引導(dǎo)探究，逐層深入
——一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課的教學(xué)實(shí)錄

張玉娥 甘肅省武威第十九中學(xué) 733000

范軍 甘肅省武威第二十四中學(xué) 733000

教學(xué)背景

七年級(jí)數(shù)學(xué)題中經(jīng)常會(huì)碰到這樣一道題：一件商品成本m元，如果按成本增加12%定價(jià)，商品的售價(jià)應(yīng)該是多少？現(xiàn)在由于活動(dòng)促銷，按原價(jià)的75%出售，現(xiàn)在售價(jià)應(yīng)該是多少？每件商品的盈利是多少？以這樣的題目為基礎(chǔ)，在考試和練習(xí)中還會(huì)出現(xiàn)變式訓(xùn)練題：一種商品，先提價(jià)15%，以后又降價(jià)15%，現(xiàn)在的價(jià)格與原來(lái)商品的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化？由于初中生的生活經(jīng)驗(yàn)不足，故對(duì)于成人理解比較容易的利潤(rùn)率，他們反而較難理解.即使在講解時(shí)教師明確了如何進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生還是覺(jué)得模糊不清，難以明晰.

鑒于上述情況，當(dāng)時(shí)學(xué)生所接觸到的有關(guān)數(shù)的計(jì)算還較少，所以筆者對(duì)這個(gè)問(wèn)題并沒(méi)有深究.在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式計(jì)算后，筆者決定開(kāi)展一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課，來(lái)解決這道當(dāng)時(shí)困擾他們的疑難問(wèn)題，幫助他們提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

指導(dǎo)思想

教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，以學(xué)生為主體，關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，積極交流合作.在教學(xué)中通過(guò)開(kāi)展教學(xué)互動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)活動(dòng)過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)表達(dá)能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心.

設(shè)計(jì)思路

通過(guò)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題到提出問(wèn)題，從分析問(wèn)題到解決問(wèn)題，最后交流體會(huì)，反復(fù)經(jīng)歷思維活動(dòng)過(guò)程.在相互交流中，學(xué)生加強(qiáng)課堂互動(dòng)，吸取學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，不斷提升自己運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)過(guò)程

師：同學(xué)們，我們看一下這道題目，你還知道它的答案嗎？

問(wèn)題1：一種商品，先提價(jià)15%，以后又降價(jià)15%，現(xiàn)在的價(jià)格與原來(lái)商品的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化？

生1：價(jià)格不變.

生2：不對(duì)，價(jià)格下降了.

學(xué)生爭(zhēng)論不休，沒(méi)有肯定的答案.

生3：老師，我可以這樣計(jì)算，設(shè)原來(lái)的價(jià)格為a，則現(xiàn)在的價(jià)格為a（1+15%）（1－15%）=0.9775a＜a，所以商品的價(jià)格應(yīng)該是下降了.

師：很好，那么我把這道題目變一下，大家看看答案又是什么？

問(wèn)題2：一種商品，先降價(jià)15%，以后又提價(jià)15%，現(xiàn)在的價(jià)格與原來(lái)商品的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化？

生1：肯定是提高了.

（不一定吧，也許是不變，學(xué)生竊竊私語(yǔ)，有的學(xué)生開(kāi)始安靜下來(lái)進(jìn)行列式計(jì)算.）

生4：老師，我列出了式子，a（1－15%）（1+15%）=0.9775a＜a，價(jià)格還是下降了.

師：剛才兩個(gè)問(wèn)題讓我們知道所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能想當(dāng)然解決，應(yīng)該通過(guò)計(jì)算，用數(shù)據(jù)說(shuō)話.為什么剛才兩種情況都是降價(jià)呢？請(qǐng)大家討論，注意用數(shù)據(jù)說(shuō)話，可以舉例說(shuō)明.

第一小組：我們組列舉了一個(gè)特殊值，假設(shè)商品原價(jià)是100元，第一種是先提價(jià)，商品價(jià)格變?yōu)?15元，接著在115元的基礎(chǔ)上降價(jià)，降價(jià)比提價(jià)要多，所以最終商品價(jià)格下降了.第二種是先降價(jià)，商品價(jià)格變?yōu)?5元，接著在85元的基礎(chǔ)上提價(jià)，提的價(jià)比降的價(jià)少，所以最終價(jià)格也是降低了.

（聽(tīng)完第一組的匯報(bào)，學(xué)生又開(kāi)始討論，第二組率先舉手.）

第二小組：我們組沒(méi)用取特殊值，假設(shè)商品原價(jià)是a元.先降價(jià)，下降了a的15%，降得多，價(jià)格變?yōu)?.85a；再提價(jià)，價(jià)格提高了一個(gè)較小數(shù)的15%，提得少，因此價(jià)格比原來(lái)降低了.

師：很好！我們可以看到不管是先提后降還是先降后提，只要提和降的百分率相同，價(jià)格都會(huì)比原價(jià)低，但是問(wèn)題1和問(wèn)題2最終的價(jià)格一樣嗎？

生4：價(jià)格一樣，因?yàn)榱械膬蓚€(gè)式子按照乘法交換律是相等的，所以結(jié)果自然相等.

師：是的，如果提價(jià)和降價(jià)的百分率變了，會(huì)影響比較的結(jié)果嗎？

問(wèn)題3：如果提價(jià)和降價(jià)的百分率都為10%，大家覺(jué)得結(jié)果是什么呢？

（學(xué)生不再脫口而出，開(kāi)始低頭計(jì)算.）

生5：結(jié)果還是比原價(jià)低，a（1+10%）（1－10%）=a（1－10%）（1+10%）=0.99a＜a.

師：從這里我們可以看到不管是先提價(jià)還是先降價(jià)，只要提價(jià)和降價(jià)的百分率相同，總價(jià)都會(huì)比原價(jià)低，而且提價(jià)和降價(jià)的百分率越高，與原價(jià)的差距越大.讓我們好奇的是最終的價(jià)格和百分率有什么關(guān)系呢？請(qǐng)大家討論一下.

生6：我們可以利用平方差公式發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，當(dāng)百分率為10%時(shí)，最終價(jià)格是a（1+10%）（1－10%）=a（1+0.1）·（1－0.1）=a（1－0.12）=a（1－0.01）=0.99a；當(dāng)百分率為15%時(shí)，最終價(jià)格為a（1+15%）（1－15%）=a（1+0.15）（1－0.15）=a（1－0.152）=0.9775a

師：非常好，如果我們把百分率用x來(lái)表示，你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？

生6：應(yīng)該可以這樣表示a（1+x）（1－x）=a（1－x2）.

師：好的，現(xiàn)在對(duì)于降價(jià)和提價(jià)百分率一樣的情況，我們已經(jīng)很清楚了，價(jià)格都會(huì)比原價(jià)低.如果想讓變化后的價(jià)格和原價(jià)一樣，百分率就不能一樣，那么提價(jià)和降價(jià)的百分率之間應(yīng)該是什么關(guān)系呢？

問(wèn)題4：一種商品，先提價(jià)25%，再降價(jià)20%，現(xiàn)在的價(jià)格與原來(lái)的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化？

（學(xué)生討論之后，在黑板上進(jìn)行展示.）

生7：我們把原價(jià)看成1，變價(jià)后的價(jià)格可以表示為1×（1+25%）（1－20%）=1×1.25×0.8=1，所以價(jià)格和原來(lái)是一樣的.

師：怎么樣才能使價(jià)格不變，大家發(fā)現(xiàn)其中的秘密了嗎？

生8：我知道了，一開(kāi)始提價(jià)之后，價(jià)格變高了，再降價(jià)的百分率就要少一些，這樣價(jià)格就不會(huì)改變.

生9：我發(fā)現(xiàn)（1+25%）（1－20%）=1.25×0.8=1，所以價(jià)格是不變的.

師：大家的觀察都很仔細(xì)，想保持原價(jià)，在先提后降時(shí)，降價(jià)的百分率要比提價(jià)的百分率小.如果先降后提，想保持原價(jià)，那么百分率又是什么關(guān)系呢？

（馬上就有學(xué)生舉手回答.）

生10：先降后提，因?yàn)橐婚_(kāi)始價(jià)格降低了，所以在提價(jià)時(shí)百分率只有高一點(diǎn)，才能保持原價(jià).

生11：我們從數(shù)據(jù)計(jì)算也可以這樣看，（1+25%）（1－20%）=（1－20%）（1+25%）=1，通過(guò)乘法交換律發(fā)現(xiàn)結(jié)果不變，我們也可以理解為先降價(jià)20%，再提價(jià)25%，這樣結(jié)果不變，回到原價(jià).

師：這樣看來(lái)，只要保持降價(jià)百分率比提價(jià)百分率低，就能保持原價(jià)不變.至于是先降價(jià)還是先提價(jià)，其實(shí)都沒(méi)有關(guān)系.

（學(xué)生一致表示同意.）

師：我們還需要考慮一種情況，只知道一個(gè)百分率，但是又要保持價(jià)格不變，怎樣才能很快算出另一個(gè)百分率呢？有沒(méi)有一個(gè)公式可以直接套用呢？

問(wèn)題5：一個(gè)商品，如果先提價(jià)百分率為x，再降價(jià)百分率為y，要想保持價(jià)格不變，兩個(gè)百分率之間應(yīng)該是什么關(guān)系？

（學(xué)生經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的討論，最后選出幾位代表發(fā)言.）

生10：我們仿照問(wèn)題4可以這樣列出一個(gè)算式：（1+x）（1－y）=1，因此1－y=，通過(guò)化簡(jiǎn)可以得出y=

師：太厲害了，這個(gè)算式可以在我們知道提價(jià)百分率的情況下，輕松算出降價(jià)的百分率.如果我們知道的是降價(jià)百分率，需要去算提價(jià)百分率，這時(shí)該如何操作呢？

生9：老師，這非常簡(jiǎn)單，我們同樣可以利用上面的算式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，x=

生8：這些式子太麻煩了，我們也記不住，我覺(jué)得不如這樣統(tǒng)一，x－y=xy.也就是說(shuō)提價(jià)百分率比降價(jià)百分率要高出兩個(gè)百分率的乘積.

（這些算式還是太復(fù)雜了.）

生12：老師，上面的計(jì)算結(jié)果雖然是對(duì)的，但是過(guò)程太麻煩了，有沒(méi)有更加簡(jiǎn)單的方法呢？

師：我們一起看黑板，還是按照單價(jià)1 進(jìn)行計(jì)算，如果說(shuō)一種商品提價(jià)25%之后，需要降價(jià)多少百分率才能跟原價(jià)一樣呢？首先提價(jià)后的價(jià)格為1×（1+25%）=，要想回到原價(jià)，需要乘以它的倒數(shù)，也就是1－，相當(dāng)于降價(jià)了20%.我們也可以換個(gè)數(shù)據(jù)試一下，假如降價(jià)25%，要提價(jià)多少，才能回到原價(jià)？降價(jià)后的價(jià)格為1×（1－25%）=，恢復(fù)到原價(jià)也就是乘以它的倒數(shù)，也就是1+.通過(guò)這兩個(gè)舉例，你們發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？你能用字母表示這種關(guān)系嗎？

師：很好.我們檢驗(yàn)一下能不能用它解決具體的問(wèn)題呢？

問(wèn)題6：一種商品，提價(jià)了10%，現(xiàn)在活動(dòng)結(jié)束恢復(fù)原價(jià)，應(yīng)該降價(jià)多少百分比？（精確到0.1%）

（學(xué)生思考后紛紛得出答案9.1%.）

師：這節(jié)課就上到這里，大家覺(jué)得自己探究出來(lái)的結(jié)論是不是印象特別深.各位同學(xué)的表現(xiàn)都非常棒，積極參與討論，踴躍思考.希望大家能記住這種探究方法，在以后的學(xué)習(xí)中也能積極主動(dòng)地參與探討.

教學(xué)反思

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的教學(xué)應(yīng)圍繞學(xué)生的具體學(xué)情來(lái)展開(kāi).在本課中，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一組問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，展開(kāi)師生互動(dòng)或生生互動(dòng).在交流互動(dòng)中，學(xué)生展現(xiàn)了從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題到提出問(wèn)題，從分析問(wèn)題到解決問(wèn)題的能力，與新課標(biāo)的要求是不謀而合的，這也是我們想要取得的教學(xué)效果.