“基本型”視角下例談幾何問題解題思路的分析與探索

201306 上海市臨港實驗中學 王 輝

“和點、線段、弧甚至三角形(這些可稱為‘基本元’)不同，在幾何問題的分析中，組成一個幾何問題圖形中最簡單、最重要、最基本的但又是具有特定性質(zhì)的圖形稱為基本圖形”[1].我們平時所說的平行A字型(如圖1所示)、平行8字型(如圖2所示)、交錯A字型(如圖3所示)、交錯8字型(如圖4所示)等都是基本圖形.為使表述更簡潔，不妨將它們稱為“基本型”.筆者以偶然得到的一個命題的解法為例，以“基本型”為視角,對其解題思路展開探究.

圖1圖2

圖3圖4

在筆者的一次聽課中，有位教師在課堂上給出了這樣一道例題.

如圖5，已知DE∥BC，AO，DF相交于點C，∠EAB=∠BCF.

圖5

(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)若∠OBC=∠FDO，OB=OD.求證:四邊形ABCD是菱形.

筆者發(fā)現(xiàn)小問(2)有多余的條件.經(jīng)課后詢問執(zhí)教教師得知，這是為了降低難度而改編的題目.在執(zhí)教教師的幫助下筆者得到了原題(下文將呈現(xiàn))，嘗試將小問(2)中的∠OBC=∠FDO條件去掉，很容易得到結(jié)論.當嘗試去掉條件OB=OD時，筆者對是否可以證明得到結(jié)論產(chǎn)生了疑惑，故嘗試將題目改寫成如下命題.

已知：如圖6-1，在△ABC中，∠ABE=∠ACE，BD=DC，那么AB=AC.

圖6-1

由于題中的兩個條件互相獨立，彼此不易建立直接的關系，這道題便成了一道難題.為此，用同一法進行證明，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“基本型”.如圖6-2，過B作BG⊥AD交于F并倍長至G，聯(lián)結(jié)AG，CG，EG，通過中位線定理(平行A字型)得出AF∥CG，通過對稱全等得到∠ABE=∠AGE=∠ACE.由C，G在AE同側(cè)，依據(jù)四點共圓判定定理可證C，G在同一個圓上.如圖6-3，由于直線CG和圓只有兩個交點G和G′，顯然G′不成立，從而可證點C和G重合，從而證得AB=AC.

圖6-2 圖6-3

采用此法是因為等角的條件不太好直接使用，便通過軸對稱的方法變化角的位置，通過交軌法確定兩點重合，其本質(zhì)是構造重合的圖形.

這是此命題的一種證法，而這種同一法的證明只是教師的思考，是否適合學生的實際還有待探索.為了解學生的真實思考，得到更多的探尋思路，發(fā)揮學生的奇思妙想，筆者將此題作為長作業(yè)發(fā)布在班級微信群中.意想不到的是，學生反饋的證明個個是精品，令筆者喜出望外.在此呈現(xiàn)甲、乙、丙、丁四位學生的證法，他們都是獨立完成證明的，其思路各有不同，亦有聯(lián)系，從中細品別有滋味，回味以啟解題之智.

生甲證法：如圖7-1，延長BE，CE分別交AC，AB于點G，F(xiàn)，倍長ED至E′，聯(lián)結(jié)BE′，CE′(證明思路如圖7-2所示).

圖7-1 圖7-2

分析：由角相等聯(lián)想共角三角形相似，再由相似得出比例線段.由線段的中點聯(lián)想中心對稱，構造平行四邊形，得出平行A字型圖形，得出比例線段，發(fā)現(xiàn)兩個共邊平行A字型圖形，傳遞比例，最終通過等式性質(zhì)得以證明.

由此分析得到以下與之相近的證法.

證法1：如圖8-1，延長BE,CE分別交AC,AB于點G,F，過D作DH∥CE交AB于H，過D作DI∥BE交AC于I(證明思路如圖8-2所示).

圖8-1 圖8-2

證法2：如圖9-1，延長BE,CE分別交AC,AB于點G,F，過A作KJ∥BC交BE,CE的延長線于J,K(證明思路如圖9-2所示).

圖9-1 圖9-2

以上證法集中分析相似三角形、平行A字型、平行8字型等“基本型”，通過角相等和線段中點聯(lián)想“基本型”，進而從“基本型”中得出比例線段，再建立關系解決問題.

分析：由D是BC的中點聯(lián)想到三角形的中線，進而聯(lián)想到三角形的面積被平分，通過等式性質(zhì)發(fā)現(xiàn)△ABE和△ACE面積的恒等，再由角相等聯(lián)想到三角形面積的正弦公式，結(jié)合三角形的邊角不等關系推出矛盾，進而得出結(jié)論正確.(正弦面積公式和三角形邊角不等關系為學生自學掌握的，得出此法實屬不易)

生丙證法：如圖10-1，分別過A，E作AF∥BE，EF∥AB，交點為F，且EF交AC于H，聯(lián)結(jié)CF，BF交AD于G(證明思路如圖10-2所示).

圖10-1 圖10-2

分析：此處并沒有從條件直接切入“基本型”，而是通過運動改變角的位置，進而構成了熟悉的交錯8字型和平行8字型圖形，最終得以解決問題.

生丁證法：如圖11-1，過E作FG∥BC交AB于F，交AC于G，過E作EH∥AC交BC于H，聯(lián)結(jié)FH交BE于Q(證明思路如圖11-2所示).

圖11-1 圖11-2

分析：此證法本質(zhì)與生丙的證法相仿，意在將角通過運動或基本圖形(平行四邊形、等腰梯形等)的性質(zhì)建立關系，組成新的平行8字型和交錯8字型共存的“基本型”，最終解法與上例類似.

以上的證法看似各有不同，深挖條件以構造、固定條件求沖突、運動條件組新圖，其實質(zhì)都是利用條件聯(lián)想“基本型”，再由“基本型”的性質(zhì)聯(lián)想相關結(jié)論，綜合幾個“基本型”得到結(jié)論，找到證題思路.條件是撬動“基本型”的支點，“基本型”是產(chǎn)生條件的載體，觀察“基本型”之間的關系，聯(lián)想條件的聯(lián)系，簡化冗長思維，聚焦基本圖形，融通相互關聯(lián)，“基本型”的視角是提升分析、解決幾何問題能力的有效途徑.

再回到上文提到的執(zhí)教教師修改前的原題.

如圖12-1，已知DE∥BC，AO，DF交于點C，∠EAB=∠BCF.

圖12-1

(1)求證：AB∥DF.

(2)求證：OB2=OE·OF.

(3)聯(lián)結(jié)OD，若∠OBC=∠ODC，求證：四邊形ABCD為菱形.

分析：小問(1)由條件直接聯(lián)想到平行四邊形(證明思路如圖12-2所示).

圖12-2

小問(2)由平行四邊形的兩組對邊的位置關系，結(jié)合本題圖形聯(lián)想到平行A字型，且由結(jié)論化為比例線段，設法找到合適的平行A字型，讓兩個平行A字型建立共邊位置關系就能解決問題.這一問題提示以“基本型”為抓手，通過條件的正向聯(lián)想和結(jié)論的逆向聯(lián)想建立“型”與“型”之間的聯(lián)系，更好地聚焦和簡化思考過程(證明思路如圖12-3所示).

圖12-3

小問(3)由小問(2)的結(jié)論容易聯(lián)想到OD2=OE·OF，通過角的關系挖掘很容易聯(lián)想到共角共邊型(如圖12-4所示)，綜合易證得到OB=OD，接下來的證明就是一馬平川了(證明思路如圖12-5所示).

圖12-4

圖12-5

由前面的分析，筆者將一些幾何問題的解決過程簡化為以下的思考路徑圖示(如圖13所示).

圖13

人們思考問題時總是從條件或結(jié)論出發(fā).從條件出發(fā)可以聯(lián)想建立什么樣的“基本型”，從結(jié)論出發(fā)對需要證的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化或拆分，可以預設需要什么樣的“基本型”，在“型”與“型”之間，通過圖形或產(chǎn)生的結(jié)論的聯(lián)系解決問題.

基本圖形分析法就是在幾何學科中，根據(jù)問題的條件和結(jié)論，分析并找到組成這個幾何問題的一個或若干個基本圖形，再應用這些基本圖形的性質(zhì)，使問題得到解決的幾何方法.[2]

本次嘗試雖是一次偶然的活動，但筆者對學生蘊藏的無限潛能感到驚喜，從中獲得以下啟發(fā).

1.“基本型”的幾何分析簡化了學生繁復冗長的解題思路，將原本的條件升華為基本圖形及基本圖形之間的關系.

2.對于單個條件無從下手時，可以尋找隱性條件或改變其幾何位置將其轉(zhuǎn)化為“基本型”，為突破難點開辟道路.

3.在綜合的問題中通過“基本型”的性質(zhì)引出有用的信息建立關系，往往這些信息存在于“基本型”的組合中，需要關注基本圖形中的共角、共線等.

4.類似于判定定理和性質(zhì)定理，在平時教學中應注重條件到“基本型”、“基本型”到結(jié)論的知識積累，這是學生遇到問題能夠及時反應的有效手段.

5.“基本型”學習是一個累進的過程，如最初學習的只是基本的平行A字型、平行8字型等，之后可學習基本圖形的組合型(如生丙和生丁最終都利用的平行8字型、交錯8字型共存的“基本型”).

及時的反思小結(jié)如同在收獲的路上為裝滿果實的袋子扎上袋口，對保持學習的成果起到事半功倍的作用.在筆者給出的命題的基礎上，生乙有了新的想法，他提出了以下命題.

已知：如圖14，在△ABC中，∠ABE =∠ACE，AD⊥BC，那么AB = AC.

圖14

其實這個命題是假命題，但能夠給予學生“學無止境，越思考越聰明”的啟示.