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      四類求極值應(yīng)用題的解題思路與方法

      2022-11-23 01:09:30甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué)王維斌
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年21期
      關(guān)鍵詞:利息學(xué)費(fèi)數(shù)形

      甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué) 王維斌

      求極值類數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題,與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、人們?nèi)粘I钣兄芮械穆?lián)系,它要求學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的理論、思想、方法建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力有很大的幫助.求極值類數(shù)學(xué)應(yīng)用題由于涉及到的知識(shí)點(diǎn)多,綜合性較強(qiáng),考查的范圍廣,分值較高,已成為近年來(lái)高考的必考考點(diǎn).因此學(xué)會(huì)和掌握這類應(yīng)用題的解題方法與技巧,就能夠?yàn)榭忌诟呖贾袏Z取高分奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

      1 根據(jù)數(shù)列性質(zhì)解決利息類問(wèn)題

      利息類問(wèn)題雖然也屬于增長(zhǎng)率問(wèn)題,但它具有自身的特點(diǎn),同時(shí)由于高中生平時(shí)對(duì)銀行這類儲(chǔ)蓄問(wèn)題比較陌生,很容易出錯(cuò).所以,解決這類問(wèn)題首先要搞清利率的兩種計(jì)算方法.①單利計(jì)算:假設(shè)A元本金的年利息為Ar元,n年的利息為nAr元,那么n年后的本利之和為A+nAr=A(1+nr)元;②復(fù)利計(jì)算:第1年后的本利之和為A(1+r)元,第2年后的本利之和為A(1+r)2元(前一年的本利之和為后一年的本金),這樣n年后的本利之和為A(1+r)n.然后把它化歸為等比(差)數(shù)列問(wèn)題處理.

      例1一對(duì)農(nóng)村中年夫妻為了給他們的獨(dú)生女兒積攢將來(lái)上大學(xué)的學(xué)費(fèi),從孩子一出生就在她每年生日那天到銀行存上一筆錢.設(shè)某大學(xué)每年的學(xué)費(fèi)為2 500元,上完四年本科共需1萬(wàn)元.考慮到通貨膨脹因素,學(xué)費(fèi)將以每年5%的速度遞增.假設(shè)女兒出生那年銀行存款年利率為7.5%,假定存款利息18年內(nèi)不變.按復(fù)利計(jì)算,試問(wèn),當(dāng)女兒到18歲上大學(xué)時(shí),他們已經(jīng)存足了四年的學(xué)費(fèi),那么每年生日那天應(yīng)存入多少錢?

      解:1萬(wàn)元學(xué)費(fèi),按5%的上漲率,18年后為10 000×(1+5%)18≈10 000×2.406 6=24 066(元).

      解得x≈627.5(元).

      答:他們每年生日那天應(yīng)存入627.5元.

      思路與方法:本題的計(jì)算要從孩子0歲時(shí)存款算起,1~18歲每年的利息與本金之和組成的數(shù)列為x(1+0.75),x(1+0.75)17,……,x(1+0.75)18,根據(jù)等比數(shù)列的規(guī)律,按照復(fù)利息計(jì)算公式計(jì)算.

      2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決產(chǎn)品設(shè)計(jì)類問(wèn)題

      工廠和車間經(jīng)常要加工或生產(chǎn)某種規(guī)格的機(jī)械零件,要在用料最少(最省)的前提下,使零部件的面積或長(zhǎng)、寬符合某種要求.這實(shí)際上就是在限制條件下求最值類問(wèn)題,可以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決.

      圖1

      解:如圖1,設(shè)正十字形的長(zhǎng)DG為y,寬AB為x,其外接圓直徑DH=d,正十字形的面積為S,外接圓周長(zhǎng)為C.

      由正十字形的對(duì)稱性,可知

      S=xy+x(y-x)=2xy-x2

      d2=x2+y2

      C=πd③

      3 通過(guò)解不等式組解決整點(diǎn)問(wèn)題

      對(duì)于點(diǎn)P(x,y),當(dāng)其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)時(shí),我們稱點(diǎn)P為整點(diǎn).在實(shí)際問(wèn)題中,這里的x,y通常都為自然數(shù),即x,y∈N.像諸如藥劑最佳配料類整點(diǎn)問(wèn)題,就可以通過(guò)解不等式組來(lái)解決.

      例3配制A,B兩種藥劑,需要甲、乙兩種原料.已知配A種藥需要甲料3 mg,乙料5 mg;配B種藥需要甲料5 mg,乙料4 mg.現(xiàn)有甲料20 mg,乙料25 mg.若A,B兩種藥至少各配一劑,問(wèn)最多一共能配幾劑?

      解:設(shè)A,B兩種藥分別能配x劑和y劑,x,y∈N*,則有不等式組

      圖2

      所以,在至少各配一劑的條件下,A,B兩種藥最多一共能配5劑.

      思路與方法:本題是把最多配劑(求極大值)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式組的問(wèn)題,由于所圍成的區(qū)域受不等號(hào)方向的影響,所以解題時(shí)要防止區(qū)域出錯(cuò);另外還要注意尋求符號(hào)要求的整點(diǎn),比較后再?zèng)Q定取舍.

      4 用逆反建模法解決動(dòng)態(tài)類求證問(wèn)題

      在現(xiàn)實(shí)生活中,我們有時(shí)會(huì)遇到一些隨著時(shí)間、地點(diǎn)、空間等不斷變化的動(dòng)態(tài)類問(wèn)題[1],從正面思考時(shí)往往感到難以入手,這時(shí)我們不妨從逆反思維的角度嘗試去解決.

      例4有若干個(gè)距離彼此不等的機(jī)場(chǎng),每一機(jī)場(chǎng)都有一架飛機(jī)起飛,飛到離它最近的機(jī)場(chǎng)降落.試證明:任一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)不能超過(guò)5架.

      圖3

      證明:如圖3,假設(shè)有一機(jī)場(chǎng)O降落的飛機(jī)超過(guò)5架,不妨設(shè)為6架,它們分別來(lái)自A,B,C,D,E,F(xiàn)這6個(gè)機(jī)場(chǎng).

      ∵A到O的距離與A到B的距離不等,

      ∴OA

      同理,OB

      ∴在△OAB中,AB為最大邊.

      這與6個(gè)角之和為2π矛盾,故假設(shè)不成立.

      因此,任一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)不能超過(guò)5架.

      思路與方法:本題的證明如果從正面入手顯然有困難,所以我們不妨從反面思考,假設(shè)有某一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)超過(guò)5架,看能否通過(guò)幾何模型來(lái)導(dǎo)出矛盾.本題的證明過(guò)程并不復(fù)雜,關(guān)鍵是要通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等方法[2],將實(shí)際問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.

      求極值類應(yīng)用題涉及代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何等眾多知識(shí)領(lǐng)域,且題型多樣,有一定的難度.當(dāng)然,針對(duì)不同的類型,解題的思路與方法也不同,例如本文中介紹的“運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、解不等式組、逆反建?!钡龋渲凶钪匾氖且獙W(xué)會(huì)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想;要了解和熟練掌握常見類型題的解法,特別是數(shù)學(xué)建模的方法.在此基礎(chǔ)上,仔細(xì)觀察,認(rèn)真思考,合理聯(lián)想,勤加練習(xí),長(zhǎng)此以往,就能夠逐步接近“舉一反三”高效解題的目標(biāo).

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