地下水模擬方法與應(yīng)用軟件研究進(jìn)展

盧洪健，王卓然

(水利部信息中心，北京 100053)

0 引言

地下水約占地球液態(tài)淡水總量的99%，其蹤跡幾乎遍及全球，具有巨大的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益。目前世界上一半的居民生活用水來(lái)源于地下水，約有25%的農(nóng)業(yè)灌溉來(lái)源于地下水開(kāi)采[1]。盡管地下水如此重要，人們卻對(duì)它普遍缺乏認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致地下水的價(jià)值被嚴(yán)重低估。近半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，人類長(zhǎng)期過(guò)度開(kāi)采，加之氣候變化的影響，導(dǎo)致當(dāng)前世界有超過(guò)一半的地下含水系統(tǒng)處于超采狀態(tài)，有些國(guó)家的地下水水位正在以十分危險(xiǎn)的速度下降。地下水超采不僅嚴(yán)重威脅飲用水安全和依靠地下水灌溉農(nóng)產(chǎn)區(qū)的糧食產(chǎn)量，而且會(huì)導(dǎo)致污染加劇、生態(tài)支撐能力下降及地面沉降等生態(tài)環(huán)境問(wèn)題[2]。因此，準(zhǔn)確的地下水模擬是地下水資源精細(xì)化管理與決策的重要支撐。

地下水系統(tǒng)由地下水含水系統(tǒng)和地下水流動(dòng)系統(tǒng)組成，由于其一般不可見(jiàn)、受多種補(bǔ)排條件綜合作用、受地質(zhì)條件影響等特殊性，對(duì)地下水系統(tǒng)的研究遠(yuǎn)比地表水系統(tǒng)困難。自20世紀(jì)60年代以來(lái)，數(shù)值模擬開(kāi)始應(yīng)用于地下水計(jì)算中，地下水?dāng)?shù)值模擬的理論與方法得到了長(zhǎng)足的發(fā)展[3-4]。準(zhǔn)確的地下水過(guò)程模擬結(jié)果不僅可以用于地下水污染評(píng)估、地下水最優(yōu)管理，還能為解決地下水資源開(kāi)采安全性等問(wèn)題提出決策支持。本文闡述了地下水模擬過(guò)程的理論基礎(chǔ)，介紹了地下水?dāng)?shù)值模擬主要求解方法，比較了當(dāng)前主流地下水模擬軟件及其在我國(guó)的應(yīng)用情況。

1 地下水模擬

地下水模擬是采用地下水?dāng)?shù)學(xué)模型，通過(guò)將概念模型轉(zhuǎn)化為控制方程的形式，在特定的邊界和初始條件下，用來(lái)模擬和描述真實(shí)世界的地下水流運(yùn)動(dòng)，并可以通過(guò)執(zhí)行計(jì)算機(jī)程序來(lái)求解[5]。地下水模擬模型是一種非均勻模型，通過(guò)近似調(diào)查的地下水系統(tǒng)，采取簡(jiǎn)化假設(shè)，例如均勻性、各向同性、流動(dòng)方向、含水層幾何結(jié)構(gòu)、污染物運(yùn)移機(jī)制等[6]。模型的性能和效率取決于數(shù)學(xué)方程對(duì)被建模物理系統(tǒng)的近似程度，模型精度則取決于對(duì)地下水系統(tǒng)的概化和理解程度，以及數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)過(guò)程中的假設(shè)[7]。

地下含水層建模過(guò)程一般包括以下步驟[8]：(1)確定表征含水層物理結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)條件的參數(shù)；(2)利用特定點(diǎn)的現(xiàn)場(chǎng)資料估算水文地質(zhì)參數(shù)；(3)利用插值/外推方法估計(jì)參數(shù)的空間分布；(4)利用所有估計(jì)參數(shù)和現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)構(gòu)建概念模型；(5)利用地下水流動(dòng)方程表達(dá)系統(tǒng)條件，建立描述概念模型的數(shù)學(xué)模型；(6)將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值模型，以確定含水層響應(yīng)，包括水頭或污染物濃度；(7)利用數(shù)值法對(duì)生成的模型進(jìn)行求解；(8)通過(guò)敏感性分析，確定校正模型時(shí)需要調(diào)整的關(guān)鍵模型系數(shù)；(9)利用可獲取的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)行校準(zhǔn)，以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)地下水系統(tǒng)的變化；(10)通過(guò)驗(yàn)證模型，消除數(shù)值近似帶來(lái)的誤差；(11)采用模型評(píng)估既定管理策略對(duì)含水層恢復(fù)和地下水系統(tǒng)優(yōu)化利用的影響。

地下水管理通常需要預(yù)測(cè)地下水流、地下水位、溶質(zhì)運(yùn)移和模擬自然或人為應(yīng)力，地下水模擬模型被廣泛用于此類預(yù)測(cè)和模擬中，這些模型通常需要解偏微分方程。數(shù)學(xué)模型可以是確定性的、隨機(jī)的(統(tǒng)計(jì)的)或兩者的結(jié)合。在隨機(jī)模型中，根據(jù)發(fā)生的概率向模型提供一系列的預(yù)測(cè)，可以幫助評(píng)估系統(tǒng)的不確定性；確定性模型則是基于已知系統(tǒng)和過(guò)程的因果關(guān)系而建立，廣泛用于解決區(qū)域地下水問(wèn)題，可以分為解析型和數(shù)值型[9]。解析模型利用若干簡(jiǎn)化假設(shè)對(duì)地下水系統(tǒng)進(jìn)行快速的初步分析，不能用于解決區(qū)域形狀不規(guī)則、區(qū)域異質(zhì)性和復(fù)雜邊界條件的問(wèn)題。對(duì)于這種情況，數(shù)值模型使用計(jì)算機(jī)程序來(lái)解決更復(fù)雜的問(wèn)題[10]。

2 地下水?dāng)?shù)值模型求解方法

數(shù)值模型用于求解代表地下水流運(yùn)動(dòng)的偏微分方程，并給出近似解，模型的主要特點(diǎn)包括[11]：(1)模型僅在為問(wèn)題定義的空間和時(shí)間域(離散值)中的指定點(diǎn)求解，這些點(diǎn)被視為整個(gè)區(qū)域的不連續(xù)狀態(tài)變量；(2)描述地下水流運(yùn)動(dòng)的偏微分方程在某些點(diǎn)通過(guò)一組數(shù)學(xué)方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量的離散值；(3)其解是針對(duì)各種模型系數(shù)的一組指定的數(shù)值，而不是這些系數(shù)的一般關(guān)系；(4)使用計(jì)算機(jī)程序來(lái)求解大量必須同時(shí)求解的方程。目前，已發(fā)展出有限差分法(finite-difference method，F(xiàn)DM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)、有限體積法(finite volume method，F(xiàn)VM)、邊界元和粒子追蹤等數(shù)值求解方法[12]。

2.1 有限差分法

有限差分法(FDM)是根據(jù)含水層的特征和條件，將差分方程中的偏導(dǎo)數(shù)在小范圍內(nèi)用代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變換，問(wèn)題域被分割成一系列被稱為節(jié)點(diǎn)的離散點(diǎn)，用一組離散的點(diǎn)替換連續(xù)介質(zhì)，并為每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配各種水文地質(zhì)參數(shù)。FDM可用于時(shí)間和空間離散化，利用定義參數(shù)間時(shí)空關(guān)系的差分算子來(lái)替換偏導(dǎo)數(shù)，所建立的模型在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上通過(guò)獲取該節(jié)點(diǎn)上一組代數(shù)方程的解來(lái)求解，通常會(huì)采用一些迭代方法來(lái)求解簡(jiǎn)化方程[13]。

該方法利用時(shí)間步長(zhǎng)開(kāi)始時(shí)的初始條件以及時(shí)間步長(zhǎng)期間發(fā)生的含水層抽水或回灌率來(lái)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)結(jié)束時(shí)的未知水頭。因此，在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中需要同時(shí)求解大量的方程，這使得該模擬技術(shù)對(duì)于需要長(zhǎng)期模擬大型含水層的地下水規(guī)劃和管理目標(biāo)來(lái)說(shuō)非常耗時(shí)。

FDM的優(yōu)點(diǎn)是易于跟蹤包括復(fù)雜加載路徑和高度非線性行為的復(fù)雜系統(tǒng)，易于理解和編寫(xiě)程序，因此是求解大型非線性地下水流運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一種經(jīng)濟(jì)方法。然而，對(duì)于不規(guī)則幾何域，F(xiàn)DM的使用是困難的。通常來(lái)講，具有規(guī)則網(wǎng)格系統(tǒng)的傳統(tǒng)FDM方法存在形狀域不規(guī)則、邊界條件復(fù)雜、材料非均質(zhì)性等缺點(diǎn)[14]。

2.2 有限元法

在有限元法(FEM)中，不規(guī)則形狀區(qū)域可以劃分為一組具有不同尺寸或形狀的單元。為了反映狀態(tài)變量或參數(shù)值的變化，可以更改元素大小。采用直接法、加權(quán)殘值法和變分法等方法對(duì)單元的偏微分方程進(jìn)行近似，以獲得一組代數(shù)方程。因變量的分段連續(xù)表示以及地下水系統(tǒng)的參數(shù)(可能)可以提高數(shù)值近似的精度。對(duì)于許多地下水問(wèn)題，有限元法優(yōu)于經(jīng)典的有限差分模型。具有不規(guī)則形狀區(qū)域、復(fù)雜邊界條件和材料非均質(zhì)性的地下水問(wèn)題可以使用有限元建模，而FDM意味著復(fù)雜的插值格式來(lái)逼近復(fù)雜的邊界條件[15]。

將問(wèn)題域劃分為若干非重疊單元，作為有限元法求解地下水流動(dòng)或溶質(zhì)運(yùn)移問(wèn)題的第一步。將問(wèn)題域替換為一系列節(jié)點(diǎn)和離散單元或有限元網(wǎng)格，這些元素通過(guò)將兩個(gè)或多個(gè)節(jié)點(diǎn)連接在一起。然后，為每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配一個(gè)節(jié)點(diǎn)號(hào)，為每個(gè)元素分配一個(gè)元素號(hào)，元素可以具有任意大小的一維、二維或三維，在每個(gè)要素中，應(yīng)規(guī)定地下水流動(dòng)特征。利用地下水流動(dòng)和溶質(zhì)運(yùn)移過(guò)程的知識(shí)繪制網(wǎng)格是一種有助于以合理的計(jì)算負(fù)擔(dān)和可接受的精度獲得地下水系統(tǒng)解的方法。這可以通過(guò)流動(dòng)或運(yùn)輸過(guò)程可視化和流網(wǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)?？梢允褂貌煌挠邢拊W(wǎng)格類型進(jìn)行建模，結(jié)果可能相似。因此，建模時(shí)沒(méi)有唯一的網(wǎng)格類型和大小選擇。

與粗網(wǎng)格相比，使用細(xì)網(wǎng)格進(jìn)行有限元建?？梢缘玫礁_的解，從而導(dǎo)致精度較低。精細(xì)網(wǎng)格有更多的節(jié)點(diǎn)，需要更多的計(jì)算工作來(lái)獲得解決方案，因此，它是計(jì)算負(fù)擔(dān)和建模精度之間的權(quán)衡。網(wǎng)格大小可以通過(guò)使用更細(xì)的網(wǎng)格重復(fù)計(jì)算來(lái)確定，并查看結(jié)果的變化有多大。在建模的第一次重復(fù)中，可以使用幾個(gè)節(jié)點(diǎn)生成粗略的有限元網(wǎng)格。因此，只需很少的計(jì)算工作就可以導(dǎo)出一個(gè)解。在重復(fù)建模過(guò)程中，可以準(zhǔn)備更精細(xì)的有限元網(wǎng)格，這需要更多的計(jì)算工作，并導(dǎo)致更精確的解決方案。

2.3 有限體積法

在有限體積法(FVM)中，通過(guò)將計(jì)算函數(shù)劃分為控制體積，并將加權(quán)函數(shù)設(shè)置為統(tǒng)一于控制體積，生成了許多加權(quán)殘差方程。在控制體積中，殘差的積分必須等于零。問(wèn)題域被劃分為多個(gè)控制卷，沒(méi)有重疊。將微分方程積分到圍繞每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的一個(gè)控制體積上。分段連續(xù)性表示網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化，用于計(jì)算積分。結(jié)果是包含一組網(wǎng)格點(diǎn)的離散化方程。在離散化方程中得到了有限控制體積的守恒原理。質(zhì)量、動(dòng)量和能量等量的積分守恒在任何控制體積組和整個(gè)問(wèn)題域上都是完全滿足的。對(duì)于任意數(shù)量的網(wǎng)格點(diǎn)，即使是粗略的網(wǎng)格解也能顯示出精確的積分平衡。在FVM中，不需要結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，變量位于體積內(nèi)，因此可以無(wú)創(chuàng)地應(yīng)用邊界條件[16]。

在FDM中，偏微分方程中的一階導(dǎo)數(shù)由相鄰節(jié)點(diǎn)的自變量值之間的差來(lái)近似，考慮節(jié)點(diǎn)之間的距離，并考慮兩個(gè)連續(xù)時(shí)間的時(shí)間步長(zhǎng)增量的持續(xù)時(shí)間。在FEM中，因變量和參數(shù)的函數(shù)用于評(píng)估偏微分方程(PDE)的等效積分公式。雖然每種方法都有一些優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，但由于概念和數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)單性，F(xiàn)DM通常更容易編程。在上述方法中，有兩種求解偏微分方程的方法來(lái)獲得因變量的網(wǎng)格點(diǎn)值。FEM中使用的一種方法是，頭部變量由網(wǎng)格點(diǎn)值組成，形狀函數(shù)用于網(wǎng)格點(diǎn)之間的插值。另一方面，在FDM中使用，忽略網(wǎng)格之間的水頭變化，方程式包括水頭的網(wǎng)格點(diǎn)值。

FDM在不規(guī)則含水層邊界和含水層內(nèi)區(qū)域參數(shù)的緊密空間近似方面具有靈活性。然而，與常規(guī)矩形有限差分網(wǎng)格相比，不規(guī)則有限元網(wǎng)格的網(wǎng)格生成、輸入數(shù)據(jù)集的規(guī)格說(shuō)明和構(gòu)造要困難得多。FVM是一種將偏微分方程表示為代數(shù)方程并進(jìn)行計(jì)算的方法。與FDM類似，在網(wǎng)格幾何體上的離散位置計(jì)算值。與FDM相比，F(xiàn)VM的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是它不需要結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在粗非均勻網(wǎng)格和網(wǎng)格移動(dòng)以跟蹤界面或沖擊的計(jì)算中尤其強(qiáng)大。

3 地下水模擬軟件及應(yīng)用

3.1 常用地下水模擬軟件

MODFLOW(Modular Three-dimensional Finite Difference Groundwater Flow Model)是是由美國(guó)地質(zhì)調(diào)查局于20世紀(jì)80年代開(kāi)發(fā)出來(lái)的三維地下水流數(shù)值模擬模型[17]。該軟件以有限差分法為基本原理，即在不考慮水的密度變化條件下，孔隙介質(zhì)中地下水在三維空間的流 動(dòng)可以偏微分方程來(lái)表示。通過(guò)模擬不規(guī)則形狀水流系統(tǒng)中的定常和非定常流，其中含水層可以是承壓、非承壓或承壓和非承壓的組合，可以模擬來(lái)自外部應(yīng)力的流量，例如流入井、地表補(bǔ)給、蒸散、流入排水溝和流經(jīng)河床的流量。該軟件可以模擬特定的水頭和通量邊界，還能夠模擬穿過(guò)模型外邊界的水頭相關(guān)流量，從而允許以與模型區(qū)域外水源和邊界塊之間的當(dāng)前水頭差成比例的速率向模型區(qū)域內(nèi)的邊界塊供水。除了模擬地下水流動(dòng)外，MODFLOW的應(yīng)用范圍已經(jīng)擴(kuò)展到溶質(zhì)運(yùn)移和參數(shù)估計(jì)等功能。

在MODFLOW 軟件基礎(chǔ)上，加拿大Waterloo Hydrogeologic Inc.應(yīng)用現(xiàn)代可視化技術(shù)開(kāi)發(fā)研制出Visual MODFLOW，于1994年8月首次在國(guó)際上公開(kāi)發(fā)行。Visual MODFLOW 以其求解方法的簡(jiǎn)單實(shí)用、適應(yīng)范圍的廣泛及可視化功能的強(qiáng)大正成為最有影響的地下水模擬平臺(tái)環(huán)境。然而實(shí)踐也證明，對(duì)于復(fù)雜的地質(zhì)條件、不飽和流動(dòng)、密度變化的流動(dòng)( 海水入侵)、熱對(duì)流等棘手的問(wèn)題，Visual MODFLOW 往往并不適合。

基于有限元法的FEFLOW (Finite element subsurface FLOW system ) 軟件由德國(guó)WASY 水資源規(guī)劃和系統(tǒng)研究所于1979年開(kāi)發(fā)出來(lái)[18]。FEFLOW是現(xiàn)有的功能最齊全最復(fù)雜的地下水模擬軟件包之一，用于模擬多孔介質(zhì)中飽和及非飽和地下水流與污染物的運(yùn)移。FEFLOW軟件具有圖形人機(jī)對(duì)話、地理信息系統(tǒng)數(shù)據(jù)接口、自動(dòng)產(chǎn)生空間各種有限元網(wǎng)格、空間參數(shù)區(qū)域化及快速精確的數(shù)值算法和先進(jìn)的圖形視覺(jué)化技術(shù)等特點(diǎn)。由于它是為滿足專 門從事復(fù)雜地下水模擬工程的專家對(duì)技術(shù)的要求而設(shè)計(jì)的，對(duì)含水層分層、單元剖分、離散 點(diǎn)插值、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換、邊界條件賦值、河流邊界、含水層均衡項(xiàng)等高效處理的特點(diǎn)，使其適宜 于大區(qū)域地下水流模擬。

表1 國(guó)際主流地下水模擬軟件

地下水模擬系統(tǒng)( Groundwater Modeling System) , 簡(jiǎn)稱GMS, 是美國(guó)Brigham Young University的環(huán)境模型研究實(shí)驗(yàn)室和美國(guó)軍隊(duì)排水工程試驗(yàn)工作站在綜合MODFLOW 、 FEMWATER、MT3DMS、RT3D 、SEAM3D、MODPATH、SEEP2D、NUFT、UTCHEM 等已有地下水模型的基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)的一個(gè)綜合性、用于地下水模擬的圖形界面軟件。其圖形界面由下拉菜單、編輯條、常用模塊、工具欄、快捷鍵和幫助條6 部分組成，使用起來(lái)非常便捷。由于GMS 軟件具有良好的使用界面，強(qiáng)大的前處理、后處理功能及優(yōu)良的三維可視效果, 目前已成為國(guó)際上最受歡迎的地下水模擬軟件。此外，加拿大Waterloo Hydrogeologic Inc.還開(kāi)發(fā)了Visual Groundwater、HydroGeo- Analyst、WHIUnSat Suite，丹麥水利研究所開(kāi)發(fā)了MIKE系列模型[19]，當(dāng)前國(guó)際上主流地下水模擬軟件功能及特點(diǎn)詳見(jiàn)表1。

3.2 我國(guó)地下水模擬軟件開(kāi)發(fā)與應(yīng)用

我國(guó)地下水模擬模型研制和軟件開(kāi)發(fā)起步相對(duì)較晚，20世紀(jì)70年代初，國(guó)內(nèi)高校和科研院所開(kāi)展地下水?dāng)?shù)值模擬研究，應(yīng)用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，如Fortran、Algol等編寫(xiě)一些計(jì)算程序，基本為內(nèi)部使用，未公開(kāi)推廣應(yīng)用。林學(xué)鈺等[20]開(kāi)展了承壓含水層中二維溶質(zhì)運(yùn)移和彌散的微機(jī)模擬(有限單元法)研究；薛禹群等[21]研制了地下水污染模型，并耦合海水入侵、大區(qū)域地面沉降模塊；武強(qiáng)等[22]開(kāi)展了河水與地下水耦合模型，地表水、地下水和土壤水之間的水力耦合模型研究；陳崇希等[23]開(kāi)發(fā)了基于多邊形網(wǎng)格的三維地下水流有限差分模擬系統(tǒng)PGMS；陸垂裕等[24]開(kāi)發(fā)了基于流域/區(qū)域長(zhǎng)時(shí)間尺度水量平衡分析的分布式水文模型，具有較強(qiáng)的物理基礎(chǔ)，可詳細(xì)模擬大氣水、土壤水、地表水和地下水之間復(fù)雜的“四水轉(zhuǎn)化”過(guò)程，上述研究為我國(guó)地下水模型研究奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。此外，國(guó)內(nèi)很多學(xué)者采用國(guó)外主流地下水模型，或進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，針對(duì)我國(guó)地下水超采最為嚴(yán)重的華北平原和水資源極度短缺的西北內(nèi)陸干旱區(qū)，開(kāi)展了大量的地下水模擬模型應(yīng)用研究，為地下水決策管理發(fā)揮了重要的基礎(chǔ)支撐。

4 問(wèn)題與展望

近幾十年來(lái)，我國(guó)在地下水模擬及應(yīng)用上取得很多成果，解決了很多國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中急需解決的各類地下水問(wèn)題，但理論成果和原始創(chuàng)新相對(duì)較少；目前地下水模擬新技術(shù)、新方法的開(kāi)發(fā)主要由歐美發(fā)達(dá)國(guó)家主導(dǎo)，我國(guó)的地下水通用模型研制及軟件開(kāi)發(fā)還相對(duì)落后。2021年10月21日第748號(hào)國(guó)務(wù)院令公布《地下水管理?xiàng)l例》，自2021年12月1日起施行，標(biāo)志著我國(guó)地下水管理正式步入法治時(shí)代，這對(duì)我國(guó)地下水模擬模型和應(yīng)用軟件的支撐能力要求也越來(lái)越高。因此，在水利高質(zhì)量發(fā)展的新階段，為進(jìn)一步支撐地下水“評(píng)價(jià)-規(guī)劃-管理-保護(hù)”各環(huán)節(jié)，支撐地下水“預(yù)報(bào)-預(yù)警-預(yù)演-預(yù)案”功能建設(shè)，支撐地下水超采治理水量-水位效果聯(lián)合評(píng)價(jià)等，十分必要建立全國(guó)通用地下水模型。

全國(guó)通用地下水模型建設(shè)必須有自主研發(fā)的核心計(jì)算模型，模型需適應(yīng)我國(guó)大多數(shù)地區(qū)地下水模擬，可以地下水量、地下水位模擬為主，兼顧溶質(zhì)運(yùn)移、海水入侵、地面沉降、多相介質(zhì)流動(dòng)、水-熱耦合模擬、水生態(tài)模擬等管理應(yīng)用需求，模型應(yīng)經(jīng)受實(shí)際工程檢驗(yàn)，保證計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定可靠，同時(shí)應(yīng)公開(kāi)源代碼和設(shè)計(jì)接口，以便后續(xù)改進(jìn)完善。