微積分方法在概率論教學(xué)中的運用

余月力，胡 慧

（1.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 湖北 武漢 430072；2.湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)院 湖北 武漢 430205；3.南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 江西 南昌 330063）

在大學(xué)工科概率論的教學(xué)中，特別是涉及連續(xù)型隨機變量時，往往需要運用大量微積分的計算。由教學(xué)反饋的情況來看，求解二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度函數(shù)，需要運用較多微積分的方法和技巧，對很多學(xué)生來說是一個難點。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生未嚴(yán)格推導(dǎo)，只通過簡單類比已有公式，得到的結(jié)論往往是不正確的。本文將通過二重積分計算以及二重積分變量代換的一些思路和方法，以一種新的方式，幫助學(xué)生理解和掌握二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度函數(shù)的計算和相關(guān)公式的推導(dǎo)。

1 常見方法以及難點

對于二維連續(xù)型隨機變量（X，Y），已知其聯(lián)合概率密度函數(shù)f（x，y）,隨機變量Z=g（X，Y），如何求解隨機變量Z的概率密度函數(shù)？常見的方法有下述兩種[1-4]。

方法一，先求隨機變量Z的分布函數(shù)Fz（z），再將分布函數(shù)求導(dǎo)即得到概率密度函數(shù)fz（z）。具體而言，通過

來計算隨機變量Z的分布函數(shù)，其中積分區(qū)域

則隨機變量Z的概率密度函數(shù)為

下面，通過具體的例子來分析這一方法的運用。例如求解Z=X+2Y的概率密度函數(shù)，（X，Y）的聯(lián)合概率密度為

與通常微積分課程里二重積分的計算不同，在微積分課程里計算二重積分，積分區(qū)域往往是平面內(nèi)一個確定的區(qū)域，被積函數(shù)在該區(qū)域上也是唯一的一個函數(shù)表達(dá)式。而在計算分布函數(shù)的時候，這時積分區(qū)域D是與z有關(guān)的區(qū)域，即區(qū)域D的邊界或端點往往與z有關(guān)。同時，被積函數(shù)中聯(lián)合概率密度函數(shù)f（x，y）是分塊定義的，在不同的區(qū)域上表達(dá)式是不同的或者在某些區(qū)域上取值為0。因此真正需要積分的區(qū)域是區(qū)域D與聯(lián)合密度函數(shù)不為0的區(qū)域G的公共部分。因此需要分情況討論，當(dāng)z≤0時，D與G的公共部分為空集；當(dāng)0

由上面的分析可知，此方法的麻煩之處在于對于不同的z，積分域D不同，需要對不同取值范圍的z，分情況討論。這需要先分不同情況計算二重積分再計算導(dǎo)數(shù)，計算量較大。

方法二，即積分轉(zhuǎn)換法。若對于任意的有界連續(xù)函數(shù)h（z），下面的等式

成立，則Z的概率密度函數(shù)為

在上述積分等式的轉(zhuǎn)化中，需要把對x，y的二重積分轉(zhuǎn)化為對z的定積分。在本文參考文獻(xiàn)中，往往先進行定積分的換元，再交換積分次序。這里的定積分換元，被積函數(shù)是二元函數(shù)，對其中一個變量積分。故定積分的換元相當(dāng)于含參變量的定積分作換元積分，因此對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生往往不習(xí)慣也不熟練。在第三節(jié)，我們將運用新的思路來處理，即運用二重積分變量代換的方法來取代參考文獻(xiàn)中先定積分換元，再交換積分次序的方法。

下面分析特殊的情況Z=X+Y，本文參考文獻(xiàn)中的推導(dǎo)過程都是運用方法一，即先求分布函數(shù)

接下來，對上述二重積分，先對括號里的定積分做換元u=y+x，再交換積分次序，得到

即學(xué)生的處理方法為將聯(lián)合密度函數(shù)中y用z2x和（z x）/2作替換，則得到上面的結(jié)論。本文將在第三節(jié)運用二重積分變量代換的方法來證明這兩個結(jié)論第一個是正確的，第二個是錯誤的。

2 運用積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化解決定積分的計算問題

下面通過具體的實例來說明對于Z=X+Y，如何通過公式中的定積分來求Z的概率密度函數(shù)，本例中（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

計算上述定積分，關(guān)鍵是確定被積函數(shù)何時不為0，設(shè)D表示xOz平面內(nèi)被積函數(shù)不為0的區(qū)域，則

上述區(qū)域D在文獻(xiàn)[5]中稱為X型區(qū)域，則D可以寫成兩個Z型區(qū)域D1和D2的并集，其中

其他情形下，被積函數(shù)恒為0，故概率密度函數(shù)為0，即

因此通過把xOz平面的X型區(qū)域?qū)懗蒢型區(qū)域的方式就很容易確定z的取值范圍以及x的積分區(qū)間。

3 運用二重積分的變量代換來求解和推導(dǎo)概率密度函數(shù)

在這一部分，對于Z=aX+bY，本文將采用二重積分的變量代換的方式，從而避免含參變量的定積分換元。例如對于Z=2X+Y，考慮線性變換

則該線性變換的雅可比行列式為

則

故由第一節(jié)的方法二知

但是，當(dāng)Z=X+2Y時，此時考慮線性變換

與上面的線性變換不同，該線性變換的雅可比行列式為

與之前的情況不同，此時的雅可比行列式不是1，因此在做變量代換的時候，會出現(xiàn)1/|J|，因此

由第一節(jié)的方法二可知

故第一節(jié)未經(jīng)嚴(yán)格推導(dǎo)，只通過類比得到的兩個結(jié)論第一個正確，第二個不正確。

因此，運用二重積分的換元法，可避免含參變量的定積分的換元，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生易于理解和掌握。通過二重積分的換元法和第一節(jié)的方法二，可用于一般的線性函數(shù)Z=aX+bY（a，b0）求解概率密度函數(shù)。例如對于Z=2X3Y，考慮線性變換u=x，z=2x3y，則該線性變換的雅可比行列式

則運用第一節(jié)的方法二，可以得到

如果聯(lián)合概率密度函數(shù)已經(jīng)給出，則利用上面Z的概率密度函數(shù)的計算公式，由第二節(jié)積分區(qū)域從X型區(qū)域轉(zhuǎn)化為Z型區(qū)域的方法計算上面的定積分，由此即求出Z的概率密度函數(shù)的具體表達(dá)式。這樣就完全避免了含參變量積分的定積分換元。另外對于

可用方法二和二重積分的極坐標(biāo)變換求解。例如

這里積分區(qū)域D表示第一象限，用極坐標(biāo)表示出來，即為

故由第一節(jié)的方法二知

4 總結(jié)

在概率論中計算積分的時候，與微積分里通常計算的定積分和二重積分不用，積分區(qū)間或區(qū)域往往不是固定的，帶有一個參數(shù)，而被積函數(shù)往往是分段或分塊函數(shù)，因此積分需要寫成不同的區(qū)間或不同的區(qū)域上分別積分之和；二重積分交換積分次序以及積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化在概率論的計算和推導(dǎo)過程中會經(jīng)常用到；二重積分的變量代換除了解決前文的相關(guān)問題以外，在其他一些重要結(jié)論的證明和計算時仍會用到，例如對于二維連續(xù)型隨機變量作正交變換，求得到的新的二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。因此，在高等數(shù)學(xué)（微積分）的教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)多加強這些知識點的練習(xí)，或者在概率論的課程中對這部分高數(shù)的內(nèi)容做一些針對性強化，都將有助于學(xué)生更快更好地理解和掌握相關(guān)概率論的知識點。