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    基于實驗 自主探究 發(fā)展素養(yǎng)
    ——“圓周角(1)”教學實錄與反思

    2022-11-24 14:54:27丁銀杰江蘇省蘇州市草橋中學校215031
    中學數(shù)學雜志 2022年1期
    關鍵詞:圓心角圓周角度數(shù)

    丁銀杰 (江蘇省蘇州市草橋中學校 215031)

    1 基本情況

    1.1 教材內容分析

    圓周角(1)是蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時的內容,在本章的前3節(jié)學生學習了圓的有關概念,圓的對稱性和確定圓的條件等知識,本節(jié)課學習圓周角的概念與性質.圓周角是本章的核心概念,是學習圓內接四邊形,探究圓冪定理的重要基礎,同時也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識的紐帶.

    教材首先介紹了弧所對的圓周角概念,其次通過分別畫90°,60°的圓心角對應的圓周角,并得出其分別為45°,30°,獲得同弧所對的圓周角是圓心角一半的猜想,最后用分類與整合的方法證明圓周角性質,并通過例題教學加以鞏固.

    1.2 學生學情分析

    施教對象為蘇州市教育局直屬初中校九年級學生,學業(yè)基礎較好,經過七、八年級系統(tǒng)的數(shù)學實驗教學,學生具有一定的實驗探究、合作交流、分析整合的能力.根據(jù)兒童思維發(fā)展理論,九年級學生的思維以抽象邏輯思維為主要形式,但抽象思維水平仍然較低,對數(shù)學知識的理解還需要如實物學具、技術平臺等直觀形象的支撐.

    1.3 教學目標設置

    教學目標 (1)(知識與技能)認識并理解圓周角概念,了解并證明圓周角定理,能運用圓周角定理解決相關問題;(2)(思想與方法)在探索和證明圓周角定理的過程中,體會特殊與一般、分類與整合、轉化與化歸的數(shù)學思想方法,學會數(shù)學地思考;(3)(策略與途徑)經歷“觀察—猜想—驗證—證明—應用—拓展”的探索過程,發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學建模等素養(yǎng).

    1.4 重點難點確定

    教學重點 基于實物操作和技術探究構建圓周角概念,探索圓周角性質.

    教學難點 從實物模型中抽象出圓周角概念,運用分類與整合,轉化與化歸的思想方法探索并證明圓周角性質.

    1.5 教學策略選擇

    由于圓周角概念的抽象性,圓周角定理探索需要用到分類與整合的思想方法,本節(jié)課的教學采用實驗探究的方式進行,教學中引入實物工具“圓周角探究儀”和技術工具GeoGebra,支持學生的自主探究,營造“做”數(shù)學的環(huán)境,幫助學生在實物操作的基礎上構建概念,在技術探究中探索性質,發(fā)展素養(yǎng).

    2 教學過程

    2.1 創(chuàng)設情境,激發(fā)興趣

    師:如圖1,在一個圓形場地上,圖中陰影部分是舞臺,甲、乙、丙三位攝影師分別在C,D,E三點處對著舞臺攝影.哪位攝影師拍攝的角度最大?哪位攝影師拍攝的角度最???

    圖1

    生:憑直覺,甲攝影師拍攝的角度最大,丙攝影師拍攝的角度最小(但不能明白其中的數(shù)學原理).

    師:你的直覺是對的,學完本節(jié)課的內容,你就會知道其中的數(shù)學原理.

    2.2 實驗操作,構建概念

    師:這節(jié)課我們采用實驗探究的方式來學習,圖2是一個學具,由一個直線軌道和一個圓形軌道組成,A,B為圓形軌道上的兩個定點,動點P可以在直線或圓形軌道上自由滑動.

    圖2

    (1)操作:分別沿學具的直線軌道和圓形軌道移動“動點P”;

    (2)觀察:在“動點P”移動的過程中,∠APB的頂點、兩邊與“圓”有怎樣的位置關系?

    生:當點P沿直線軌道運動時,∠APB的頂點可能在圓內、圓上或圓外,兩邊都與圓相交;當點P沿圓形軌道運動時,∠APB的頂點始終在圓上,兩邊都與圓相交.

    師:當點P沿圓形軌道運動時,同學們發(fā)現(xiàn) 圖3中的∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B,它們有兩個共同特征:它們的頂點都在圓上,它們的兩邊都與圓相交,這一類特殊的角就是本節(jié)課的研究對象——圓周角(板書課題),你能給圓周角下個定義嗎?

    圖3

    生:類比∠AOB,頂點為圓心,稱為圓心角,可以這樣定義圓周角:頂點在圓上,兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

    師:概括得很好(板書定義).

    請你根據(jù)圓周角定義,辨析圖4中的角是否為⊙O的圓周角?為什么?

    圖4

    生:∠1不是⊙O的圓周角,因為它的頂點在圓外;∠2是⊙O的圓周角;∠3不是⊙O的圓周角,因為它的頂點在圓內;∠4不是⊙O的圓周角,因為它的一邊與⊙O不相交.

    2.3 實驗探究,探索性質

    2.3.1操作與猜想

    師:剛才通過實驗操作,我們構建了圓周角概念,那么圓周角有怎樣的性質呢?我們繼續(xù)用實驗的方式探究.

    (1)操作:分別沿學具的直線軌道和圓形軌道移動“動點P”;

    (2)思考:在“動點P”移動的過程中,∠APB的大小如何變化?

    生:當點P沿直線軌道由圓內向圓外運動時,∠APB由大變??;當點P沿圓形軌道運動時,∠APB的大小不變,并且等于∠AOB的一半.

    師:你是如何得到“當點P沿圓形軌道運動時,∠APB的大小不變,并且等于∠AOB的一半”的?

    生:我是根據(jù)量角器測量的數(shù)據(jù)得到的,先量得圓心角∠AOB為100°,再在三個不同的位置量得圓周角∠APB均為50°.

    師:同學們通過實驗的方法得到了一個猜想:圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半,同弧所對的圓周角相等.

    2.3.2驗證與說理

    師:這個猜想是否總是成立?我們再用技術驗證一下.

    圖5

    (2)拖動點C,改變點C的位置,觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況;

    (3)拖動點B,改變點B的位置,觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況;

    (4)拖動點A,改變⊙O的大小,觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況.

    生:經過度量,動態(tài)觀察,∠ACB的度數(shù)始終是∠AOB的一半.

    師:我們借助技術更一般地驗證了猜想,猜想要成為定理還需要證明,先來嘗試證明下面的特殊情形.

    (1)如圖6,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(不與A,B重合),試說明∠ACB=90°;

    圖6 圖7

    生:(利用三角形內角和定理解決上述問題,獲得經驗,具體過程略.)

    師:以上我們證明了兩種特殊情形:當圓心角為180°時,對應的圓周角為90°;當圓心在圓周角的一邊上時,同弧所對的圓周角是圓心角的一半.圓心和圓周角還有哪些不同的位置關系?

    生:(借助平板操作)還可能圓心在圓周角的內部或圓心在圓周角的外部.

    師:如圖8、圖9,這兩種情形更具有一般性,如何證明呢?

    圖8 圖9

    師:也就是說,在圖8中,我們借助于添加直徑,把一般情形轉化成如圖7的兩個特殊情形的“和”,用同樣的方法,圖9這種情形可以轉化成如圖7的兩個特殊情形的“差”,請同學們課后完成證明過程.這樣我們就得到了圓周角的性質(板書):圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半,同弧所對的圓周角相等.

    圖10

    2.4 變式訓練,應用拓展

    師:下面我們來看一組問題.

    變式1 在圖11中,連接AC,交BD于點F,則∠AFD=°.

    圖11 圖12

    變式2 如圖12,⊙O中,點C在⊙O內,點D在⊙O上,點E在⊙O外(C,D,E在AB同側).試比較∠ACB,∠ADB和∠AEB的大小,并說明理由.

    教師巡視,學生先獨立思考,再小組合作,班級交流,順利解決例題和變式1,體會圓周角性質的應用價值,初步感受求“圓外角(∠AEB)”“圓內角(∠AFB)”中的轉化與化歸的思想方法.對于變式2,教師稍加提示后,學生也能繼續(xù)通過添加適當?shù)妮o助線,將問題轉化.

    生:在圖12中,設BE與⊙O交于點F,延長BC交⊙O于點G,連接AG,則根據(jù)圓周角的性質可得∠AFB=∠ADB=∠AGB.又因為∠AEB<∠AFB,∠AGB<∠ACB,所以∠AEB<∠ADB<∠ACB,

    師:也就是說,在本課開頭的問題情境中,甲攝影師拍攝的角度(∠ACB)最大,丙攝影師拍攝的角度(∠AEB)最小.

    2.5 課堂小結,布置作業(yè)(略)

    3 回顧與反思

    3.1 教學設計的立意

    本節(jié)課設計了兩條主線,一條是基于知識的明線(情境—概念—定理—應用—拓展),學生以“做”為支架,用實驗的方法自主探究,經歷知識

    發(fā)生、發(fā)展和應用的全過程,拓展思維廣度和深度.

    另一條是基于核心素養(yǎng)發(fā)展的暗線,素養(yǎng)立意主要體現(xiàn)在:(1)圓周角探究儀中的直線軌道、圓形軌道、橡皮筋等物化工具有利于學生抽象出圓周角概念,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng);(2)從操作到猜想,從特殊到一般,定理探索的全過程充分運用了合情推理與演繹推理,有利于發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);(3)學具的直觀、數(shù)據(jù)的直觀和圖形的直觀,有利于學生獲得猜想,突破思路,發(fā)展直觀想象素養(yǎng);(4)圓周角定理建立了一個“良構”的數(shù)學模型,圓內角、圓外角的探究是模型的自覺應用,發(fā)展了數(shù)學建模素養(yǎng).

    3.2 教學反思

    (1)數(shù)學課堂要突出學生的主體地位

    《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》強調“動手實踐”是學習數(shù)學的重要方式,要求“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程”[1],學生是學習的主體,課堂教學要以學生的“學習”為中心.基于實物學具圓周角探究儀的操作和基于技術工具GeoGebra的探究很好地體現(xiàn)了學生主體觀,學生在操作中思考,在探究中辨析,具身參與認知過程,通過手腦協(xié)同,達到啟思明理,從而構建新知,發(fā)展素養(yǎng).教師的作用在于給學生設計適當?shù)幕顒?,提供適切的工具,進行適度的指導,幫助學生完成自主研究,發(fā)揮應有的主導作用.

    (2)數(shù)學課堂要關注知識的來龍去脈

    數(shù)學是嚴謹、系統(tǒng)的學科,每一個相對獨立的知識都是數(shù)學體系的一個有機組成要素,我們不僅要關注它是什么,也要關注它來自何方,將走向何處.舞臺的拍攝角度、足球射門的角度等是圓周角、圓內角和圓外角的生活起源,圓心角是圓周角、圓內角和圓外角的數(shù)學之根.借助圓周角探究儀的操作,圓心角生長為圓內角、圓周角和圓外角.基于技術的探究為用分類與整合、轉化與化歸的思想方法證明圓周角性質獲得了突破口,例題的變式訓練不僅鞏固了新知,更能讓學生體會知識的應用價值,變式拓展呼應情境,解決實際問題,蘊含模型思想.情境的創(chuàng)設引發(fā)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,問題的解決則是學生用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的最好寫照.

    (3)數(shù)學課堂要落實素養(yǎng)的發(fā)展指向

    “立德樹人”是數(shù)學課程的根本任務,主陣地是課堂,落腳點是發(fā)展學生學科核心素養(yǎng).《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出了要在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中,發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的課程目標[2].因此,教學設計中不僅要重視知識目標的設置與達成,也要關注素養(yǎng)目標的指向與落實.盡管知識不等于素養(yǎng),活動不等于素養(yǎng),但素養(yǎng)的發(fā)展必須基于獲取知識的活動過程.教師要通過指向素養(yǎng)的教學設計,給予學生足夠的活動時間與空間,發(fā)展學生學科核心素養(yǎng).本節(jié)課基于實驗探究,自主學習,發(fā)展了學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和直觀想象等素養(yǎng).

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