基于加工誤差敏感度與模糊層次分析法的行星滾柱絲杠公差匹配優(yōu)化方法

吳翰林 魏沛堂 蔡 磊 胡 瑞 劉懷舉 杜雪松 朱才朝 劉 浪

1.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 2.貴州群建精密機械有限公司，遵義，563000

0 引言

行星滾柱絲杠(planetary roller screw mechanism, PRSM)是一種通過絲杠、滾柱、螺母之間多對螺旋曲面嚙合將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為直線運動的螺旋傳動機構(gòu)，主要由絲杠、螺母、滾柱、內(nèi)齒圈和保持架等零件組成。PRSM有著極高的承載能力、傳動精度、傳動效率、軸向剛度與高速性能[1-2]，主要應(yīng)用于數(shù)控機床、航空航天、武器裝備及精密機械等領(lǐng)域[3-5]。各行業(yè)對PRSM的應(yīng)用均有較高的精度要求，其關(guān)鍵零部件公差設(shè)計是研發(fā)過程中的一大難點和關(guān)注重點。若公差精度設(shè)定過高，加工成本會急劇增大，反之則達(dá)不到相應(yīng)的技術(shù)要求。目前，絲杠、螺母、滾柱等關(guān)鍵零部件原始誤差因素與PRSM軸向間隙、行程精度的關(guān)聯(lián)規(guī)律尚未明確，各誤差項公差優(yōu)化缺乏依據(jù)，因此，研究PRSM行程精度與零部件各尺寸、形位公差之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系及軸向間隙與行程精度之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，合理設(shè)計公差對PRSM精度保障與提升具有重要意義。

傳統(tǒng)的公差優(yōu)化設(shè)計過程中，通常以產(chǎn)品最終質(zhì)量與制造成本之間折衷平衡作為優(yōu)化目標(biāo)。例如，JIANG等[6]考慮產(chǎn)品或結(jié)構(gòu)在實際制造過程中設(shè)計變量的不確定性，通過綜合考慮目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)性、設(shè)計變量的可制造性和約束條件的可靠性，提出一種基于公差設(shè)計的新型區(qū)間優(yōu)化方法。HAN等[7]基于適合線性模型的綜合參數(shù)與公差設(shè)計方法(integrated parameter and tolerance design， IPTD)，提出了一種計算機輔助的計算機實驗綜合參數(shù)與公差設(shè)計方法，其中輸入特性的平均值和公差同時被優(yōu)化，以使總成本最小。上述公差優(yōu)化設(shè)計方法中所建立的公差優(yōu)化模型大多是以加工成本最低為目標(biāo)、以零件或裝配體性能為約束的確定性優(yōu)化模型，在擁有明確的關(guān)鍵公差參數(shù)設(shè)計理論的情況下能最大程度上減少加工成本、提高加工成品率、提高加工效率，然而當(dāng)產(chǎn)品本身關(guān)鍵公差設(shè)計參數(shù)與最終服役性能之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的理論研究不足時，在無法滿足產(chǎn)品性能要求的前提下關(guān)注基于加工成本的公差優(yōu)化方法對工程實際的應(yīng)用價值并不顯著。

相比普通結(jié)構(gòu)件，精密傳動機構(gòu)對零部件加工精度有著極高要求，普通加工生產(chǎn)環(huán)境下生產(chǎn)設(shè)備所能提供的有限加工精度條件限制了設(shè)計精密傳動機構(gòu)時零部件加工精度等級，因此需要引入公差優(yōu)化理論以對零件公差設(shè)計進(jìn)行修正，以滿足一般加工精度下高性能指標(biāo)要求。杜雪松等[8]提出基于模糊層次分析法的RV減速器公差設(shè)計方法，通過構(gòu)造零件設(shè)計參數(shù)對傳動精度影響程度的敏感系數(shù)及加工難易度，提出RV回差分配權(quán)重計算方法，實現(xiàn)參數(shù)公差分配，并基于分配結(jié)果與加工成本函數(shù)進(jìn)行公差優(yōu)化。潘柏松等[9]建立了考慮齒輪磨損的行星減速器傳動精度時變可靠性模型，進(jìn)行傳動可靠性分析與公差優(yōu)化設(shè)計；并建立以加工成本最低為優(yōu)化目標(biāo)、傳動精度可靠度和齒輪磨損量為約束條件的公差優(yōu)化設(shè)計模型，以序列二次規(guī)劃法對影響加工成本的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。上述研究結(jié)合實際傳動結(jié)構(gòu)形式與特點，建立裝配體性能與公差優(yōu)化模型，提出性能與成本優(yōu)化匹配方法，實現(xiàn)公差優(yōu)化理論工程應(yīng)用。

國內(nèi)外學(xué)者對PRSM關(guān)鍵誤差參數(shù)與行程誤差關(guān)系的研究較少。李凱等[10]分析了一種基于PRSM的精密傳動機構(gòu)的傳動精度、傳動效率兩項指標(biāo)，得到了導(dǎo)程誤差、力形變誤差和彈性接觸形變誤差、安裝誤差、同軸度誤差、回程誤差、驅(qū)動電機誤差、支撐軸承和聯(lián)軸器誤差、測量裝置誤差、控制系統(tǒng)誤差、環(huán)境因素誤差對傳動精度的影響程度，推導(dǎo)了傳動效率與接觸角、螺旋升角的相互關(guān)系。MA等[11]對PRSM螺距誤差、牙側(cè)角誤差、絲杠螺紋同軸度誤差、裝配誤差中偏心誤差、偏斜誤差、負(fù)載變形誤差與行程誤差的關(guān)系進(jìn)行了研究，得到了空載及負(fù)載狀態(tài)下PRSM行程誤差與上述誤差因素間的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，并通過空載及負(fù)載精度實驗進(jìn)行了驗證。鄭偉等[12]對包括螺距誤差、牙側(cè)角誤差、螺紋同軸度誤差的型面誤差、偏心誤差、傾斜安裝誤差、支撐單元頂升誤差、熱變形誤差、彈性變形誤差、承載變形誤差的變形誤差與PRSM行程誤差影響因素進(jìn)行分析，基于各項誤差建立行程誤差模型并使用行程誤差試驗臺實驗驗證了模型的有效性。上述研究較為全面地考慮了部分加工、裝配、變形誤差對行程誤差的影響，但較為全面地研究絲杠、滾柱、螺母各關(guān)鍵尺寸公差、形位公差與行程精度之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的報道較少，無法明確關(guān)鍵公差對行程精度的影響規(guī)律，進(jìn)而無法滿足對PRSM公差主動設(shè)計的需求。

綜上所述，已有相關(guān)研究對PRSM加工誤差與行程誤差的分析較為籠統(tǒng)，缺乏滾柱、螺母加工誤差因素對行程誤差影響的研究。本文針對公差主動設(shè)計需求，對PRSM傳動原理及結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，提出行程精度、軸向間隙與各原始誤差因素數(shù)學(xué)關(guān)系模型，計算得到各誤差因素敏感性指數(shù)；基于三角模糊數(shù)的專家評判層次分析法，以5級精度下300 mm行程變動量為指標(biāo)初步分配PRSM行程精度各誤差項公差；基于序列二次規(guī)劃算法，對影響軸向間隙的各誤差項公差進(jìn)行優(yōu)化；并通過某型號PRSM進(jìn)行優(yōu)化實例數(shù)值仿真驗證，以證明行程誤差計算模型與優(yōu)化模型的有效性。

1 PRSM行程誤差及軸向間隙模型

本文選取對PRSM行程精度和軸向間隙影響較大的公差作為匹配優(yōu)化設(shè)計變量。標(biāo)準(zhǔn)型行星滾柱絲杠典型結(jié)構(gòu)如圖1所示，通過螺母、滾柱、絲杠間的螺紋接觸實現(xiàn)力的傳遞，其行程精度直接取決于滾柱-絲杠、滾柱-螺母之間螺紋嚙合點位置。因此，本文選取直接影響螺紋間嚙合點位置關(guān)系的公差，包括絲杠、滾柱和螺母的螺紋中徑、螺紋同軸度與螺距公差作為優(yōu)化設(shè)計變量。其中，螺紋中徑誤差定義為實際測量中徑值與理論中徑值之差，螺紋同軸度誤差定義為螺紋滾道軸心線與兩端光軸回轉(zhuǎn)軸心線偏差距離的兩倍，螺紋螺距誤差定義為實際測量螺距值與理論螺距值之差，如圖2所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)型PRSM結(jié)構(gòu)與嚙合關(guān)系

(a)中徑誤差(左)、螺紋同軸度誤差(右)

螺紋同軸度誤差定義如圖3a所示，黑色外圓面為光軸輪廓外圓面，藍(lán)色外圓面為實際螺紋中徑外圓面。為計算由螺紋同軸度引起的行程誤差，以絲杠理論軸心線為原點建立參考坐標(biāo)系(圖3b)，其中，x軸定義為光軸半徑沿水平方向，y軸定義為光軸半徑沿垂直方向，光軸軸心線為坐標(biāo)原點o。

(a)螺紋同軸度誤差示意圖

如圖3b所示，根據(jù)定義的x、y軸建立坐標(biāo)系oxy，同時以螺紋中徑圓沿水平方向半徑為x軸，沿垂直方向半徑為y軸，螺紋軸心線為坐標(biāo)原點o′建立坐標(biāo)系o′x′y′。定義角y′oy為螺紋中徑圓偏差角θ?；疑珜嵭膱A為光軸截面，藍(lán)色實心圓為實際螺紋中徑截面，黑色虛線圓為理論螺紋中徑截面。在絲杠轉(zhuǎn)角θ下，螺紋嚙合點誤差Δ即為嚙合位置相位角α下，藍(lán)色實心外圓b到灰色實心外圓a處距離ab。有

(1)

其中，R為絲杠轉(zhuǎn)角為θ時原點o距離偏差圓交點的長度，r為黑色虛線圓半徑，e為實際軸心線偏離理論軸心線距離。提取R，將式(1)轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的函數(shù)，考慮到R為正值，可寫為

(2)

由式(2)，在絲杠轉(zhuǎn)角θ下，螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差Δ可表示為

(3)

由于標(biāo)準(zhǔn)型PRSM絲杠與螺母牙型角通常為45°，故螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差Δ等于其引起的行程誤差。由式(3)，當(dāng)絲杠輸入轉(zhuǎn)角，即絲杠自轉(zhuǎn)角度為θS時，可計算得到滾柱與絲杠螺母嚙合處轉(zhuǎn)角及螺紋同軸度引起的行程誤差。

標(biāo)準(zhǔn)型PRSM通常采用多根滾柱與絲杠、螺母配套嚙合的方式，增加絲杠-滾柱-螺母螺紋副嚙合對數(shù)目以增強其承載能力與傳動穩(wěn)定性。但由于滾柱間存在加工誤差的區(qū)別，存在相互競爭和相互干涉的關(guān)系，多滾柱嚙合比單滾柱嚙合復(fù)雜，為了簡化PRSM行程精度的計算，本文將多滾柱嚙合模型簡化為單滾柱嚙合模型。圖4a為含單根滾柱的標(biāo)準(zhǔn)式PRSM運動示意圖，絲杠只存在繞軸線回轉(zhuǎn)的自由度；螺母只存在沿絲杠軸線方向直線運動的自由度；滾柱同時存在繞自身軸線自轉(zhuǎn)與繞絲杠公轉(zhuǎn)的自由度。其中，A點為滾柱起始位置，E點為絲杠自轉(zhuǎn)角度θ后該滾柱的終點位置；dN、dR、dS分別是螺母、滾柱、絲杠的傳動節(jié)圓直徑，稱為名義直徑或者螺紋中徑，dP是滾柱公轉(zhuǎn)軌跡直徑；ωS是絲杠旋轉(zhuǎn)角速度，ωR是滾柱繞自身軸線自轉(zhuǎn)的角速度，ωP是滾柱公轉(zhuǎn)的角速度。

(a)絲杠-滾柱運動示意圖

滾柱和螺母螺紋螺旋升角相同，不存在相對位移的情況，其間接觸為純滾動。無外部限位情況下，螺母具有沿絲杠軸向移動及周向轉(zhuǎn)動兩自由度，但通常情況下會采用限位裝置限制螺母周向自由度，使其直接用于直線推力的傳遞。標(biāo)準(zhǔn)型PRSM滾柱自轉(zhuǎn)角速度與公轉(zhuǎn)角速度之比為一常值[13]，其值決定于絲杠與滾柱螺紋名義中徑比km：

km=dS/dR

(4)

如圖4b所示，定義θRP為滾柱公轉(zhuǎn)角度，θRR為滾柱自轉(zhuǎn)角度，θRS為滾柱相對絲杠的公轉(zhuǎn)角度，定義順時針旋轉(zhuǎn)θ為正，逆時針為負(fù)，則

(5)

θRR=θRP(km+2)

(6)

θRS=θS-θRP

(7)

基于PRSM運動學(xué)原理，定義ΔXR為滾柱螺紋同軸度誤差的一半，即由滾柱螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差。由滾柱螺紋同軸度引起的滾柱絲杠嚙合處行程誤差SRep可表示為

(8)

φRR=-(θRR+π)

式中，φRR為滾柱在其與絲杠嚙合處相對于同軸度偏心方向的夾角；rS、rR、rN分別為絲杠、滾柱、螺母的名義半徑，即螺紋中徑的一半。

同理，由滾柱螺紋同軸度引起的滾柱螺母嚙合處行程誤差NRep可表示為

(9)

φRN=-θRR

式中，φRN為滾柱與螺母嚙合處相對于同軸度偏差方向的角度。

同理，可以推導(dǎo)得到相對轉(zhuǎn)角θRS下絲杠螺紋同軸度引起的絲杠滾柱嚙合處行程誤差Sep：

(10)

式中，ΔXS為絲杠螺紋同軸度誤差的一半，即由絲杠螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差。

滾柱公轉(zhuǎn)角度θRP下螺母同軸度誤差引起的螺母滾柱嚙合處行程誤差Nep可表示為

(11)

式中，ΔXN為螺母螺紋同軸度誤差的一半，即由螺母螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差。

聯(lián)立式(8)～式(11)得到絲杠、滾柱、螺母三者螺紋同軸度誤差導(dǎo)致的行程誤差：

eP=Sep+SRep+NRep+Nep

(12)

標(biāo)準(zhǔn)型PRSM工作時，滾柱與螺母之間不存在相對軸向位移，滾柱-螺母側(cè)螺距誤差造成的行程誤差直接取決于螺母與滾柱各自最大單牙螺距誤差；滾柱與絲杠之間存在軸向位移，滾柱-絲杠側(cè)螺距誤差造成的行程誤差取決于滾柱最大單牙螺距誤差以及該行程下絲杠累積螺距誤差。

由螺距誤差引起的行程誤差為

(13)

式中，EPN為螺母最大單牙螺距誤差；EPR為滾柱最大單牙螺距誤差；EPST為絲杠累積螺距誤差；Kp為單牙螺距誤差與累積螺距誤差之比，在300 mm螺紋全長上5頭螺紋的Kp取值范圍通常為2～3，根據(jù)實際加工經(jīng)驗，取Kp=23/8。

實際檢測過程中，中徑測量誤差為綜合誤差，反映了牙型角誤差、螺距誤差、中徑誤差的累積，單獨的中徑誤差僅僅反映了未嚙合前PRSM內(nèi)部的初始間隙，對嚙合后傳動精度幾乎不會造成影響，因此在行程誤差模型中暫時不予考慮，而是在軸向間隙模型中予以考量。

聯(lián)立式(12)、式(13)，得到總行程誤差目標(biāo)函數(shù)：

EP=Sep+SRep+NRep+Nep+EPt

(14)

由式(12)，絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度誤差引起的行程誤差為單向螺紋牙嚙合狀況下的誤差，即螺紋同軸度誤差引起軸向間隙的變化量2倍于行程誤差變化量。根據(jù)螺紋同軸度誤差定義，軸向間隙值將隨著誤差值的增大而減小。根據(jù)螺紋中徑誤差定義，軸向間隙隨著絲杠與滾柱中徑誤差的增大而減少，隨著螺母中徑誤差的增大而增大。就螺距誤差而言，其值將1∶1反映到引起的軸向間隙變化量，即螺距誤差值為軸向間隙值。軸向間隙數(shù)學(xué)模型如下：

Sa=-2eP-ΔS-2ΔR+ΔN+EPN+2EPR+EPS

(15)

式中，Sa為軸向間隙；ΔS為絲杠中徑誤差的一半；ΔR為滾柱中徑誤差的一半；ΔN為螺母中徑誤差的一半。

為驗證所建的PRSM行程精度及軸向間隙模型的正確性，將本文方法與文獻(xiàn)[11]提出的基于矩陣坐標(biāo)變換方法建立的PRSM傳動誤差模型進(jìn)行對比。采用與表1相同的PRSM參數(shù)，并取相同的絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度、螺距及中徑誤差，采用上述兩種方法對絲杠旋轉(zhuǎn)一定角度下的行程精度進(jìn)行計算，結(jié)果如圖5所示，可以看出兩者計算得到的行程誤差偏差在0.5%以內(nèi)，初步驗證了本文建立的行程精度模型的正確性。

表1 PRSM結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖5 PRSM行程誤差模型對比驗證

采用圖6a所示的行星滾柱絲杠空載傳動精度試驗臺，對表1所示結(jié)構(gòu)參數(shù)的PRSM進(jìn)行空載傳動精度測試，測試有效行程長度為80 mm。PRSM行程精度試驗結(jié)果和模型預(yù)測值對比如圖6b所示，行程精度預(yù)測模型中采用各關(guān)鍵零件實測加工誤差作為輸入。經(jīng)對比，PRSM行程精度模型預(yù)測結(jié)果和行程精度試驗結(jié)果的有效行程變動量Vu分別為12.2 μm、15.28 μm，預(yù)測值與實際值誤差為20.16%，考慮到試驗過程中隨機誤差的影響，誤差在接受范圍內(nèi)，驗證了多滾柱嚙合模型簡化為單滾柱嚙合模型的可行性和所建PRSM行程精度模型的正確性。

(a)空載傳動精度試驗臺

2 PRSM關(guān)鍵公差分配方法

PRSM公差的合理分配主要取決于兩方面[8]：①設(shè)計參數(shù)誤差對行程精度的敏感度。敏感度反映設(shè)計參數(shù)誤差對行程誤差影響程度，敏感度越大，影響程度越大，公差分配時許用誤差越小，加工控制越嚴(yán)格。②設(shè)計參數(shù)加工難易度。不同零件即使相同精度等級其加工難易度亦不相同，需對加工難度更大的設(shè)計參數(shù)分配較大的公差值寬度，以提高加工成品合格率。

基于所建的PRSM行程誤差與軸向間隙模型，開展行程誤差與軸向間隙誤差敏感性分析，提出一種基于參數(shù)靈敏度分析及加工難易度綜合權(quán)系數(shù)的PRSM關(guān)鍵公差分配方法，分配目標(biāo)精度等級下行程誤差至各設(shè)計參數(shù)公差，實現(xiàn)零件公差的初步分配，技術(shù)路線如圖7所示。通過建立行程誤差數(shù)學(xué)模型與軸向間隙數(shù)學(xué)模型，對關(guān)鍵公差進(jìn)行敏感性權(quán)系數(shù)求解，同時基于三角模糊數(shù)的專家評判層次分析法求解各公差加工難易度權(quán)系數(shù)。綜合加工難易度權(quán)系數(shù)與敏感性權(quán)系數(shù)，對各公差許用行程誤差進(jìn)行分配，若校驗公差分配結(jié)果得到的行程誤差值符合要求，則基于序列二次規(guī)劃算法以軸向間隙對公差進(jìn)行優(yōu)化。最后通過優(yōu)化前后行程誤差與軸向間隙結(jié)果比對驗證公差分配優(yōu)化模型的正確性。

圖7 公差分配優(yōu)化流程圖

2.1 行程誤差敏感性分析

為建立關(guān)鍵零件公差與PRSM行程誤差的關(guān)聯(lián)關(guān)系，需對上述模型涉及到的螺距公差、中徑公差、螺紋同軸度公差進(jìn)行敏感性分析，以滿足基于行程精度與軸向間隙對公差進(jìn)行主動設(shè)計的需求。

精密傳動行程精度的影響誤差大致分為三類：周期性系統(tǒng)誤差、隨機誤差、非周期性系統(tǒng)誤差。就PRSM而言，其行程精度的周期性誤差主要由絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度原始誤差引起，而非周期性誤差則由絲杠、滾柱、螺母中徑誤差及螺距誤差引起。隨機誤差是溫度、濕度、環(huán)境因素引起的，本文暫未考慮。

設(shè)PRSM各誤差因素x=(x1,x2,…,xk)為設(shè)計變量，令Δθ(x)=f(x)，則目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度為[14]

基于第2節(jié)各關(guān)鍵誤差因素對行程誤差關(guān)系模型與上述敏感性計算公式，對PRSM中各誤差因素的敏感性指數(shù)進(jìn)行計算，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯姓`差因素與行程誤差均為正相關(guān)，其敏感性指數(shù)從大到小依次為：絲杠螺距(2.8750)、滾柱螺距(1.0000)、螺母螺距(1.0000)、絲杠螺紋同軸度(0.9800)、螺母螺紋同軸度(0.4750)、滾柱螺紋同軸度(0.0585)。滾柱同軸度敏感性指數(shù)小于0.1[14]，故不需考慮滾柱同軸度誤差。

圖8 行程誤差敏感性指數(shù)直方圖

2.2 軸向間隙敏感性分析

PRSM軸向間隙反映了運動過程中各構(gòu)件相對位置關(guān)系，軸向間隙與行程精度呈負(fù)相關(guān)，為同軸度誤差、螺距誤差與中徑誤差共同作用結(jié)果。因此，需對軸向間隙進(jìn)行敏感性分析以滿足正常裝配需求，實現(xiàn)PRSM軸向間隙主動設(shè)計，避免因干涉產(chǎn)生的裝配誤差對裝配體傳動性能的影響。

如前所述，因中徑誤差對行程精度無直接影響，但對軸向間隙有顯著影響，因此，本文基于靈敏度計算公式，對中徑誤差ΔS、ΔR、ΔN進(jìn)行軸向間隙敏感性分析，得到敏感性指數(shù)從大到小依次為：滾柱中徑誤差(-4)、絲杠中徑誤差(-2)、螺母中徑誤差(2)，其中絲杠與滾柱中徑誤差與軸向間隙為負(fù)相關(guān)，由于螺母為內(nèi)螺紋，故其中徑誤差與軸向間隙為正相關(guān)。

2.3 關(guān)鍵零件加工難易度評估

為了評估PRSM關(guān)鍵零件加工難易度，本文采用Delphi法，由專家對在上層準(zhǔn)則影響下同一層次的指標(biāo)進(jìn)行兩兩重要性比較，并利用三角模糊數(shù)構(gòu)造模糊判斷矩陣[15]。所構(gòu)造的模糊判斷矩陣中[l,m,u]取值依據(jù)1-9標(biāo)度法[16]，見表2，在三角模糊數(shù)中，中值m為專家給出的兩指標(biāo)相對重要程度。模糊評判區(qū)間下界l和上界u可根據(jù)專家對判斷的模糊程度加以確定，u-l越大，表示專家的判斷越模糊，u-l越小，表示專家的判斷越清楚。當(dāng)u-l=0時判斷是明確的，這時，

表2 1-9標(biāo)度法及其含義[16]

u=m=l與一般意義下的判斷標(biāo)度值相同。

通過專家評審，得到PRSM設(shè)計參數(shù)加工難易模糊矩陣，見表3。其中，Z1為絲杠螺紋同軸度；Z2為滾柱同軸度；Z3為螺母螺紋同軸度；Z4為螺母螺距；Z5為滾柱螺距；Z6為絲杠螺距。

表3 PRSM設(shè)計參數(shù)加工難易度模糊判斷矩陣

對判斷矩陣構(gòu)造模糊評價因子矩陣E，計算公式如下：

式中，sij為標(biāo)準(zhǔn)差率，反映專家評判的模糊程度，其值越大，模糊程度越大，反之亦然。

調(diào)整判斷矩陣Q可表示為

式中，矩陣M為判斷矩陣中所有三角模糊數(shù)中值mij組成的矩陣。

將調(diào)整判斷矩陣Q按列轉(zhuǎn)換為對角線為1的判斷矩陣，記為判斷矩陣P，則P=(Pij)n×n，且滿足Pij=1/Pji。

用相容矩陣分析法對矩陣P進(jìn)行變換，得相容矩陣R=(rij)n×n，R滿足一致性條件rij=rikrkj(i,k=1,2,…,n)，且rii=1，rij=1/rji。rij按下式進(jìn)行計算

計算評估指標(biāo)的權(quán)重ωi：

對表3進(jìn)行計算分析，得到各誤差參數(shù)加工權(quán)重系數(shù)，見表4。結(jié)果表明，加工權(quán)重系數(shù)最大的為絲杠螺距公差(0.9987)，螺母螺紋同軸度(0.1214)加工權(quán)重系數(shù)次之。相對而言，絲杠螺紋同軸度和螺母、滾柱、絲杠螺距的加工權(quán)重系數(shù)非常小。這主要是由于PRSM絲杠螺紋長度遠(yuǎn)長于螺母、滾柱螺紋，且通常為多頭螺紋，其加工精度只能依靠加工機床本身精度保證，故加工難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他尺寸公差、形位公差。同理，螺母與絲杠同為多頭螺紋，但螺紋長度短于絲杠，而滾柱為單頭螺紋，螺紋長度略短于螺母螺紋長度。與此同時，螺紋同軸度誤差可通過對裝夾裝置的重新設(shè)計以及加工工藝的優(yōu)化得到改善，因此它作為可人為控制的誤差因素，加工權(quán)重低于螺距誤差因素。由表4得到的不同誤差參數(shù)加工權(quán)重系數(shù)排序與基于實際加工經(jīng)驗與理論得到的排序結(jié)果一致，初步驗證了加工權(quán)重的正確性。

表4 誤差參數(shù)加工權(quán)重系數(shù)

2.4 關(guān)鍵公差綜合分配權(quán)重

基于PRSM行程精度和軸向間隙參數(shù)靈敏度分析以及計算得到的加工難易度綜合權(quán)系數(shù)，采用PRSM關(guān)鍵公差綜合分配權(quán)重計算方法，將目標(biāo)精度等級下行程誤差分配至各設(shè)計參數(shù)公差。

考慮到加工難易度極端值的不利影響，本文采用平方平均數(shù)作為敏感性指數(shù)及加工難易度綜合后的權(quán)系數(shù)的計算方法，使其結(jié)果較為穩(wěn)定合理。建立的各參數(shù)權(quán)重表達(dá)式為

(16)

其中，ωβi為第i個誤差參數(shù)的加工難易度權(quán)系數(shù);ωαi為第i個誤差參數(shù)的敏感性權(quán)系數(shù)，可表示為[17]

(17)

式中，Si為誤差參數(shù)的敏感性指數(shù)，參數(shù)敏感性指數(shù)越高，相應(yīng)敏感性權(quán)系數(shù)越小，進(jìn)而許用行程誤差越小。

采用式(16)、式(17)由絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度以及絲杠、滾柱、螺母螺距誤差因素敏感性指數(shù)計算得到的敏感權(quán)系數(shù)見表5。

表5 敏感性計算結(jié)果

將行程誤差按照權(quán)重系數(shù)分配給各關(guān)鍵公差：

epi=ωiep0

(18)

式中，epi為各關(guān)鍵公差分配得到的行程誤差；ep0為總行程許用誤差。

由誤差敏感性權(quán)系數(shù)及零件加工難易度權(quán)系數(shù)，經(jīng)式(18)計算得到的PRSM關(guān)鍵公差分配權(quán)重見表6。

表6 關(guān)鍵公差分配權(quán)重

基于計算得到的分配權(quán)重，根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)JBT12604—2016對行程精度的定義，對PRSM 5級精度下300 mm行程變動量V300進(jìn)行誤差分配，代入式(14)對分配后的行程誤差進(jìn)行求解，得到的各關(guān)鍵公差分配比例與公差帶寬度見表7。

表7 關(guān)鍵公差分配結(jié)果

綜合表5～表7得到PRSM公差設(shè)計結(jié)果，見表8。

表8 PRSM關(guān)鍵公差設(shè)計結(jié)果

3 PRSM關(guān)鍵公差優(yōu)化方法

PRSM運行過程中其軸向間隙隨絲杠自轉(zhuǎn)發(fā)生周期性變化，當(dāng)完整周期中軸向間隙最小值為負(fù)時，發(fā)生螺紋副干涉現(xiàn)象，影響運動穩(wěn)定性、精度保持性和服役壽命。由第2節(jié)，因中徑誤差對行程精度無直接影響，但對軸向間隙有顯著影響，因此設(shè)計時以PRSM運行完整周期內(nèi)避免干涉為優(yōu)化目標(biāo)，即minF(xi,xj)=0，優(yōu)化中徑公差上下限，確保公差帶范圍PRSM正常運轉(zhuǎn)。

基于表8公差分配結(jié)果，對PRSM絲杠、滾柱、螺母中徑公差進(jìn)行優(yōu)化，以滿足行程誤差要求的同時滿足軸向間隙要求。

3.1 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

以式(15)作為行星滾柱絲杠軸向間隙目標(biāo)函數(shù)，以滾柱、絲杠、螺母中徑誤差精度等級作為約束條件：

式中，xi,i=1,3,5、xj,j=2,4,6分別為絲杠、滾柱、螺母中徑的上極限偏差值與下極限偏差值；Δyi,i=1,3,5、Δyj,j=2,4,6分別為絲杠、滾柱、螺母中徑上極限偏差值與下極限偏差值初始取值的幅值，其值取決于實際加工設(shè)備提供的一般水平加工精度條件；a、b分別為不同加工精度等級中徑公差帶寬度下限與上限，可查詢GB/T 1800.1—2009標(biāo)準(zhǔn)得到[18]。

本文選擇IT6級精度作為尺寸公差帶，根據(jù)尺寸精度等級，得到絲杠中徑誤差的約束條件為

滾柱中徑的約束條件為

螺母中徑的約束條件為

3.2 優(yōu)化實例

本節(jié)以標(biāo)準(zhǔn)型PRSM為例，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。根據(jù)第2節(jié)建立的軸向間隙數(shù)學(xué)模型和3.1節(jié)建立的約束條件構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)如下：

minF(xi,xj)=-2EP-ΔS(xi,xj)-

2ΔR(xi,xj)+ΔN(xi,xj)+EPN+2EPR+EPS

基于2.4節(jié)公差分配結(jié)果，考慮PRSM中徑優(yōu)化為非線性優(yōu)化問題，采用收斂性好、計算效率高、邊界搜索能力強的序列二次規(guī)劃算法(sequential quadratic planning，SQP)對絲杠、滾柱、螺母中徑施加3.1節(jié)建立的約束條件，并利用MATLAB中SQP算法對軸向間隙適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行計算，得到規(guī)定加工精度等級下絲杠、滾柱、螺母中徑的最優(yōu)解，見表9。設(shè)計參數(shù)的對比見圖9。

表9 公差分配優(yōu)化結(jié)果

圖9 設(shè)計參數(shù)對比

優(yōu)化后PRSM行程精度隨絲杠轉(zhuǎn)角變化的關(guān)系圖如圖10a所示，軸向間隙隨絲杠轉(zhuǎn)角變化的關(guān)系如圖10b所示。關(guān)鍵公差的公差帶寬度與優(yōu)化前相比平均擴(kuò)大65%，優(yōu)化后各公差參數(shù)上下偏差及公差帶寬度分配更為合理，實現(xiàn)了PRSM關(guān)鍵零件加工精度IT6-7級標(biāo)準(zhǔn)公差精度等級下，行星滾柱絲杠V300滿足5級行程精度指標(biāo)，即300 mm行程變動量控制在23 μm以內(nèi)。同時，經(jīng)優(yōu)化后完整周期內(nèi)軸向間隙最小值由-25 μm變?yōu)?，有效避免了螺紋干涉。本文方法極好地平衡了行程精度與軸向間隙，可有效避免局部公差參數(shù)設(shè)計不合理導(dǎo)致加工難度過大的問題，提高了零件加工可行性、經(jīng)濟(jì)性，可為PRSM的理論設(shè)計與工程加工提供支撐。

(a)優(yōu)化前后行程精度

4 結(jié)語

(1)絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度誤差和螺距誤差與行程誤差均為正相關(guān)，其中敏感性系數(shù)最大為絲杠螺距誤差，其次為滾柱、螺母螺距誤差、螺母螺紋同軸度誤差且三者較為接近。絲杠、滾柱中徑誤差與軸向間隙為負(fù)相關(guān)，螺母中徑誤差與軸向間隙為正相關(guān)，其中敏感性系數(shù)最大為滾柱中徑誤差，其次為絲杠中徑誤差、螺母中徑誤差且兩者相等。

(2)基于三角模糊數(shù)的專家評判層次分析法求解零件加工難易度權(quán)系數(shù)，獲得各公差加工難易度大小關(guān)系。加工權(quán)重系數(shù)最大的為絲杠螺距公差，螺母螺紋同軸度加工權(quán)重系數(shù)次之。

(3)算例表明，經(jīng)優(yōu)化后在保證V300 5級精度的前提下，對各關(guān)鍵公差進(jìn)行了放寬，公差帶寬度平均增加65%，提高了關(guān)鍵零部件的加工可行性、加工合格率和經(jīng)濟(jì)性；同時優(yōu)化后完整周期內(nèi)軸向間隙最小值由-25 μm變?yōu)?，避免了極端情況下因螺紋嚙合干涉導(dǎo)致的無法正常運轉(zhuǎn)。