一類半線性橢圓型方程Dirichlet問(wèn)題解的存在性

周 冉, 韋玉程

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012; 2. 河池學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 廣西 宜州 546300)

0 引 言

非線性問(wèn)題解的存在性可等價(jià)轉(zhuǎn)化為適合映射的不動(dòng)點(diǎn)或適當(dāng)變分、 半變分問(wèn)題臨界點(diǎn)的存在性, 而變分法是研究橢圓型方程解存在性的有效方法之一, 也是微分方程理論的重要組成部分. 變分法的主要思想是將微分方程解的存在性轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)泛函臨界點(diǎn)的存在性, 通常涉及兩方面選擇: 函數(shù)空間的選擇和能量泛函的選擇. 對(duì)于函數(shù)空間, 具有緊性或能緊嵌入到某類具有較好性質(zhì)的可積空間(如L2或Lp空間)為最佳; 對(duì)于能量泛函, 一般要求是適定的, 且具有盡可能高的正則性. 但在實(shí)際應(yīng)用中這些條件通常很難滿足. Moameni[1]在研究非凸自對(duì)偶Lagrange算子導(dǎo)出的向量場(chǎng)及發(fā)展方程時(shí), 提出了一種新的變分原理, 該變分原理可較靈活地處理勢(shì)函數(shù)問(wèn)題; Moameni[2-3]用這種新的變分原理, 研究了不具有弱緊性結(jié)構(gòu)的凸變分問(wèn)題, 得到一些具有超臨界增長(zhǎng)的橢圓對(duì)稱邊值問(wèn)題解的存在性； Cowan等[4]用該變分原理研究了超臨界Neumann問(wèn)題解的存在性； Moameni[5]對(duì)該變分原理進(jìn)行了抽象概括, 并應(yīng)用于一些超臨界增長(zhǎng)的微分方程解的存在性研究中. 該理論允許將臨界點(diǎn)理論應(yīng)用于給定Banach空間的閉真子集, 并在閉子集上找到臨界點(diǎn), 從而得到關(guān)于整個(gè)空間的臨界點(diǎn). 將該新的變分原理與經(jīng)典非線性方法相結(jié)合, 可解決一些經(jīng)典變分原理不能處理的具有變分結(jié)構(gòu)的非線性問(wèn)題.

本文考慮如下具有超臨界增長(zhǎng)非線性項(xiàng)的半線性橢圓方程Dirchlet問(wèn)題:

(1)

其中Ω?n是有界開(kāi)集,f:Ω×→是Carathéodory函數(shù). 對(duì)方程(1)的研究目前已有很多結(jié)果, 人們利用極小化方法、 山路引理、 Morse理論、 環(huán)繞等變分法[6-11], 以及拓?fù)涠壤碚摗?上下解方法、 不動(dòng)點(diǎn)定理等拓?fù)浞椒╗12-14]對(duì)方程(1)解的存在性、 多重性等進(jìn)行了一系列研究, 但這些成果大多數(shù)針對(duì)非線性項(xiàng)f是次臨界的情形.對(duì)于超臨界的情形, 用變分原理進(jìn)行研究的結(jié)果目前文獻(xiàn)報(bào)道較少.本文在假設(shè)f具有超臨界增長(zhǎng)的條件下, 用Moameni[1]提出的變分原理, 證明問(wèn)題(1)解的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)與主要結(jié)果

設(shè)V是實(shí)Banach空間,Ψ:V→(-∞,+∞]是一個(gè)真、 凸且下半連續(xù)函數(shù),K?V是凸弱閉子集,Ψ在K上Gteaux可微,DΨ表示其Gteaux導(dǎo)算子,Φ∈C1(V,).根據(jù)變分原理, 求算子方程

DΨ(u)=DΦ(u)

(2)

的解, 可轉(zhuǎn)化為在集合V上求方程Ψ(u)=Φ(u)的解, 即證明能量泛函I(u)∶=Ψ(u)-Φ(u)存在具有某種特征的臨界點(diǎn).

記Ψ在K上的限制函數(shù)為

定義泛函IK:V→(-∞,+∞]為

IK(u)∶=Ψk(u)-Φ(u).

一般地, 泛函IK是非光滑的.

Moameni[1]提出的新變分原理是通過(guò)尋找泛函IK在V閉凸子集K上的臨界點(diǎn)得到V上I(u)的臨界點(diǎn), 進(jìn)而證明方程(2)解的存在性.

定理1[5]設(shè)V是自反Banach空間,Ψ:V→是真、 凸的下半連續(xù)泛函,K是V的閉凸子集,Ψ在K上處處Gteaux-可微,Φ∈C1(V;).如果下列兩個(gè)條件成立:

1)(臨界點(diǎn)存在條件) 泛函IK:V→(-∞,+∞]：IK(u)=ΨK(u)-Φ(u)存在臨界點(diǎn)u0;

2)(逐點(diǎn)條件) 算子方程DΨ(w)=DΦ(u0)在K中有解.

則u0是方程(2)的解, 即DΨ(u0)=DΦ(u0).

對(duì)定義在自反Banach空間V上的凸Gteaux可微且下半連續(xù)函數(shù)Φ:V→, 記Φ*為Φ的Fenchel對(duì)偶, 即

其中〈·,·〉表示V*與V的作用.令Λ: dom(Λ)?V→V*是線性對(duì)稱算子.對(duì)V的閉凸子集K, 定義ΨK:V→(-∞,+∞]:

定義泛函IK:V→(-∞,+∞]:

IK(w)∶=ΨK(w)-Φ(w).

如果DΦ(u)∈?ΨK(u), 即

ΨK(v)-ΨK(u)≥〈DΦ(u),v-u〉, ?v∈V,

則u∈dom(ΨK)稱為IK的臨界點(diǎn).

下面給出定理1的另一種形式.

定理2[4]設(shè)V是自反Banach空間,Φ:V→是Gteaux-可微、 凸且下半連續(xù)泛函,K是V的閉凸子集, 線性算子Λ: dom(Λ)?V→V*是對(duì)稱正算子.如果下列兩個(gè)條件成立:

1)(臨界點(diǎn)存在條件) 泛函IK(w)=ΨK(w)-Φ(w)存在臨界點(diǎn)u0∈K;

2)(逐點(diǎn)條件) 線性方程Λw=DΦ(u0)在K中有解.

則u0∈K是方程Λw=DΦ(w)的解.

本文主要結(jié)果如下.

定理3設(shè)Ω為n中具有C1,1邊界的有界域, Dirichlet問(wèn)題(1)有上下解滿足是常數(shù).f:Ω×→是Carathéodory函數(shù), 且滿足下列條件:

(i)f(x,u)關(guān)于u是增函數(shù);

(ii) 存在02, 使得

注1這里只對(duì)非線性項(xiàng)f(x,u)的增長(zhǎng)性做p>2的限制, 因此允許f(x,u)關(guān)于u是超臨界增長(zhǎng)的.

2 主要結(jié)果的證明

則(V,‖·‖V)構(gòu)成Banach空間,V*為其拓?fù)鋵?duì)偶空間.定義線性算子A: dom(A)?V→V*,Av∶=-Δv+λv.對(duì)函數(shù)f:Ω×→, 令F:Ω×→,F(x,u)=f(x,s)ds, 定義Φ:V→為

則問(wèn)題(1)可改寫(xiě)為Au=DΦ(u).

下面分別驗(yàn)證滿足定理2的條件.

證明: 對(duì)u∈Lp(Ω),Au∈Lq(Ω)顯然成立.設(shè)u,v∈dom(A), 則

證畢.

引理2泛函Φ(u)是凸的、 Gatéaux-可微且下半連續(xù).

證明: 因?yàn)閒是Carethéodory函數(shù)且滿足定理3中增長(zhǎng)性條件(ii), 所以Φ(u)∈C1[15], 因此Φ(u)是Gatéaux-可微和下半連續(xù)的.

下面證明泛函Φ(u)是凸的.由定理3中條件(i)知,f(x,u)關(guān)于u是增函數(shù), 對(duì)固定的x, 有

因此F(x,u)關(guān)于u是凸函數(shù).于是對(duì)任意u,v∈V,t∈[0,1], 有

證畢.

定義F(x,t)的Fenchel對(duì)偶F*(x,s)為

引理3Φ(u)的Fenchel對(duì)偶

證明: 對(duì)任意的v∈Lq(Ω), 由V在Lp(Ω)中的稠密性, 得

注意到F(x,0)=0,Φ(0)=0<∞, 由文獻(xiàn)[16]中命題2.1得

證畢.

引理4Ψ(u)是V上的凸函數(shù).

證明: 對(duì)任意的u,v∈V和t∈[0,1], 有

下面證明IK臨界點(diǎn)的存在性.

即IK(u)在V中的最小值點(diǎn)是IK(u)的臨界點(diǎn).

證明: 由于ΨK是凸的, 故有

于是

證畢.

即IK(u)有可達(dá)的下確界.

于是

于是

另一方面, 由un∈K知

綜上可得

由于V是自反的, 故存在u∈V使得un?u(或{un}的子列), 由K是閉集知u∈K.對(duì)u∈dom(Ψ),

Au=-Δu+λu∈Lq(Ω),Ψ(u)=Φ*(Au),

易驗(yàn)證{un}在W2,q(Ω)中有界.于是在W2,q(Ω)中有un?u, 即u∈K∩W2,q(Ω).

下面證明ΨK(u)的弱下半連續(xù)性.令v∈Lp(Ω), 由Fenchel對(duì)偶的定義, 有

于是

對(duì)所有的v∈Lp(Ω)取上確界, 得

即ΨK(u)是弱下半連續(xù)的.

下面證明逐點(diǎn)條件成立.

引理7假設(shè)f(x,u)滿足定理3的條件, 則線性Dirichlet問(wèn)題

(3)

考慮問(wèn)題(3)對(duì)應(yīng)的能量泛函

由弱極值原理得

注意到a(x)∈L∞(Ω), 故有

進(jìn)一步, 存在適當(dāng)?shù)某?shù)Ca, 使得