培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)解題能力的相關(guān)策略

陳菁菁

(浙江省溫州市永嘉黃田中學(xué) 浙江 永嘉 325100)

從基礎(chǔ)概念和思維模式等方面的對(duì)比來看，初中數(shù)學(xué)在概念的內(nèi)涵與外延的深度以及思維的廣度上都比小學(xué)數(shù)學(xué)有更高的要求，導(dǎo)致在小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不錯(cuò)的很多同學(xué)出現(xiàn)了解題能力下降的情況。在本文中筆者分析了初中生數(shù)學(xué)解題能力偏弱的原因并提出了相應(yīng)的解決策略，希望這些策略有助于初中生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信的重塑。

1.初中生解題能力偏弱的原因探析

1.1 思維能力弱。小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯性和抽象性都不太強(qiáng)，很多概念和規(guī)律不需要思維的推理與外延的拓展。而初中數(shù)學(xué)不一樣，如果學(xué)生們僅僅認(rèn)為把概念和規(guī)律背過就能解題，肯定要栽大跟頭。因?yàn)槿绻麑W(xué)生們對(duì)概念認(rèn)知淺薄，就會(huì)在解題中忽視概念要素間的邏輯關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系處于混沌狀態(tài)，在解題的時(shí)候只能看到題目中表面上所給出的數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系，而無(wú)法發(fā)揮思維的變性與靈活性，更無(wú)法體現(xiàn)思維的深度，導(dǎo)致思維視域狹窄，解題沒有頭緒。

1.2 審題能力弱，不能準(zhǔn)確理解題意。很多學(xué)生在審題上能力較弱，對(duì)一些概念不了解，比如收入和利率的關(guān)系。對(duì)于一些問題的計(jì)算方法不了解。一些教師在教學(xué)過程中不注重教學(xué)生如何找到問題的方法和技巧，從而使學(xué)生很難成功地研究問題，有些學(xué)生往往一看到問題就開始回答。有的學(xué)生審題時(shí)態(tài)度不認(rèn)真，不能一遍遍地仔細(xì)閱讀所提的問題，導(dǎo)致在理解上斷章取義，有時(shí)容易出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤。

1.3 建模能力弱，難以實(shí)現(xiàn)問題抽象。目前，許多教師不重視教授學(xué)生數(shù)學(xué)建模的技能。教師在教學(xué)時(shí)沒有詳細(xì)解釋公式的定理、術(shù)語(yǔ)和本質(zhì)，也沒有進(jìn)行變換和推導(dǎo)公式。有些學(xué)生習(xí)慣于死記應(yīng)背公式。直到現(xiàn)在，都很難準(zhǔn)確地糾正和充分理解問題的含義，將短語(yǔ)和公式應(yīng)用于數(shù)學(xué)，或者在材料和給定數(shù)據(jù)之間進(jìn)行練習(xí)。由此導(dǎo)致學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)習(xí)題時(shí)感覺無(wú)所適從，不知道用什么知識(shí)和公式來解決問題，也不知道如何建立一個(gè)科學(xué)的數(shù)學(xué)模型來解決問題。

1.4 計(jì)算能力弱，難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確解答?，F(xiàn)在的初中生數(shù)學(xué)計(jì)算能力很差，他們?cè)谟?jì)算復(fù)雜數(shù)據(jù)時(shí)有一種懶惰的心態(tài)，以求助于計(jì)算機(jī)以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，這樣不利于提高數(shù)學(xué)計(jì)算能力。在面對(duì)考試而又不允許攜帶計(jì)算機(jī)的情況下，自己計(jì)算的結(jié)果往往不準(zhǔn)確。即使計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，也可能需要很長(zhǎng)時(shí)間并降低解決數(shù)學(xué)問題的整體效率。

2.培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)解題能力的相關(guān)策略

2.1 用概念和規(guī)律的透徹理解墊高解題的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是基于定義和概念的知識(shí)體系，很多公式與性質(zhì)都是建立在數(shù)學(xué)定義與概念的基礎(chǔ)上，如果初中生無(wú)法透徹地理解這些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念與規(guī)律所涉及的數(shù)學(xué)要素以及數(shù)學(xué)要素間關(guān)系甚至與數(shù)學(xué)要素有關(guān)系的其他數(shù)學(xué)知識(shí)要素間的關(guān)系，學(xué)生們的思維就只能局限于對(duì)這些概念與規(guī)律的表面理解，如果數(shù)學(xué)測(cè)試的內(nèi)容與深度較為淺薄，學(xué)生們的思維所至，答案就能呼之欲出，一旦數(shù)學(xué)思維一環(huán)扣一環(huán)融入題目中，學(xué)生們就無(wú)法進(jìn)一步解答。因此，要想培養(yǎng)和提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力，絕不能忽略基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)而想要一步登天，教師一定要采取有效措施讓學(xué)生們透徹地理解數(shù)學(xué)各知識(shí)模塊所涉及的數(shù)學(xué)概念、定義以及相關(guān)的公式、定理與數(shù)學(xué)規(guī)律并以此來墊高學(xué)生們的解題基礎(chǔ)。

教師要給學(xué)生們一種暗示和學(xué)習(xí)導(dǎo)向，要鼓勵(lì)學(xué)生們認(rèn)真推敲和深入研習(xí)這些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律，要理清概念的確切內(nèi)涵并明晰這些概念、公式、定理的應(yīng)用范圍、與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和包含的相關(guān)數(shù)學(xué)要素的確切內(nèi)涵。例如，在某幾何題目中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形且它們有兩個(gè)邊相等，但是其對(duì)應(yīng)的夾角是否相等并不知道，在證明三角形全等的時(shí)候，如果不能證明這個(gè)夾角相等，但是有其他角相等，在證明這兩個(gè)三角形全等時(shí)就不能用邊角邊這一定理。因?yàn)檫@個(gè)角不符合規(guī)律的特定要求。

2.2 用題例解析拓寬學(xué)生們的思維視域。用題例解析拓展學(xué)生們的思維視域 數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)規(guī)律是學(xué)生解題時(shí)思維生發(fā)的基礎(chǔ)和源頭，數(shù)學(xué)規(guī)律具有科學(xué)性，即便在不同思維視域下也是不變的真理。同一數(shù)學(xué)公式和定理會(huì)洐生出數(shù)種、十?dāng)?shù)種題型，要想初中生也有高屋建瓴、透過現(xiàn)象和數(shù)據(jù)看本質(zhì)的能力，教師就要做好題例解析的工作。

其中教材所給范例或課后習(xí)題一般難度不大，或是通過舊有知識(shí)對(duì)新知識(shí)的推演，讓學(xué)生理解不同模塊間數(shù)學(xué)知識(shí)的具有一定的關(guān)聯(lián)性，如：從小學(xué)已學(xué)過的整數(shù)和分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)上引入負(fù)數(shù)的概念，把數(shù)的已知范疇拓展為有理數(shù)，教師可以通過教材第2頁(yè)的題例讓學(xué)生們清晰地看到減少6.4%和增長(zhǎng)1.3%的實(shí)際內(nèi)涵為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的速度和對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響，而其本質(zhì)則在提示大家增長(zhǎng)屬于正值，而減少則屬于負(fù)值，在日常生活中我們可以借用正負(fù)符號(hào)來表示意義相反的量，然后通過教材第5頁(yè)的題例讓學(xué)生們明晰帶有不同符號(hào)的數(shù)值應(yīng)該歸入哪個(gè)類別，其內(nèi)在含義是什么，為后續(xù)引入有理數(shù)在數(shù)軸上的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系和具體位置做好鋪墊，以便學(xué)生們于后續(xù)有理數(shù)的對(duì)比。有的題例是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的驗(yàn)證與認(rèn)知的強(qiáng)化。如，所求為平方根或算術(shù)平方根在賦值上存在差異性。

而有的公式和定理在融入習(xí)題過程中會(huì)設(shè)置不同的思維視角，教師要先通過教材題例讓學(xué)生們掌握公式與定理的基本內(nèi)涵，然后根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、教學(xué)大綱中的測(cè)試要求收集整理日常各種教輔中出現(xiàn)的經(jīng)典題例尤其是思維視角不同的經(jīng)典題例，讓學(xué)生們透過題例正確理解該視域下數(shù)學(xué)思維的走向與脈絡(luò)，從而實(shí)現(xiàn)思維視域的拓展與思維靈活性的訓(xùn)練。如，對(duì)一元二次方程來講，a、b、c數(shù)值與符號(hào)的不同會(huì)導(dǎo)致方程對(duì)應(yīng)的圖像開口不同、和x軸與y軸的相交情況也會(huì)發(fā)生變化。筆者不僅讓學(xué)生們討論什么情況下圖像開口向上或向下，和x軸與y軸有不同數(shù)量交點(diǎn)的情況，而且每個(gè)都會(huì)有經(jīng)典題例讓學(xué)生們剖析和研究，最終所有的學(xué)生都形成了通過解析方程式的數(shù)據(jù)和圖像就知道從哪里入手去解題的能力。

2.3 用高標(biāo)準(zhǔn)的要求提升解題的準(zhǔn)確度。在實(shí)際的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，筆者也經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這樣的一種不良現(xiàn)象：學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思維也得到了一定程度的開發(fā)，其思維的邏輯性與靈活度都達(dá)到了第一梯度的層級(jí)，但是每次測(cè)試結(jié)果都不如預(yù)期的理想。究其原因就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生存在很多解題細(xì)節(jié)上的缺陷，無(wú)法保證解題的準(zhǔn)確度。因此，筆者認(rèn)為初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)用較高的標(biāo)準(zhǔn)來要求學(xué)生，從細(xì)節(jié)上完善解題過程，不要出現(xiàn)無(wú)謂的失分情況。

首先，教師要對(duì)學(xué)生們的運(yùn)算能力提出較高的要求，嚴(yán)禁運(yùn)用計(jì)算器計(jì)算，規(guī)避看錯(cuò)數(shù)值、符號(hào)、丟掉符號(hào)、書寫錯(cuò)誤等現(xiàn)象。

其次，教師要提醒學(xué)生解題步驟要規(guī)范性，要保證解題步驟符合數(shù)學(xué)的解題要求，保證思維的邏輯性、連貫性以及解析的完整度，要符合數(shù)學(xué)表達(dá)的要求，所用符號(hào)、文字描述以及作圖要標(biāo)準(zhǔn)。

2.4 鍛煉學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考能力。學(xué)生往往因?yàn)閷?duì)學(xué)習(xí)沒有興趣而厭學(xué)，遇到簡(jiǎn)單的問題時(shí)不愿意動(dòng)手計(jì)算，遇到困難的問題時(shí)不積極思考。然而，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程需要發(fā)散自己的思維使學(xué)生積極思考與學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的解決方案。只有這樣，學(xué)生才能顯著提高他們的數(shù)學(xué)技能。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)生數(shù)學(xué)的同時(shí)，應(yīng)培養(yǎng)獨(dú)立思考和自學(xué)能力。這不僅促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，而且有利于學(xué)生的發(fā)展。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)沒有竅門，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)一點(diǎn)一點(diǎn)積累，學(xué)生就可以想出合適的想法來解決數(shù)學(xué)問題并自己學(xué)習(xí)更多。

2.5 引導(dǎo)學(xué)生已知知識(shí)與題目有效關(guān)聯(lián)。初中數(shù)學(xué)比較難，但數(shù)學(xué)知識(shí)在不同材料之間有一定的共性和一定的聯(lián)系。換言之，學(xué)習(xí)者在解決問題時(shí)必須克服已知的界限，系統(tǒng)地將問題與知識(shí)相結(jié)合。因此，初中數(shù)學(xué)教師必須充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的自學(xué)能力，同時(shí)開展教育活動(dòng)，幫助學(xué)生解決問題，幫助學(xué)生吸收本學(xué)科已知的信息知識(shí)——解決思路必須清晰。例如：學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)初中階段是較為常見的，如果題目中給出了定點(diǎn)及定點(diǎn)坐標(biāo)，在獲取二次函數(shù)的解析式時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過解析表達(dá)式的目標(biāo)選擇，在提取二次函數(shù)解析表達(dá)式時(shí)以頂點(diǎn)表達(dá)式為參考。選擇已知的解方程方法，并以有限的方式解決練習(xí)。因此，不難看出，學(xué)生是解決問題階段的主體，教師必須做好自己的工作，引導(dǎo)和豐富學(xué)生的知識(shí)和理解。故障排查效率大大提高。

2.6 從審題習(xí)慣著手，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。學(xué)生要學(xué)會(huì)正確思考解決問題，首先要理解問題的含義。通過為學(xué)生提供數(shù)學(xué)知識(shí)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并理解問題的內(nèi)容，學(xué)生可以思考并學(xué)習(xí)如何解決問題。例子：如果實(shí)數(shù)運(yùn)算的平方根小于3，一個(gè)實(shí)數(shù)可以得到什么整數(shù)值？一個(gè)不認(rèn)真對(duì)待這個(gè)問題的學(xué)生回答0,1,4，但答案是0.1,2,3,4,5,6,7,8因?yàn)轭}中求的是這個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)解。真正的解決方案是沒有明確要求算術(shù)的平方根是否為整數(shù)。所以會(huì)漏掉許多答案，因?yàn)樗阈g(shù)的平方根也必須是整數(shù)。因此，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力對(duì)于提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力非常重要。

2.7 在最大程度上有效鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)解反思。在正常情況，對(duì)問題的錯(cuò)誤回答往往反映了學(xué)生對(duì)特定方面的知識(shí)不足?；卮疱e(cuò)誤問題的過程可以顯示學(xué)生的缺陷，幫助他解決錯(cuò)誤的問題。自診斷的目的是確定錯(cuò)誤的原因，進(jìn)行徹底的調(diào)查，確定問題的類型，找到與錯(cuò)誤相關(guān)的問題的解決方案，并以快速有效的方式解決與錯(cuò)誤相關(guān)的問題。這將大大增加此類型題目的成功率，并提高教師教學(xué)的有效性。

2.8 培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)基本思想和方法的能力。解決數(shù)學(xué)問題的想法是基于數(shù)學(xué)教科書中的基本概念和思想。基本上，數(shù)學(xué)問題的求解過程受教科書知識(shí)的定義、概念和條件的制約。使用這些數(shù)學(xué)思想為將來正確解決問題奠定基礎(chǔ)是一種很好的做法。因此，教師必須確保在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅可以學(xué)會(huì)針對(duì)特定問題解決問題，并在一定程度上應(yīng)該向?qū)W生推導(dǎo)此概念思想的來源，讓學(xué)生掌握相應(yīng)的推導(dǎo)過程，有助于學(xué)生更好地理解此類問題，并能對(duì)同一定理或定論給出不同的推理過程。例：計(jì)算平行四邊形的面積時(shí)，老師可能會(huì)推薦兩種求平行四邊形面積的方法。老師先把平行四邊形分成兩個(gè)小三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形，幫助學(xué)生理解平行四邊形的概念。方程式規(guī)則可以以多種方式考慮平行四邊形乘以高度乘以地面的面積。另外，教師可以將課前準(zhǔn)備好的平行四邊形的剪紙，先剪掉對(duì)面的窗臺(tái)畫一個(gè)長(zhǎng)方形，學(xué)生可以更有效地解決長(zhǎng)方形面積問題。平行四邊形的面積就是求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。這樣，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和形式的理解，同時(shí)也讓學(xué)生在解決問題時(shí)更容易思考。

2.9 培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)基本思想和方法的能力。如今數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差已經(jīng)成為學(xué)生解決問題能力差的主要限制因素。一方面，教師應(yīng)選擇具有代表性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)題，以便學(xué)生提高練習(xí)水平。尤其是一些使用更復(fù)雜數(shù)據(jù)和復(fù)雜操作程序的練習(xí)，可以讓學(xué)生避免使用計(jì)算機(jī)，按照解題的步驟進(jìn)行認(rèn)真的數(shù)學(xué)運(yùn)算，在不斷的練習(xí)中提升運(yùn)算的能力。另一方面，教師應(yīng)著重教授學(xué)生特定的算術(shù)技能和能力，例如：如何做到“化整為零”“四舍五入”，如何通過估算實(shí)現(xiàn)“快速準(zhǔn)確”，如何讓學(xué)生們通過“換元”和“帶入”實(shí)現(xiàn)“捷徑運(yùn)算”。常用的公示的演繹和推導(dǎo)出來，學(xué)生只要稍加練習(xí)，就可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確高效的直接使用。在推導(dǎo)公式時(shí)，可以節(jié)省解題和運(yùn)算的時(shí)間，這樣做可以減少運(yùn)用公式過程中的錯(cuò)誤。

2.10 重視學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,注重培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)歸納能力。初中生的邏輯思維正處于發(fā)展階段，其歸納能力還未達(dá)到一定的水平。所以，初中生在提高解決問題的能力的過程中，如果沒有基本的知識(shí)歸納能力，其的解決問題的能力是無(wú)法真正取得成效的。因此，為了提高初中生解決問題的能力，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的知識(shí)獲取和歸納。教師可以在每節(jié)課正式開始教新內(nèi)容前跟學(xué)生提下之前所學(xué)知識(shí)，這不僅加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的印象，而且提高了學(xué)生的知識(shí)歸納和知識(shí)思維擴(kuò)展能力。

在教學(xué)《圓》的內(nèi)容時(shí)，如果解決圓和其他圖形如長(zhǎng)方形、正方形等結(jié)合的問題，那么這個(gè)問題就很難解決。但教師可以在課上給學(xué)生總結(jié)例如線與圓的關(guān)系以及圓與圓的關(guān)系。這樣，通過積累和總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生提高解決問題的能力。

2.11 促進(jìn)知識(shí)遷移能力的提高。初二是初中時(shí)期的一個(gè)重大轉(zhuǎn)折點(diǎn)。大多數(shù)學(xué)生的知識(shí)遷移能力在這個(gè)階段有了顯著提高。因此，這個(gè)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)差異是顯而易見的。在不斷學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不斷接受新知識(shí)，但其的知識(shí)轉(zhuǎn)移能力也隨之升高，而有些學(xué)生還沒有意識(shí)到知識(shí)遷移的概念，致使學(xué)習(xí)越來越困難。因此，知識(shí)遷移是提高學(xué)生解決問題能力的關(guān)鍵。

例如，教材中一個(gè)問題，一商場(chǎng)積壓了100件商品，當(dāng)前已經(jīng)提出了兩種方法來盡快處理該問題。第一個(gè)方案是將產(chǎn)品價(jià)格提高2.5倍，然后開展3次打三折的活動(dòng)。第二個(gè)方案是以原價(jià)出售。請(qǐng)問兩種方法，哪個(gè)獲益更大？

原價(jià)可以假設(shè)為a。如果你按原價(jià)銷售，你得到的銷售額是100a，但按照第一個(gè)銷售計(jì)劃，最終銷售額為109,375a。事實(shí)證明，第一種方法獲益更大。用這個(gè)例子可以看出，運(yùn)用知識(shí)遷移技能是解決實(shí)際問題的一項(xiàng)重要技能，不僅提高了學(xué)生解決問題的能力，還有利于加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

綜上所述，以上是筆者對(duì)提升初中生數(shù)學(xué)解題能力所采取的相關(guān)策略，雖經(jīng)教學(xué)實(shí)踐的驗(yàn)證有一定效果，但是仍需完善，僅供參考。