孫宗岐,楊鵬,吳靜,楊陽
1)西京學(xué)院醫(yī)學(xué)院,陜西西安 710123;2)西安財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院,陜西西安 710100;3)西京學(xué)院理學(xué)院,陜西西安 710123
再保險策略作為一種轉(zhuǎn)移保險公司索賠風(fēng)險,提高保險公司對股東或被保險人分紅能力的重要風(fēng)險控制指標,在精算領(lǐng)域具有十分重要的研究價值.一般的再保險策略分為比例再保險和超額損失再保險兩類.ASMUSSEN等[1]證明在帶漂移的擴散模型中,超額損失再保險策略優(yōu)于比例再保險策略;XU等[2]也證明在擴散風(fēng)險模型下,期望值保費原理的超額損失再保策略較比例再保策略更優(yōu).
分紅策略作為鼓勵股東融資、激發(fā)被保險人投保熱情的重要風(fēng)險控制手段,是保險公司實務(wù)管理的重要抓手,也是精算領(lǐng)域的熱門研究問題.基本的分紅策略分為障礙分紅和閾值分紅,其共同點是財富超過分紅界后才進行分紅;區(qū)別在于閾值分紅是有界速率的分紅,而障礙分紅是無界速率的分紅.近年來,以最大化累積分紅折現(xiàn)的期望函數(shù)為準則的研究成果日漸豐富,其中以最優(yōu)障礙分紅策略的研究最多[3-8].
在考慮超額損失再保策略下的保險公司最優(yōu)障礙分紅的研究方面,YAN等[9]在對稱風(fēng)險信息下考慮帶交易成本、殘值及注資的最優(yōu)障礙分紅和超額損失再保問題;CHENG等[10]在再保保費非便宜的假設(shè)下,討論擴散模型下的相同問題.但以上研究均未考慮保險盈余已經(jīng)普遍投資于資本市場的現(xiàn)實,雖然已有考慮帶風(fēng)險資本投資的最優(yōu)再保-障礙分紅問題的相關(guān)報道[11-15],但鑒于超額損失再保在數(shù)理計算中的復(fù)雜性,這些研究僅考慮了較為容易計算的比例再保問題,對于帶投資的最優(yōu)超額損失再保-障礙分紅問題的研究鮮有報道.同時,保險實務(wù)中的任何保險賠付都有上限,一般研究中對賠付額分布的長尾假設(shè)也過于理想,考慮截尾分布才更能刻畫賠付額的實際情況.市場摩擦的存在和破產(chǎn)清算時殘值的分紅也是保險實務(wù)的現(xiàn)實情形.
本研究考慮摩擦市場中帶風(fēng)險投資和終端殘值的保險公司超額損失再保與障礙分紅最優(yōu)化問題,假設(shè)賠付額服從截尾分布,保險公司的盈余過程用擴散近似過程描述,通過使用隨機最優(yōu)控制原理及微積分方法求解最優(yōu)超額損失再保策略、最優(yōu)投資策略與最優(yōu)障礙分紅函數(shù).
本研究假設(shè)的隨機過程和隨機變量都定義在完備概率空間(Ω,F(xiàn)t,P)上,產(chǎn)生的σ-域流{Ft:t>0}完備且右連續(xù).允許連續(xù)交易且資產(chǎn)可任意分割,有摩擦、自融資且無套利.
經(jīng)典的Cramer-Ludberg盈余為
其中,x0為保險公司的初始盈余;c為保費率;Yi為第i次索賠時的索賠額,且E[Yi]>0,是參數(shù)為λ的Poisson過程,表示到時刻t為止索賠發(fā)生的次數(shù).保險公司按超額損失再保策略進行部分索賠風(fēng)險的轉(zhuǎn)移,即保險公司的實際賠付額為(∧表示兩者取其小),其余的索賠部分轉(zhuǎn)移至再保險公司賠付.設(shè)賠付額的分布函數(shù)為F(x),定義為保險公司的最大賠付額度.賠付額的一階矩二階矩按期望值原理的保費率c=(1+θ)λE[Yi],其中,θ是保費的安全負載系數(shù).假設(shè)再保險的保費率為再保保費的安全負載系數(shù)為η(η≥θ),于是盈余過程R(t)=x+ct-(1+此時,R(t)可以近似為擴散過程
保險公司在破產(chǎn)前將部分盈余b(x)投資于價格p(t)滿 足的 風(fēng) 險 資 產(chǎn)(如股票),其中,也是一維標準布朗運動;相互獨立.則財富過程滿足
其中,Lt表示保險公司按照障礙分紅策略在t時刻所得的累計紅利.整理得保險公司的財富過程滿足
稱V(x)為最優(yōu)分紅函數(shù).假設(shè)V(x)是二次連續(xù)可微的函數(shù),且V'(x)>0、V″(x)<0.由隨機最優(yōu)控制原理[16],將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為如下Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程
設(shè)x1=inf[x≥0|V'(x)≤β1]為障礙分紅的邊界,即財富超過x1的部分被全部進行分紅.
為計算方便,假設(shè)θ=1、λ=1.當0≤x<x1時,則HJB方程為
設(shè)最優(yōu)策略為π*,為簡化符號,以下取.由極值的必要條件可得
當a*(x)∈[0,M]時,將上述結(jié)果與V″(x)=一并代入式(3)有
兩端關(guān)于x求導(dǎo),并將代入,有
解之得
引理1設(shè)a*(x)是[0,+∞)上的連續(xù)可微函數(shù),若a*(x)是 方 程(2)的 解,且a*(0)=0,則,且?x>0,都有a*(x)>0.
【證】運用洛必達法則并結(jié)合a*(x)是[0,+∞)上連續(xù)可微的函數(shù),易證Hamilton-Jacobi-Bellman方程
成立.
由此可知,存在ε>0,當x∈(0,ε)時,有a*'(x)>0.設(shè)I(y)=2δy2+2μ(y)y-σ2(y),則I(y)是[0,+∞)上連續(xù)函數(shù),且I(0)=0,I'(y)=4δy+2μ(y),I″(y)=4δ+2-F(y).顯 然 當y>0時,有I'(y)>0,I″(y)>0.所以,I(y)是[0,+∞)上單調(diào)遞增的連續(xù)凸函數(shù).設(shè)u0=inf[x≥0|a*'(x)=0],下證u0=0.
假設(shè)u0≠0,由式(4)可知,a*'(u0)=0蘊含著I(a*(u0))=0,由函數(shù)I(y)的性質(zhì)可知必有a*(u0)=0.又因a*(x)在[0,u0]上可微,所以a*(x)在[0,u0]亦連續(xù),據(jù)微分中值定理可知,存在z∈(0,u0),使得a*'(z)=0,這顯然與u0的定義矛盾,即當x>0時,a*'(x)≠0.故?x>0,有a*'(x)>0.又由于a*(0)=0,所以,當x>0時,a*(x)>0.
令G(y)=+∞),則當y>0時,G'(y)>0,且當x>0時,最優(yōu)超額損失再保策略與最優(yōu)投資策略為
由于當x>0時a*'(x)>0,且a*(0)=0,則存在xM∈[0,+∞),使得a*(xM)=M.
命題1若x≥xM,則a*(x)≥M.
【證】假設(shè)存在使得設(shè),則 結(jié) 合M的 定 義 可 知又 由a*(x)的 連 續(xù) 性,有且有a*(x)<M.因 為 當y>0時,G'(y)>0,所以G(y)是(0,+∞)上單調(diào)遞增函數(shù).進而對有G(a*(x))-G(M)=x-這與x的取法顯然矛盾,故原命題成立.
根據(jù)問題的實際意義,當xM≤x<x1時,取a*(x)=M,并在此條件下求解HJB方程的解.對于在[0,+∞)上二次連續(xù)可微的函數(shù)V(x),將a*(x)=M代入
有
解該微分方程得
以下求解微分方程解中的任意常數(shù)k3和k4.由V'(x1)=β1和V″(x1)=0可 得,
當x≥x1時,V(x)=x-x1+V(x1),故再 由V(xM-0)=V(xM+0)、V'(xM-0)=V'(xM+0)有
解之得
由V(0)=P可知k2=P.HJB方程(2)的解為
以下求解最優(yōu)分紅界.
引理2設(shè)
x1∈[xM,∞),則存在唯一的使
【證】由于d1<0<d2,不難判斷-∞.因為
又因為
所以,f(xM)≥P.
因為
又因為d1<0<d2,且進而所以f'(x1)<0.故存在唯使得
定理1設(shè)如上文,則HJB方程(2)的解
在[0,+∞)上二次連續(xù)可微的凹函數(shù).
【證】因為k1>0、k2>0、k3<0<k4,所以當0≤x<xM時,當時,進而當時,有而時,有V″(x)=0,所以V(x)是在[0,+∞)上二次連續(xù)可微的凹函數(shù).
本研究將賠付額由長尾分布的假設(shè)修正為有賠付上限的截尾分布,并考慮較難進行數(shù)理推導(dǎo)的超額損失再保險策略下的保險公司最優(yōu)障礙分紅問題,以及保險公司破產(chǎn)清算時的終端殘值、風(fēng)險資本投資行為和分紅時市場摩擦等條件.在便宜再保保費的特殊情形下,運用隨機最優(yōu)控制原理將保險公司的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為HJB方程,通過數(shù)理推導(dǎo)和證明,得到最優(yōu)超額損失再保險策略、最優(yōu)投資策略、最優(yōu)障礙分紅界限及最優(yōu)分紅函數(shù).
本研究還存在一定不足,如實際保險實務(wù)中再保保費并不是便宜的;尚未通過具體的截尾分布對本研究結(jié)論進行數(shù)值分析;閾值分紅作為一種更加保守分紅,帶投資的最優(yōu)超額損失-閾值分紅問題仍有待討論.這些問題是下一步研究的重點.