的一塊土地而爭論不休,誰都不肯吃虧.土地為三角形形狀,請同學們利用所學的數(shù)學知識設(shè)計方法幫助這四位兄弟解決矛盾,回歸平靜的生活,同時也要對自己設(shè)計的方法有所說明,來說服四兄弟停止爭論.

學生活動學生思考,動手操作,比較容易得出圖6、圖7兩種情況.在老師的追問下也一定會出現(xiàn)圖8 的情況.

圖6

圖7

圖8

設(shè)計意圖讓學生感知“三角形中線均分三角形面積”這一性質(zhì)在解決實際問題中的作用,感知數(shù)學來源于生活,為中位線概念的引出和區(qū)分中線和中位線作鋪墊.

當學生無法用邏輯推理的方法證明圖8 中4 個三角形面積相等時,老師追問還可以用什么方法來說明?

學生:度量法、疊合法.(此時可讓學生動手操作來驗證)

師:讓我們再來觀察第三種設(shè)計方案,DE這條線段實質(zhì)是連結(jié)三角形兩邊中點的線段,我們把這樣的線段稱為三角形的中位線.它也是三角形中重要的線段,也是我們今天所學的主要內(nèi)容.

從而引出三角形中位線的定義:連接三角形兩邊中點的線段.

提出思考一個三角形有幾條中位線? 三角形中位線與中線有什么區(qū)別?

三角形有三條中位線.

不同點:中線是頂點到對邊中點的線段;中位線是相鄰兩邊中點構(gòu)成的線段.

共同點:它們都是一條線段,分別有三條.

師:上面我們是經(jīng)過度量、疊合得出圖8 中四個三角形的面積相等的.實際測量和疊合法也是研究數(shù)學問題的一種方法,而且有理論依據(jù),是可行的,但操作和測量畢竟會產(chǎn)生一定的誤差,所以還是要通過嚴密的邏輯論證來進行證明.

4 探索新知,大膽猜想

拿出疊合法驗證時剪下的4 個三角形紙片,讓學生拼圖得到一個平行四邊形,引導學生相互討論,發(fā)現(xiàn)DE與BC的數(shù)量和位置關(guān)系.

得出猜想:DE//BC,DE=BC.(學生口述,教師板書)

引導學生用語言描述,得出三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.

設(shè)計意圖培養(yǎng)學生觀察、猜想及語言表達能力.

5 合作交流,證明新定理

思考如何證明這個猜想?

已知:ΔABC中,D、E分別是AB、AC的中點(如圖9).

求證:DE//BC,DE=

從拼圖可得證明方法1:延長DE至F,使DE=EF,連結(jié)CF,用邊角邊公理證得ΔADE∽=ΔCFE,可推出AD//CF,AD=FC.又AD=DB,推出DB//FC,DB=FC.推出四邊形DBCF是平行四邊形.推出DF//BC,DF=BC,又DE=EF,推出DE//BC,DE=

巡堂觀察看學生中有沒有不同的證明方法,如果有就展示,沒有就引導學生思考:利用平行四邊形的判定和性質(zhì)得出第二(圖10-1)、第三種(圖10-2)證明方法.

圖9

圖10-1

圖10-2

師:課前我們學習了三角形中位線有關(guān)的歷史知識,你們能有什么啟發(fā),能想到不同的證明方法嗎? 從劉徽得出三角形面積公式中,學生不難得出第4 種(圖11)證明方法.

圖11

圖12

師:如果點F是線段上任意一點,能得出相應(yīng)的結(jié)論嗎?

設(shè)計意圖證明方法的拓展有利于發(fā)散學生的思維,也能讓學生深刻理解到三角形問題與平行四邊形問題中相互的轉(zhuǎn)化思想.

方法點撥:

要證明一條線段的長等于另一條線段長度的一半,方法通常有兩種:

(1)將較短的線段延長一倍;

(2)截取較長線段的一半進行轉(zhuǎn)化.

要證明兩線段平行,方法通常有兩種:利用三線八角或者平行四邊形.

設(shè)計意圖方法的總結(jié)有利于學生形成自己的經(jīng)驗.

6 知識運用,形成經(jīng)驗

圖13

圖14

圖15

(1)如圖13,已知D、E、F分別是ΔABC的三邊的中點,試說明:SΔAEF=SΔEBD=SΔDFE=SΔFDC.

(2)如圖14,四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,點E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點,四邊形EFGH的周長是26cm,則四邊形EFGH的周長是____.

(3)如圖15,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點,求證:四邊形EFGH是平行四邊形.

設(shè)計意圖第1 題重回引例讓學生體會到數(shù)學知識的發(fā)展起源于人們在現(xiàn)實生活中的實際需求,從得到的新知識解決之前無法解決的問題讓學生獲得成功感.再增加2 道題讓學生形成解決問題的經(jīng)驗.

7 知識小結(jié),經(jīng)驗提升

通過今天的學習你對三角形的中位線是否有了深刻的認識,能談?wù)勀愕南敕▎?

要解決幾何問題,要審好題,明白什么是已知條件,什么是要求的,能聯(lián)系到已學什么知識.

今天所學:中點+中點=聯(lián)想中位線,中點+一半=聯(lián)想中位線;證明一條線段是另一條線段兩倍時輔助線的作法.

8 布置作業(yè),鞏固經(jīng)驗

課本第50 頁的第5 題.

自己查找有關(guān)三角形中位線定理證明的歷史資料.

設(shè)計意圖知識的小結(jié)、作業(yè)的布置有利于經(jīng)驗的提升與鞏固.相關(guān)歷史資料的查找有利于學生了解到更多歷史文化,從而實現(xiàn)數(shù)學課的德育價值.

9 教學設(shè)計的思考

沒有學生參與的教學活動是低效的教學活動.為了調(diào)動學生學習的積極性和主動性,本節(jié)課結(jié)合八年級學生具有好奇、好動的年齡特點.融入數(shù)學史從解決歷史問題分田地引入,第一時間吸引學生的注意力,激發(fā)學生的好奇心和求知欲.本節(jié)課改變了以往只重視定理的運用的作法.本節(jié)課重點在于中位線定理的探索和證明.設(shè)計四兄弟分田地,讓學生在解決問題情境中發(fā)現(xiàn)中位線,在度量、疊合、拼圖中猜想得出中位線定理.從拼圖和歷史閱讀材料中得到證明的思路.證明方法的拓展,解題方法的總結(jié),開闊了學生的視野,積累了經(jīng)驗.也讓學生體會到了從特殊到一般的研究方法和三角形、四邊形之間進行轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化思想.數(shù)學史融入課堂能激發(fā)學生學習的興趣,能為新課提供知識的鋪墊,也能讓學生感受到數(shù)學家們?yōu)榱俗非笾R的不懈努力和奉獻精神,從而激發(fā)學生熱愛科學,敢于創(chuàng)新的精神,增強學生學習的信心和自豪感.對于八年級的學生來說,對相關(guān)的數(shù)學史閱讀起來還是有一定的困難,因此本節(jié)課的設(shè)計是,課前給學生閱讀三個有關(guān)中位線的數(shù)學歷史,課后安排學生查找三角形中位線證明的有關(guān)方法,這樣設(shè)計可以減輕學生課堂上閱讀的困難,也能給足夠的時間讓學生思考、消化.