兩道“新距離”問題引發(fā)的思考*

陳元中 (安徽省合肥市第一中學(xué)高三35班 230601)

指導(dǎo)教師 洪雨沛 (安徽省合肥市第一中學(xué) 230601)

1 對兩道新定義類題目的思考

在高中數(shù)學(xué)中，新定義類題目因設(shè)問情境新穎，能夠凸顯學(xué)生的能力與素養(yǎng)，經(jīng)常受到出題人的青睞．除了我們最熟悉的歐氏距離外，其他“新”的距離常被設(shè)置成具體情境考查學(xué)生．下面兩道題目分別定義了兩種全新的距離．

3 解題反思

4 解法溯源

4.1 等差模型

4.2 等比模型

問題2在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=max{|x1-x2|,|y1-y2|}為兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的“切比雪夫距離”．又設(shè)點(diǎn)P及l(fā)上任意一點(diǎn)Q，稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d(P,l)．

思路 其中①③的討論見后文．

綜上，①②③正確．

2 兩種“新距離”

上述兩個題目定義了兩種不同的距離．經(jīng)過查閱資料得知，我們最常使用的距離稱為歐幾里得距離，而問題1、問題2定義的這兩種距離分別被稱為曼哈頓距離和切比雪夫距離．距離究竟是怎樣的數(shù)學(xué)概念，這三種距離有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別，筆者在R2空間中對三種距離進(jìn)行了深入的探討．

2.1 距離的定義

我們所熟知的距離本質(zhì)上是泛函分析中的一個基本概念．通過查詢相關(guān)材料，我們能夠得到距離的一般定義：

設(shè)X是任一非空集，對X中任意兩點(diǎn)x,y，有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)與之對應(yīng)且滿足： ①非負(fù)性d(x,y)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時d(x,y)=0；②對稱性d(x,y)=d(y,x)；③三角不等式d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)．稱d(x,y)為x,y之間的距離，(X,d)為度量空間．

我們不難發(fā)現(xiàn)歐氏距離顯然滿足上述定義．那么曼哈頓距離和切比雪夫距離是否滿足距離的定義呢？

2.2 曼哈頓距離

在R2空間中，A(x1,y1),B(x2,y2)，則A,B兩點(diǎn)的曼哈頓距離可表示為d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|．

由曼哈頓距離的定義易證非負(fù)性與對稱性，下面證明在曼哈頓距離下三角不等式是成立的：

設(shè)M(x3,y3)，則d(A,B)=|x1-x2|+ |y1-y2|，d(A,M)=|x1-x3|+|y1-y3|，d(M,B)=|x3-x2|+|y3-y2|，則d(A,M)+d(M,B)=|x1-x3|+|y1-y3|+|x3-x2|+

|y3-y2|≥|x1-x3+x3-x2|+|y1-y3+y3-y2|=|x1-x2|+|y1-y2|=d(A,B)．由此可知曼哈頓距離滿足距離的定義．

曼哈頓距離在實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛．一個具有正南正北、正東正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道，從一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)的距離可以用南北方向與東西方向的距離之和表示，而這種形式的距離也就是曼哈頓距離，因此曼哈頓距離又稱為“出租車距離”(圖1)．

圖1 曼哈頓距離在城市 中的應(yīng)用

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，屏幕由像素構(gòu)成，顯示的每一個點(diǎn)都在像素上，用坐標(biāo)的形式描述屏幕上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)也一般是整數(shù)．如果直接使用歐氏距離，則必須要進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算，而浮點(diǎn)運(yùn)算很慢而且有誤差．如果使用曼哈頓距離，則只要進(jìn)行加減法計(jì)算即可，這就大大提高了運(yùn)算速度和運(yùn)算精度．

但曼哈頓距離采用了將兩點(diǎn)之間的橫縱坐標(biāo)絕對值的差之和作為刻畫距離的標(biāo)準(zhǔn)，多個距離間不方便運(yùn)算，在這一方面，歐氏距離更占優(yōu)勢．

讓我們再一次回看問題1，不難發(fā)現(xiàn)問題1所提出的距離就是曼哈頓距離，但是它刻畫的是點(diǎn)到直線的曼哈頓距離．

類比歐幾里得距離，猜測可以將點(diǎn)到直線上點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值稱為點(diǎn)到直線的曼哈頓距離．

為了便于計(jì)算點(diǎn)到直線的曼哈頓距離，我們可以分兩種情況進(jìn)行討論：(1)對于與x軸夾角小于45°的直線，曼哈頓距離即為過點(diǎn)的豎直直線與原直線相交形成的線段的長度；(2)對于與x軸夾角大于45°的直線，曼哈頓距離即為過點(diǎn)的水平直線與原直線相交形成的線段長度．下面對情況(2)作簡要證明．

如圖2，已知平面上有點(diǎn)A與直線l，AB平行于x軸，AB與l的夾角α>45°．M為l上除B外任一點(diǎn)，求證：d(A,M)>d(A,B)．

圖2

證明d(A,M)=AH+HM，d(A,B)=AB=AH+HB．因?yàn)棣?45°，所以HM>HB，所以d(A,M)>d(A,B)．

2.3 切比雪夫距離

在R2空間中，A(x1,y1),B(x2,y2)，則A,B兩點(diǎn)的切比雪夫距離可表示為d(A,B)=max{|x1-x2|,|y1-y2|}．由切比雪夫距離的定義易證非負(fù)性與對稱性，下面證明在切比雪夫距離下三角不等式是成立的．

設(shè)M(x3,y3)，則d(A,B)=max{|x1-x2|,

|y1-y2|}，d(A,M)=max{|x1-x3|,|y1-y3|}，d(M,B)=max{|x3-x2|,|y3-y2|}，則d(A,M)+d(M,B)≥max{|x1-x3|+ |x3-x2|,|y1-y3|+|y3-y2|}≥max{|x1-x2|,|y1-y2|}=d(A,B)．當(dāng)且僅當(dāng)A,B,M共線且M在線段AB上時等號成立．

由上可知，切比雪夫距離滿足距離的定義．

對于問題2中的③，本文給出分類討論的方法．對一般的點(diǎn)到直線的切比雪夫距離進(jìn)行研究，過程較繁瑣，有興趣的讀者可以參閱文[1]．

3 對三種距離的綜合理解

3.1 不同距離下的曲線形態(tài)

平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)．接下來我們通過考慮方程d(O,A)=1所表示的曲線，來研究三種距離的聯(lián)系與區(qū)別．

圖3 不同距離下的曲線形態(tài)

3.2 平面直角坐標(biāo)系中切比雪夫距離與曼哈頓距離的轉(zhuǎn)化

同為正方形，曼哈頓距離與切比雪夫距離之間是否存在一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系呢？

圖4 曼哈頓距離與 切比雪夫距離的變換

既然這三個距離之間有許多的性質(zhì)極其相似，那么是否存在一個通式可以把三種距離統(tǒng)一起來呢？

3.3 閔可夫斯基距離

觀察這個式子，我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)p=1時得到曼哈頓距離；當(dāng)p=2時得到歐幾里得距離；當(dāng)p→+∞時得到切比雪夫距離．以下對p→+∞時得到切比雪夫距離進(jìn)行說明．

我們生活中隨處可見的距離，追根溯源，竟是十分高深的數(shù)學(xué)原理！上文所討論的三種距離竟然可以被統(tǒng)一為一個式子．這反映了在眾多繁雜的數(shù)學(xué)概念背后，其實(shí)隱藏著的都是相同的本質(zhì)，就像一棵大樹，在外有眾多伸向四面八方的枝椏，但最終聯(lián)系它們的都是同一棵主干，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中萬變不離其宗的大道至簡之美．