一類次線性Hill型方程的無窮小周期解

王梓歡, 王 超

(鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 鹽城 224002)

本文考慮二階Hill型微分方程

x″+q(t)g(x)=0,

(1)

(g0)g(x)·x>0,

(g1)

非線性Hill型方程是一類重要的時(shí)變位勢(shì)方程,它因具有實(shí)際的應(yīng)用背景而廣受關(guān)注.針對(duì)方程

x″+a(t)|x|γ-1x=0,γ>0,

(2)

在a(t)允許變號(hào)的前提下,Waltman[1]首先研究了方程

x″+a(t)x2n+1=0,n∈N

解的振動(dòng)性.針對(duì)方程(1)的周期解問題,當(dāng)g(x)在無窮遠(yuǎn)處滿足超線性條件

(3)

時(shí)(例如,在方程(2)中γ>1),Butler[2]證明了無窮多個(gè)大范數(shù)的周期解的存在性;在原點(diǎn)處滿足超線性條件

(4)

時(shí)(例如,在方程(2)中γ<1),Butler[3]證明了在原點(diǎn)附近存在無窮多個(gè)周期解.

在超線性條件(3)下,Papini[4]運(yùn)用Butler的證明方法證明了方程(1)的Floquet-type邊值問題無窮多個(gè)解的存在性,這個(gè)結(jié)果也包含了Butler的結(jié)果.同時(shí),Papini運(yùn)用這個(gè)邊值問題的結(jié)果也證明了方程

x″+cx′+q(t)g(x)=0

有無窮多個(gè)周期解的存在性.在條件(g0)、g∈C1(0,+∞)、g(0)=0以及在原點(diǎn)處滿足超線性條件

的情況下,關(guān)于小范數(shù)周期解的存在性,Bandle等[5]推廣了Butler的結(jié)果.另外,在一些超線性條件下,有關(guān)方程(1)周期解和其他動(dòng)力行為研究的一些結(jié)果可見文獻(xiàn)[6-11].

最近,針對(duì)權(quán)函數(shù)q(t)為正函數(shù)的情形,文獻(xiàn)[12]在一類關(guān)于時(shí)間映射的超線性條件下,證明了帶強(qiáng)迫項(xiàng)的對(duì)稱非線性Hill型方程

x″+q(t)g(x)=p(t)

有無窮多個(gè)對(duì)稱調(diào)和解，同時(shí)，證明了對(duì)稱次調(diào)和解具有稠密性分布.當(dāng)周期解的最小正周期T0等于系統(tǒng)的最小正周期T時(shí)稱為調(diào)和解,當(dāng)T0=mT(m>1為正整數(shù))時(shí)稱為次調(diào)和解,相關(guān)的定義可見文獻(xiàn)[13]的定義1.文獻(xiàn)[14]在g(x)是有界函數(shù)的條件下,證明了方程(1)無窮多個(gè)次調(diào)和解的存在性,且當(dāng)q(t)是偶函數(shù)時(shí),證明了無窮多個(gè)偶次調(diào)和解的存在性和偶次調(diào)和解的稠密性分布結(jié)果.

在上述結(jié)果中,絕大多數(shù)都是大振幅的周期解.文獻(xiàn)[3]和[5]的小振幅的周期解的存在性結(jié)果是在原點(diǎn)附近滿足超線性條件下得到的,而且在文獻(xiàn)[5]中要求g∈C1(0,+∞).一個(gè)有趣的問題是,當(dāng)g(x)僅僅是連續(xù)函數(shù)且在原點(diǎn)附近滿足次線性條件(g1)時(shí),方程(1)是否有無窮多個(gè)周期解?

本文在第1節(jié)首先運(yùn)用相平面分析的方法對(duì)等價(jià)系統(tǒng)解的動(dòng)力行為進(jìn)行分析,得到了在充分小的圓盤內(nèi)系統(tǒng)解的動(dòng)力行為.第2節(jié)在充分小的區(qū)域內(nèi)構(gòu)造了一系列的圓盤使得系統(tǒng)的Poincaré映射在圓盤的邊界具有扭轉(zhuǎn)性,從而運(yùn)用推廣的Poincaré-Birkhoff扭轉(zhuǎn)定理[15]證明無窮多個(gè)小振幅的次調(diào)和解的存在性.

本文的主要結(jié)論是:

定理 A假設(shè)(g0)、(g1)成立,則方程(1)至少存在一個(gè)調(diào)和解和無窮多個(gè)次調(diào)和解.

1 引理

令x′=y,則y′=-q(t)g(x),方程(1)等價(jià)于

(5)

設(shè)連續(xù)截?cái)嗪瘮?shù)η:R2→R為

且滿足0≤η(x,y)≤1.

(6)

的解(x(t),y(t))滿足

|(x(t),y(t)|≤1, ?t∈I,

則(x(t),y(t))就是(5)定義在區(qū)間I上的解.

下面首先研究方程(6)的周期解的存在性和重性問題.

由g(0)=0知原點(diǎn)為系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn),由解的唯一性可知從原點(diǎn)外任一點(diǎn)出發(fā)的解都不會(huì)經(jīng)過原點(diǎn).在半徑為2的圓域之外系統(tǒng)(6)為

x′=y,y′=0,

易見系統(tǒng)(6)的解在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)跑到無窮遠(yuǎn)處.

下面總假設(shè)(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))為方程(6)滿足初值(x(0),y(0))=(x0,y0)的解.

引理 1.1?(x0,y0)∈R2,解(x(t;x0,v0),y(t;y0,v0))在(-∞,+∞)上有定義.

引進(jìn)極坐標(biāo).假設(shè)(x0,y0)∈R2,則解(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))可以用極坐標(biāo)表示

(7)

其中r(t),θ(t)是連續(xù)函數(shù).易證,在坐標(biāo)變換(7)下,(r(t;r0,θ0),θ(t;r0,θ0))滿足方程

其中x0=r0cosθ0,y0=r0sinθ0.

1) 若r1≤r0≤RL,則

r(t;r0,θ0)≥r2, ?|t|≤L;

2) 若0

則由(8)式知

其中q0=從而

r0ee

從而,有

r0ee

取RL>0使得RL則

對(duì)?0

引理 1.3對(duì)方程(8)的任意解(r(t),θ(t)),若0

引理 1.4設(shè)(g0)和(g1)成立.若(r(t),θ(t))是方程(8)的解且滿足

0

和

θ(t2)-θ(t1)=-2π,

則

由條件(g1),對(duì)上述的ε,存在δ>0使得當(dāng)0

從而

得證.

引理 1.4指出,在條件(g1)下,方程(8)的解的范數(shù)越小,則解在相平面上經(jīng)過區(qū)域I:={(x,y):-ε≤θ≤0}就越慢,從而繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈所需要的時(shí)間就越長(zhǎng).下面,類似于文獻(xiàn)[16-17]中的證明方法,可以證明下面的引理.

L(R)≤r(t)≤R, ?t∈[t1,t2],

則

θ(t2)-θ(t1)<-π.

證明只證明r(t1)=R,r(t2)=L(R)的情況,r(t1)=L(R),r(t2)=R的情況可以類似證明.

由(g0),對(duì)任意的x≠0有g(shù)(x)·sgn(x)>0.定義連續(xù)函數(shù)g1:[-1,1]→R如下:

由構(gòu)造知,g1是單調(diào)非減函數(shù).易見,當(dāng)00,當(dāng)-1

g2(x)

對(duì)所有的x∈(0,1]有

g2(x)

其中，q0:=類似地,定義一個(gè)[-1,1]上的連續(xù)的單調(diào)非減函數(shù)h(x),使得h(0)=0且對(duì)所有的x∈[-1,0)有

h(x)>q1g1(x),

對(duì)所有的x∈(0,1]有

h(x)>q0g1(x).

定義上凹函數(shù)

顯然,

00;

G(x)>H(x)>0,x<0.

易見,

對(duì)任意的r∈(0,1],記

B(r):={(x,y):x2+y2

且取k>0使得對(duì)任意的

有

取-R

易見,曲線Γ1與Γ2均在圓B(R)內(nèi).

因?yàn)镠是上凹的,對(duì)每一個(gè)y∈R,最多有兩個(gè)數(shù)x1,x2使得(x1,y)∈Γ1,(x2,y)∈Γ1.對(duì)Γ2也有相同的結(jié)論.顯然,存在0H(a).因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)G(x)b.現(xiàn)在,令(x(t),y(t))是方程(6)的解.如果曲線t(x(t),y(t))穿過Γ1,則必然是從內(nèi)部向外部穿過.事實(shí)上,沿著方程(6)的解,對(duì)y(t)>0,有

這意味著在Γ1上的每一點(diǎn)處,方程(6)的向量場(chǎng)都是從內(nèi)指向外的.對(duì)Γ2也有相同的結(jié)論.同時(shí),易證,在線段{(x,0):γ≤x≤1}上,向量場(chǎng)指向下方.

因此,若(x(t),y(t)):[t1,t2]→R2是方程(6)的以

(x(t1),y(t1))∈{(x,y):y≤0,|(x,y)|=R}

為初始條件的解,滿足|(x(t2),y(t2))|=L(R)以及|(x(t),y(t))|≤R,?t∈[t1,t2],則一定存在t1<ω

(i)β≤x(ω)≤γ,y(ω)=0;

(ii) ?t∈[t1,ω),(x(t),y(t))與Γ1與Γ2均不相交;

(iii)u′(t)在[t1,ω]內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).

這意味著曲線t(x(t),y(t))在穿過線段{(x,0):β≤x≤γ}之前繞原點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)了π,即θ(ω)-θ(t1)≤-π.由引理1.3知θ(t2)-θ(t1)<-π.

對(duì)于滿足

(x(t1),y(t1))∈{(x,y):y≥0,|(x,y)|=R}

的解也有類似的構(gòu)造及相應(yīng)的討論.因此,可以選擇一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)L(R)

R≤r(t)≤L(R,j), ?t∈[t1,t2],

則

θ(t2)-θ(t1)<-2jπ.

證明由引理1.5,令R1:=L(R)

θ(t2)-θ(t1)=(θ(t2)-θ(s2))+

(θ(s2)-θ(s1))+(θ(s1)-θ(t1))<

-π-π=-2π.

令L(R,1):=R2,則結(jié)論對(duì)j=1成立.

令R3:=L(R2)及R4:=L(R3),類似可證,如果(r(t),θ(t))是方程(8)的滿足r(t1)=R,r(t2)=R4(或者r(t1)=R4,r(t1)=R)及

R4≤r(t)≤R, ?t∈[t1,t2]

的解,則

θ(t2)-θ(t1)<-2·2π=-4π.

令L(R,2):=R4,則結(jié)論對(duì)j=2成立.反復(fù)進(jìn)行上述討論,則對(duì)每一個(gè)j>0,可以找到一個(gè)正數(shù)L(R,j)

R2≤r(t)≤R1, ?t∈[t1,t2],

則

證明將圓環(huán)分成兩個(gè)區(qū)域:

當(dāng)(x,y)∈Ⅰ時(shí),

|x|≥R2

其中q1:=當(dāng)(x,y)∈Ⅱ時(shí),

θ′<-

因此,存在b>0使得θ′≤-b.從而θ(t2)-θ(t1)≤-b(t2-t1).得證.

2 定理A的證明

證明下面,先證明方程(1)存在無窮多個(gè)次調(diào)和解.

θ(mT)-θ(0)<-2jπ.

設(shè)(r(t),θ(t))是方程(8)的解,r(0)=R2,滿足:

情況1或者(x(t),y(t))∈A,?t∈[0,mT],其中(x(t),y(t))由(7)給出;

對(duì)前一種情況,已知θ(mT)-θ(0)<-2jπ.

對(duì)后一種情況,可以選擇一個(gè)區(qū)間[t1,t2]?[0,mT]使得:

情況3或者r(t1)=R2,r(t2)=R1且對(duì)?t∈[t1,t2]有R2≤r(t)≤R1;

情況4或者r(t1)=R2,r(t2)=R3且對(duì)?t∈[t1,t2]有R3≤r(t)≤R2.

由R1、R2和R3的選取,無論哪種情況都有θ(t2)-θ(t1)<-2jπ.由引理1.3得θ(mT)-θ(0)<-2jπ.綜上所述,若(r(t),θ(t))是方程(8)的解,則

r(0)=R2?θ(mT)-θ(0)<-2jπ.

r(t)≤S1, ?t∈[0,mT].

所以

r(0)=S2?θ(mT)-θ(0)>-2π.

考慮mT-Poincaré映射:

[S2,R2]×R(r0,θ0)(r(mT;0,r0,θ0),

θ(mT;0,r0,θ0)),

則由推廣的Poincaré-Birkhoff扭轉(zhuǎn)不動(dòng)點(diǎn)定理知,至少存在兩個(gè)點(diǎn)(ri,θi)∈(S2,R2)×R(i=1,2),使得方程(8)的解(r(t;ri,θi)、θ(t;ri,θi))滿足

r(mT;ri,θi)=ri

并且

θ(mT;ri,θi)-θi=-2jπ,i=1,2.

它們對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(6)的兩個(gè)mT-周期解(x(t;xi,yi),y(t;xi,yi))(i=1,2),其中

xi=ricosθi,yi=risinθi,

并且x(t;xi,yi)在[0,mT)內(nèi)恰好有2j個(gè)零點(diǎn).

由R2的選取可知,對(duì)?t∈[0,mT],r(t;0,ri,θi)

θ(mT)-θ(0)<-2jπ,

這與θ(mT)-θi=-2jπ矛盾.因此,(x(t;xi,yi),y(t;xi,yi))(i=1,2)是方程(5)的兩個(gè)mT-周期解,即x(t;xi,yi)是方程(1)的兩個(gè)mT-周期解.

顯然,當(dāng)j和m互素時(shí),mT恰好就是x(t)的最小周期,從而x(t)是方程(1)的次調(diào)和解.

調(diào)和解的存在性由上述結(jié)論與Massera定理[18]即得.

注 1.1由解的彈性性質(zhì)(引理1.2)知,在定理1.1的證明中,當(dāng)R1→0時(shí)所得到的周期解x(t)滿足