基于波利亞解題思想，運用GeoGebra探索立體幾何的本質(zhì)

［摘? 要］ 研究者以波利亞解題思想為指導，以現(xiàn)代教學軟件GeoGebra為探索工具，嘗試將GeoGebra融入高中數(shù)學課堂，有效探索立體幾何的本質(zhì). 文章以一道“異面直線所成角有關的問題”為例，探索了基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學策略.

［關鍵詞］ 波利亞解題思想；GeoGebra；立體幾何

高中立體幾何具有較強的抽象性、邏輯性，對于拓展學生的理性思維、樹立學生嚴謹求實的科學精神、培養(yǎng)學生幾何抽象等素養(yǎng)具有重要的意義. 傳統(tǒng)的高中立體幾何教學模式給予學生觀察動手的機會較少，相當數(shù)量的教師在引導學生解答立體幾何問題時，往往依靠“指手畫腳”的方式進行演示或練習. 顯然，這種教學模式無論在形式上還是在內(nèi)容上都難以滿足新課標對學生提出的要求.

GeoGebra是一款集統(tǒng)計、運算、幾何、代數(shù)為一體的動態(tài)教學軟件［1］，可以從根本上解決立體幾何教學中“想象不到”的恐懼；同時，波利亞解題思想能夠為高中立體幾何解題提供一般性的思路，可以有效提高解題的效率和正確率. 兩者相結合，對教學立體幾何具有深遠的意義. 筆者以波利亞解題思想為指導，以現(xiàn)代教學軟件GeoGebra為探索工具，嘗試將GeoGebra融入高中數(shù)學課堂，有效探索立體幾何的本質(zhì).

基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學的優(yōu)勢

1. 有利于激發(fā)數(shù)學學習動機

部分高中學生的空間想象能力較弱，在面對立體幾何題目時常常出現(xiàn)“看不到、沒得想、畫不出、解不出”的困惑，并且隨著所學知識的繁雜以及時間的推移，對空間立體幾何的學習逐漸失去了信心. 而基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學對于學生而言具有天然的親近感，不僅可以引導學生一步一步地思考，還可以將一些難以理解的內(nèi)容通過現(xiàn)代信息技術轉(zhuǎn)化為直觀的動態(tài)感性材料，從而有利于構建出較為輕松的學習環(huán)境. 例如，在求解“異面直線所成角有關的問題”時，教師可以利用GeoGebra設置粗細顯示的線條、豐富多彩的顏色，有效展示數(shù)學之美，激發(fā)學生學習探究的欲望［2］.

2. 有利于促進核心素養(yǎng)的形成

GeoGebra開源免費，操作簡單，功能多樣，動態(tài)交互性較強，可以將靜態(tài)化為動態(tài)，實現(xiàn)數(shù)據(jù)與圖像的同步變化；同時，GeoGebra網(wǎng)絡資源豐富，擁有強大的數(shù)據(jù)計算能力，可以促使學生全程參與數(shù)學概念的生成過程，有效培養(yǎng)學生的抽象和直觀想象素養(yǎng). 例如，在求解“異面直線所成角有關的問題”時，傳統(tǒng)教學僅僅通過空間圖形的方式展示異面直線所構建的角，而將GeoGebra應用到“異面直線所成角有關的問題”的解決過程中去，可以促使學生很自然地觀察到異面直線所構建的角，切實提升學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

3. 有利于提升課堂教學效率

傳統(tǒng)的立體幾何教學展示實物、繪制圖形都需要花費大量的時間，并且課堂教學效果并不理想，而基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學，可以為學生解決立體幾何問題提供一般思路，引導學生利用已有的解題經(jīng)驗，嘗試將立體幾何問題轉(zhuǎn)換為熟悉的知識點進行解決，并且由于GeoGebra可視化的效果，可以降低學生的探究難度，有效突破學生的學習障礙. 例如，在求解“異面直線所成角有關的問題”時，學生可以應用波利亞解題思想，調(diào)整GeoGebra參數(shù)，開展嘗試性的試誤學習；還可以為學生提供動手試一試的機會，使得學生的學習更具有“現(xiàn)場感”.

基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學策略

波利亞解題思想主要體現(xiàn)在波利亞解題表的設計上，在高中立體幾何GeoGebra可視化教學中主要從以下幾個方面實施.

1. 理解題意

根據(jù)新課標對立體幾何的要求以及高中立體幾何題目的特性，理解立體幾何題目就是將題目中的文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，畫出原始的幾何圖形，在此基礎上明確題目中的條件、已知量和未知量，并將題目定位到相應的知識模塊之中，最大限度地遷移解題過程中可能會應用到的相關定理和方法.

其次，以“你有些什么”為主題引導學生在圖形中增加3個表示長方體長寬高AA1，AB，BC的點X，Y，Z，目的是將未知量S與已知量X，Y，Z能聯(lián)系起來，如圖2所示.

2. 擬訂方案

要解決高中立體幾何問題離不開學生的知識儲備和已有經(jīng)驗，理解題意后，教師可以引導學生在相應的題庫中檢索到類似的題目，然后應用數(shù)學模型去解題. 但在具體實踐中，學生在相應的題庫中有時檢索不到類似的題目，此時教師可以引導學生應用相應的數(shù)學思想去解題. 若上述兩種情況都不能滿足，教師可以利用解題經(jīng)驗和知識儲備將其轉(zhuǎn)化為學生較熟悉的模型去解題.

仍以上述題目為例，當學生理解題意后，教師應及時通過“如何才能求得S”這一問題引導學生將其及時轉(zhuǎn)化為求解共面的兩條直線的余弦值，從而應用余弦定理求解獲得S.

其中，a可以利用長方體的長、寬、高求得，b可以利用長方體的寬、高求得，c可以利用長方體的長、高求得. 然后應用線段將OX，OY，OZ，PY，PZ，QX，QZ連接起來，如圖6所示，從而將X，Y，Z與S建立起聯(lián)系.

3. 執(zhí)行計劃

顧名思義，執(zhí)行計劃就是將上述思維分析過程綜合起來，在擬訂方案的指導下，規(guī)范地應用數(shù)學符號語言將所學知識、思想方法、數(shù)學原理等付諸實踐的過程［3］.

4. 回顧

回顧即檢驗、總結和思考，一方面教師應及時引導學生驗證所求結果的正確性，另一方面也應引導學生思考在具體問題求解過程中遇到了哪些障礙和困難，當面對這些障礙和困難時是如何解決的，是否還會有其他更加便捷的解題方法，更重要的是教師還應引導學生及時總結題目中的關鍵信息和題目的相關特征，以便學生遇到類似問題時能夠及時通過遷移等方式做到觸類旁通、舉一反三.

仍以上述題目為例，首先，教師應及時通過主題“你從本題中學到了什么”要求學生從結論出發(fā)，即為了獲得S，我們需要求解O，P，Q，進而需要用到X，Y，Z，從而在結論和已知條件之間建立起聯(lián)系. 其次，教師還應通過主題“你是否還有其他求解方式”要求學生拓展思維，聯(lián)系已學知識和解題經(jīng)驗，用多種方法解決異面直線所成角問題，如通過向量法求解. 最后，教師還應及時組織學生總結該題目所應用到的數(shù)學思想和滲透的數(shù)學核心素養(yǎng).

結語

綜上所述，基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學不僅能夠激發(fā)學生學習的興趣，還可以為高中立體幾何問題的解答提供一般性的思路［4］，幫助學生探索到立體幾何的本質(zhì)，并在自我提問、自我反思、自我總結的過程中有效培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］? 楊璐.基于波利亞解題思想的GeoGebra工具下高考立體幾何題的案例分析［D］. 寧夏師范學院，2021.

［2］? 肖志軍. 探究中深入，拓展中升華——GeoGebra支持下一道圓錐曲線試題的探究［J］. 中學數(shù)學，2021（12）：96-98.

［3］? 周躍佳. 運用GeoGebra探索解析幾何本質(zhì)，編制直線過定點問題［J］. 中學數(shù)學教學參考，2021（33）：74-76.

［4］? 朱釗. GeoGebra軟件在中學數(shù)學函數(shù)教學中的應用［J］. 數(shù)學教學通訊，2021（30）：50-53+66.

作者簡介：陳志遠（1984—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學工作.