學(xué)科德育視角下的單元復(fù)習(xí)課
——“圖形與相似”單元復(fù)習(xí)課堂實(shí)錄

●李其踴，鄒鍵

數(shù)學(xué)教育，能夠使學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，追求數(shù)學(xué)真理，數(shù)學(xué)的德育功能就實(shí)現(xiàn)了一半[1]。數(shù)學(xué)教育首先要解決的是德育賦能，讓學(xué)生愛好數(shù)學(xué)，再是強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的德育因素，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會追求真理的過程，與“雙減”的提質(zhì)增效完美契合。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的內(nèi)容，尤其是定義和定理繁多的初中幾何板塊，學(xué)生雖似曾相識，但興趣不高，單元幾何復(fù)習(xí)課，應(yīng)以德育為先的數(shù)學(xué)課堂設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，在主動探究數(shù)學(xué)問題的過程中詮釋學(xué)科德育育人功能。

一、探究德育元素

要把學(xué)生引入課堂，課堂設(shè)問要有趣，作業(yè)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)控量、減負(fù)、提質(zhì)、增效，這對幾何復(fù)習(xí)課具有挑戰(zhàn)。初中數(shù)學(xué)幾何的每一章都有較多的定理和題型，如何在有限的復(fù)習(xí)課時(shí)中全面、深入體現(xiàn)單元內(nèi)容復(fù)習(xí)，作業(yè)設(shè)計(jì)在控制數(shù)量、提高質(zhì)量的要求下，如何提升自主學(xué)習(xí)力，教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)施是關(guān)鍵。要讓學(xué)生成為“好之者”，在邏輯推理占主導(dǎo)地位的幾何單元復(fù)習(xí)中，幾何單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)，應(yīng)以自主構(gòu)建、分享知識框架為入口，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣；以課堂系列設(shè)問為主線，在課堂文化中塑造學(xué)生，讓學(xué)生在核心概念再理解中鞏固基礎(chǔ)，從核心概念縱深理解中發(fā)展關(guān)鍵能力；通過探究和訓(xùn)練創(chuàng)新性作業(yè)，在數(shù)學(xué)邏輯美中感染學(xué)生，讓學(xué)生從核心思想方法的反思評價(jià)中積累經(jīng)驗(yàn)。聚焦課堂，以任務(wù)驅(qū)動、自主分享、變式練習(xí)，作為幾何單元復(fù)習(xí)的德育元素，圍繞基本元素開展教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生單元復(fù)習(xí)課堂的興趣，達(dá)成提質(zhì)增效的目的。

其一，自主構(gòu)建分享知識板塊，創(chuàng)設(shè)系列變式練習(xí)。學(xué)生的興趣源于自主與分享，初中數(shù)學(xué)幾何單元聚焦知識、方法和思想的綜合性，從單元的特定知識模塊，以單元核心為源頭，從單元核心概念再理解、縱深理解中鞏固基礎(chǔ)發(fā)展能力，從單元核心思想方法的反思評價(jià)中積累學(xué)習(xí)幾何基本經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生從自主到互評多角度理解核心概念，享受融洽的課堂文化；從多題歸一訓(xùn)練幾何的常規(guī)思維，感受數(shù)學(xué)的邏輯美。利用系列作業(yè)設(shè)計(jì)和試題的變式作業(yè)設(shè)計(jì)起到“減負(fù)”的目的。

其二，設(shè)問和習(xí)題貫穿課前、課中、課后的自主探究活動。核心概念理解，基礎(chǔ)知識從課前學(xué)生自主梳理到課堂互評補(bǔ)充，再到課后總結(jié)完善；核心思想方法，圍繞核心知識，通過分層設(shè)問，在系列變式練習(xí)中反思評價(jià)，歸納幾何分析的常規(guī)思路，獲得幾何分析的基本方法和基本經(jīng)驗(yàn)。一個(gè)知識與方法的框架圖，一道試題變式或改編，串聯(lián)一個(gè)幾何單元復(fù)習(xí)作業(yè)設(shè)計(jì)，增加學(xué)生自主創(chuàng)造、獨(dú)立思考和深度思考，延續(xù)到課前、課中、課后，起到提質(zhì)增效的作用。

以德育為先的數(shù)學(xué)課堂設(shè)問，探究、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，起到減量提質(zhì)的功效。下面以北師大版九年級上冊第四章“圖形與相似”復(fù)習(xí)課為例，通過課前、課中、課后設(shè)問和作業(yè)設(shè)計(jì)，在單元知識梳理和試題的變式練習(xí)中，凸顯分層、彈性和個(gè)性化。

二、實(shí)施策略

（一）知識框架——自主、分享激發(fā)興趣

課前自主構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，課堂學(xué)生小組互評、補(bǔ)充知識框架。根據(jù)知識結(jié)構(gòu)分板塊分享，發(fā)現(xiàn)優(yōu)勢，彌補(bǔ)不足，再自主完善。讓每一位學(xué)生構(gòu)建一張屬于自己的知識框架，開展個(gè)性化學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)興趣。

第一環(huán)節(jié)：回顧思考——分享本章知識建構(gòu)

問題1：展示學(xué)生知識框架，學(xué)生自主分享示意圖，如圖1所示。請其他同學(xué)認(rèn)真思考，補(bǔ)充知識結(jié)構(gòu)。

圖1

講評要點(diǎn)：根據(jù)學(xué)生已經(jīng)完成的知識構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行基本知識應(yīng)用方法的歸納。根據(jù)圖1，預(yù)設(shè)比例線段的常規(guī)應(yīng)用方法為K 值法，并補(bǔ)充等比性質(zhì)的條件a＋d＋e≠0。

講評要點(diǎn)：平行線分線段成比例的知識構(gòu)建要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生已體現(xiàn)三個(gè)關(guān)鍵詞“所截、對應(yīng)、成比例”，需要補(bǔ)充所截在圖形中體現(xiàn)的分類思想，對應(yīng)可以用兩種比例方式表示，如（如圖2所示）

圖2

講評要點(diǎn)：相似三角形的三種判定方法，學(xué)生用了一個(gè)雙垂直的圖形表示三種方法，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充其他基本圖形，例如常見的平行圖形、字母圖形等，如圖3所示。

圖3

講評要點(diǎn)：位似圖形包括位似中心、位似比兩個(gè)要素，學(xué)生突出了位似中心的位置，要補(bǔ)充位似放大或縮小的方向，補(bǔ)充坐標(biāo)系位似中心是原點(diǎn)“O”，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）變?yōu)椋ā纊x，±ky），如圖4所示。

圖4

學(xué)生對知識進(jìn)行自主梳理和完善，加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的系統(tǒng)理解。從不同角度認(rèn)識核心性質(zhì)與判定，對基礎(chǔ)知識進(jìn)行了再理解，為知識到應(yīng)用奠定基石。

（二）設(shè)問與變式——塑造課堂文化

從核心知識的理解到應(yīng)用，是知識消化的重要環(huán)節(jié)。好的設(shè)問與變式可以激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望，學(xué)生有了主動思考的愿望，就能感悟數(shù)學(xué)的課堂文化。本章的核心知識是相似的判定與性質(zhì)，圍繞核心知識開展以變式為載體的分層設(shè)問，讓不同學(xué)生有不同收獲。

第二環(huán)節(jié)：獨(dú)立思考——開放設(shè)問回顧基本方法

問題2：

（1）如圖5，根據(jù)格點(diǎn)三角形，請證明△ABD∽△ADC，你的方法是什么？ 你是如何想到的？

圖5

（2）如圖6，部分圖形在格點(diǎn)中，請找出△ACE，△CFB 中的相等角，請?zhí)砑舆m當(dāng)?shù)臈l件，使得△ACE與△CFB 相似。

圖6

①你添加了什么條件？ 判斷方法是什么？

②你認(rèn)為最多有幾種添加方法？ 為什么？

講評要點(diǎn)：學(xué)生通過獨(dú)立的觀察、計(jì)算等過程，從不同的思維角度思考相似的判定方法。經(jīng)過合情推理，再用演繹推理方法向同學(xué)們分享嚴(yán)格的證明過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力，學(xué)生在反思評價(jià)中再次理解相似判定方法。

問題3：如圖7，已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是線段BC 上一點(diǎn)，連接AD，作CF⊥AD，交AD于點(diǎn)E，請根據(jù)條件作出可能的輔助線。

圖7

①由∠1=∠2，以C 為頂點(diǎn)的三角形，有哪些三角形與△ACD 相似？ 以C 為頂點(diǎn)，你還可以作哪些輔助線，使得以C 為頂點(diǎn)的三角形與△ACD 相似？

②由∠1=∠2，以A 為頂點(diǎn)的三角形，你可以作哪些輔助線，使得以A 為頂點(diǎn)的三角形與△ACD 相似？

③已知一組等角，構(gòu)造相似三角形，請歸納作輔助線的基本方法。

講評要點(diǎn)：觀察圖形，根據(jù)一組等角，學(xué)生通過獨(dú)立思考作出符合條件的輔助線與已知三角形相似。觀察輔助線的特征，歸納作輔助線的基本方法。經(jīng)過合情推理探索解決問題的思路，然后用演繹推理方法向同學(xué)們分享嚴(yán)格的證明過程。發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力，歸納相似判定的基本方法，總結(jié)相似判定常規(guī)策略。

第三環(huán)節(jié)：合作探究——變式積累分析策略

問題4：如圖8，已知，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，AD 為BC 邊上的中線，作CF⊥AD，交AD 于點(diǎn)E，連接DF。求DF 的長。

圖8

小組討論：你有哪些方法？ 你是如何思考的？ 請與同學(xué)們分享。

講評要點(diǎn)：經(jīng)過小組合作探究，激發(fā)學(xué)生由已知條件∠1=∠2，探究本題的解決思路，作出輔助線，通過以上三種方法，利用勾股定理、全等、相似圖形求出線段DF。除以上三種方法，還有學(xué)生以C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB 為x 軸，構(gòu)建坐標(biāo)系求線段DF。根據(jù)已知和未知條件探究求線段的基本方法，積累求線段長度的常規(guī)解題策略。

一圖多變，一題多問。課堂作業(yè)設(shè)計(jì)從定理理解到定理應(yīng)用，在試題變式中不斷滲透，加深對方法的理解和應(yīng)用，加強(qiáng)幾何問題常規(guī)分析策略的體驗(yàn)與領(lǐng)悟，系列變式練習(xí)讓學(xué)生感悟和積累相似判定方法的經(jīng)驗(yàn)。讓課堂設(shè)問的探究氛圍，變式蘊(yùn)含的幾何分析策略，成為一種課堂文化，延伸到后續(xù)學(xué)習(xí)中。

（三）作業(yè)設(shè)計(jì)——感悟數(shù)學(xué)邏輯之美

幾何邏輯推理作為一種思維體操，其過程是一種美的享受。本節(jié)課的作業(yè)設(shè)計(jì)，從課堂到課后，通過一題多解，作為彈性作業(yè)和個(gè)性化書面作業(yè)，讓每一位學(xué)生形成個(gè)性化的思維策略，積累幾何分析的常規(guī)方法。

第四環(huán)節(jié)：應(yīng)用提升——積累推理活動經(jīng)驗(yàn)

拓展訓(xùn)練：如圖9，在△ABC 中，點(diǎn)D 為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，∠BDC＝90°，∠DAC＝∠BCD＝30°，AD＝3，AC＝8，連接AD，DC。求AB 的長度。

圖9

你有哪些方法？你是如何思考的？請與同學(xué)們分享。

講評要點(diǎn)：法1 是根據(jù)∠DAC＝∠BCD 構(gòu)建相似，類似問題4 的解決策略，但是其他方法就很難突破。此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從條件的位置關(guān)系再思考，可以看到圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)不同旋轉(zhuǎn)方向得出法2。本題首先起到鞏固幾何分析方法的作用，再引導(dǎo)學(xué)生從其他角度進(jìn)行思考，為課后作業(yè)做鋪墊。

第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

（1）請仔細(xì)觀察拓展訓(xùn)練法1、法2 旋轉(zhuǎn)作圖的方法，還有其他方法嗎？

（2）請仔細(xì)觀察∠DAC＝∠BCD 所在的位置，你會想到哪些熟悉的圖形？

（3）還有哪些方法？ 你是如何思考的？ 畫圖作出輔助線，在筆記中寫出思路和重要解題步驟。

回歸題干基本條件和位置變換，提出兩個(gè)問題作為課后思考作業(yè)，一是從旋轉(zhuǎn)角度分析，還可以旋轉(zhuǎn)哪些圖形？ 二是觀察∠DAC＝∠BCD 所在位置，它還可以在哪些常見基本圖形中出現(xiàn)？ 作為課后的彈性作業(yè)和個(gè)性化作業(yè)。

數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課，設(shè)計(jì)學(xué)生好學(xué)、樂學(xué)的問題和習(xí)題，先激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，才能對單元核心概念和核心思想方法的再理解進(jìn)行反思與評價(jià)，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。以系列設(shè)問、探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)為德育元素，激發(fā)學(xué)生主動探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，是幾何單元復(fù)習(xí)課的一種方式，但還需不斷完善。無論哪種形式，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣，塑造優(yōu)良課堂文化，感悟數(shù)學(xué)的美，是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)首先需要思考的問題。