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    “任意角”概念不同引入方式的比較研究

    2022-11-18 15:00:18孫信玲
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期
    關(guān)鍵詞:摩天輪刻畫意圖

    孫信玲

    (江蘇省南京市建鄴高級中學(xué) 210019)

    教師普遍認(rèn)為“任意角”這一節(jié)的內(nèi)容難度不大,在教學(xué)中很容易處理.在初中,學(xué)生學(xué)習(xí)過“角”的概念,是0°~360°范圍的角.教師通過生活情境的引入,讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超過0°~360°范圍的角,比如跳水中的“翻騰三周半”、體操中的“前空翻轉(zhuǎn)體720°”、車輪旋轉(zhuǎn)兩圈等.然后教師逐一介紹關(guān)于角的概念的相關(guān)規(guī)定,包括角的定義、角的始邊與終邊、角的正負(fù)、終邊相同的角等,于是完成了角的擴(kuò)充.

    然而,“任意角”這一節(jié)作為《三角函數(shù)》這個章節(jié)的章首課,擔(dān)負(fù)重要的功能,在大單元視域下,將這節(jié)課與全章內(nèi)容聯(lián)系,可以發(fā)揮其更大的作用.同時,“任意角”作為一節(jié)概念課,是“角的概念”的擴(kuò)充,知識點(diǎn)比較多且散,應(yīng)具有其合適的教學(xué)規(guī)律與方法.

    1 三種不同的“任意角”概念的引入方式

    在本學(xué)期的南京市公開課中,開設(shè)的三節(jié)課設(shè)計(jì)了不同的概念引入方式,筆者參與了研究過程,也進(jìn)行了學(xué)習(xí)思考,現(xiàn)將三種不同的概念引入方式記錄與分析如下.

    1.1 教學(xué)設(shè)計(jì)A

    問題1在初中階段我們學(xué)習(xí)過角,它是如何定義的?你認(rèn)識哪些角?

    設(shè)計(jì)意圖在初中階段,角的定義是:具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn),這兩條射線叫做角的兩條邊.這是角的靜態(tài)定義.初中教材中也介紹了角的動態(tài)定義:角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的角是銳角、直角、鈍角、平角、周角,角的范圍是0°~360°.這既是復(fù)習(xí)舊知,也是為角的擴(kuò)充作準(zhǔn)備.需要說明的是,高中教師往往認(rèn)為初中只講了角的靜態(tài)定義,高中的重點(diǎn)是將角的概念推廣到“旋轉(zhuǎn)成角”以及擴(kuò)大范圍.其實(shí)在初中已經(jīng)介紹了角的動態(tài)定義,高中推廣的是角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向.

    問題2(1)游樂園中的摩天輪旋轉(zhuǎn)了兩周半,如何用角度來量化“兩周半”?

    (2)假如你的時鐘快了30 min,現(xiàn)在要校正,需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)?如果慢了30 min,又該如何校正?

    設(shè)計(jì)意圖感受旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與之前所學(xué)的不同.摩天輪旋轉(zhuǎn)兩周半,是旋轉(zhuǎn)了900°,這個度數(shù)超出了以前角的范圍,角不夠用了,說明了擴(kuò)充角的必要性.時鐘快了30 min,需要將分針逆時針旋轉(zhuǎn)180°,慢了30 min,需要順時針旋轉(zhuǎn)180°,通過旋轉(zhuǎn)分針體現(xiàn)了角的動態(tài)定義中的“旋轉(zhuǎn)”,也區(qū)別了角的方向.

    問題3實(shí)際生活中這些角與初中所學(xué)的角有所不同,這些角的不同體現(xiàn)在哪幾個方面?你能舉一些實(shí)際生活中的角的例子嗎?

    設(shè)計(jì)意圖與之前所學(xué)的角相比較,一方面,遇到了超過360°的角;另一方面,同樣是180°的角,旋轉(zhuǎn)方向不同作用不同.通過歸納,得出角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與之前所學(xué)不同,這就產(chǎn)生了擴(kuò)充角的必要性.通過舉例,進(jìn)一步感受實(shí)際生活中存在超過360°的角,以及不同的旋轉(zhuǎn)方向帶來不同含義的角.

    1.2 教學(xué)設(shè)計(jì)B

    問題1日出日落,寒來暑往……自然界有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象,稱為周期現(xiàn)象.你們還能舉出一些周期現(xiàn)象的例子嗎?

    設(shè)計(jì)意圖“任意角”是《三角函數(shù)》這一章的章首課,三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的函數(shù)模型.讓學(xué)生通過舉例感受自然界存在許多周期現(xiàn)象,如一周七天的變化,一年四季的更替,摩天輪轉(zhuǎn)動時與水平方向的夾角、距離地面的高度等.而已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)模型都不能用來刻畫這種現(xiàn)象,于是有研究新的函數(shù)模型的必要.

    問題2刻畫周期現(xiàn)象最常見的模型是圓周運(yùn)動.若點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心、r為半徑的圓周上運(yùn)動,哪些量是周而復(fù)始的?

    設(shè)計(jì)意圖研究周期運(yùn)動,就先研究它的典型代表——圓周運(yùn)動.帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程,將圓周運(yùn)動抽象為圓O上一點(diǎn)P的運(yùn)動.在這一過程中,周而復(fù)始運(yùn)動、具有周期性的量有OP與水平方向的夾角、點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)等.

    問題3你能刻畫圓周上一點(diǎn)P的位置嗎?

    設(shè)計(jì)意圖可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)來刻畫,這個方法學(xué)生最容易想到,建立平面直角坐標(biāo)系可以準(zhǔn)確地表示點(diǎn)P的位置,那么就需要討論如何建系更合適.這也為后續(xù)將角都統(tǒng)一在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究提供了可能.在半徑r確定的情況下,點(diǎn)P的位置還可以用射線OP轉(zhuǎn)過的角度或弧長來刻畫,這種表示方法也為后續(xù)學(xué)習(xí)“弧度制”作了準(zhǔn)備.問題3將《三角函數(shù)》這一章要學(xué)習(xí)的知識有機(jī)整合在一起,是對單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì).

    問題4如圖1,點(diǎn)P1,P2,P3從水平位置A起轉(zhuǎn)過的角分別是多少度?如何區(qū)別它們?

    圖1

    設(shè)計(jì)意圖從圖形上看,∠AOP1=30°,∠AOP2=30°,∠AOP3=30°,但三個點(diǎn)從水平位置起轉(zhuǎn)動的角度和方向不同,這說明我們需要引入新的概念來區(qū)別它們.幾何畫板動畫顯示,點(diǎn)P1與點(diǎn)P3相差一圈,出現(xiàn)了超過360°的角;點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的運(yùn)動方向不同,需要引入正角與負(fù)角的概念加以區(qū)別.這就是擴(kuò)充角的必要性.

    1.3 教學(xué)設(shè)計(jì)C

    問題1如圖2,摩天輪的半徑r為40 m,圓心O距離地面的高度為48 m,摩天輪做逆時針勻速轉(zhuǎn)動,每8 min轉(zhuǎn)一圈.摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.(1)請用一個量來刻畫 1 min后點(diǎn)P的位置.

    圖2

    設(shè)計(jì)意圖摩天輪的運(yùn)動作為例子在這一章的教材中多次出現(xiàn),貫穿始終.這是一個很典型的周期運(yùn)動的案例,其中有許多素材與角、三角函數(shù)相關(guān)聯(lián).刻畫點(diǎn)P的位置有多種方法,可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).點(diǎn)P的位置可以用轉(zhuǎn)過的角度表示;可以用轉(zhuǎn)過的弧長表示;可以用點(diǎn)P距離地面的高度表示;還可以以圓心O為原點(diǎn)、水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系,用點(diǎn)P的坐標(biāo)刻畫.其中,選擇角度刻畫更直觀,點(diǎn)明本節(jié)課首先研究角.

    (2)1 min后、2 min后、3 min后、4 min后、 8 min后,OP從起始位置所轉(zhuǎn)過的角分別是多少度?

    設(shè)計(jì)意圖感受“旋轉(zhuǎn)成角”,并復(fù)習(xí)初中所學(xué)過的銳角、直角、鈍角、平角、周角的概念.

    (3)9 min后、16 min后,OP從起始位置所轉(zhuǎn)過的角又分別是多少度?

    設(shè)計(jì)意圖轉(zhuǎn)過的角分別是405°和720°,遇到了超出0°~360°范圍的角,引起了認(rèn)知沖突,初中所學(xué)的角不夠用了,需要推廣.

    圖3

    問題2摩天輪的半徑r為40 m,圓心O距離地面的高度為 48 m,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動,每8 min轉(zhuǎn)一圈.摩天輪上點(diǎn)P的起始位置所對應(yīng)的半徑與地面平行.當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動2 min后,求點(diǎn)P離地面的高度.

    設(shè)計(jì)意圖由于沒有規(guī)定旋轉(zhuǎn)方向,轉(zhuǎn)動 2 min后,點(diǎn)P可能運(yùn)動到最高點(diǎn),也可能運(yùn)動到最低點(diǎn).相同的起始位置、相同的旋轉(zhuǎn)量和不同的旋轉(zhuǎn)方向,得到的角不同.

    問題3你能再舉一些生活中由于旋轉(zhuǎn)方向不同而角的含義不同的例子嗎?

    設(shè)計(jì)意圖通過舉例,進(jìn)一步感受角與旋轉(zhuǎn)方向有關(guān).比如擰緊螺帽和擰松螺帽、前滾翻和后滾翻等.

    2 三種引入方式的比較分析

    2.1 共性

    這三種引入環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)都圍繞學(xué)生對角的認(rèn)知沖突展開,充分展現(xiàn)了對角進(jìn)行推廣的必要性;都以問題串的形式呈現(xiàn),層層遞進(jìn),每個問題都是學(xué)生思維的階梯;都與生活實(shí)際相聯(lián)系,都通過學(xué)生舉例的方式將抽象的概念具體化,從而深化對任意角的理解.

    2.2 銳角與立意的不同

    教學(xué)設(shè)計(jì)A立足于概念產(chǎn)生的必然性,也就是“為什么角的概念要推廣”.教師從摩天輪旋轉(zhuǎn)兩周半、校準(zhǔn)時鐘等豐富的生活實(shí)例出發(fā),讓學(xué)生充分感受“角不夠用”,再通過比較歸納得出角的概念在旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向上都需要推廣.

    知識推廣的原則是必要性和可行性.類比數(shù)系的擴(kuò)充,每一次都是數(shù)不夠用了,于是引入新的數(shù),解決在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能進(jìn)行的問題.角的概念的擴(kuò)充,是角不夠用了,于是擴(kuò)大角的范圍和規(guī)定角的方向,從而解決初中所學(xué)的角在現(xiàn)實(shí)世界中不夠用的問題.

    教學(xué)設(shè)計(jì)B立足于大單元教學(xué)思想,把一個小節(jié)的內(nèi)容融入整章去通盤考慮.《三角函數(shù)》這一章研究的是周期現(xiàn)象,問題1就從這里出發(fā),先請學(xué)生舉例,感受自然界和生活中的周期現(xiàn)象.問題2將周期運(yùn)動抽象為圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動,問題3研究圓周上點(diǎn)的位置.在這些問題的研究過程中,雖然沒有立即推廣角的概念,卻在圍繞半徑、角、弧長、坐標(biāo)等對象展開,而這些將是本章的重要研究對象,為后續(xù)研究作了準(zhǔn)備,體現(xiàn)了章首課應(yīng)有的作用.

    數(shù)學(xué)大單元教學(xué)是對知識結(jié)構(gòu)、方法體系和數(shù)學(xué)思想的整體性教學(xué),是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與核心素養(yǎng)的有效對接.一方面,“教前顧后”,為后面的學(xué)習(xí)開一扇窗、播一粒種,讓它在那兒慢慢推開一扇門、萌出一顆芽.另一方面,“學(xué)后想前”,引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)習(xí)過程中習(xí)得的方法遷移到新的問題中,使他們通過主動類比、形成結(jié)構(gòu)并內(nèi)化為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.

    教學(xué)設(shè)計(jì)C立足于課時整體設(shè)計(jì),對核心內(nèi)容“再建構(gòu)”,對核心素養(yǎng)“重落實(shí)”.整節(jié)課用摩天輪的問題將任意角的概念串起來,在引入部分,對摩天輪轉(zhuǎn)過角度的研究使學(xué)生感受旋轉(zhuǎn)成角、產(chǎn)生角不夠用的沖突,對摩天輪距地面高度的研究使學(xué)生直觀感受旋轉(zhuǎn)方向?qū)堑挠绊懀诒竟?jié)課的后續(xù)內(nèi)容中,教師還通過研究摩天輪轉(zhuǎn)到相同位置時轉(zhuǎn)過的角之間的關(guān)系來研究終邊相同的角的表示方法.本節(jié)課行云流水,概念在同一個情境中自然流淌生成.

    通過對核心概念的重組和再建構(gòu),可以將概念課中比較零散的概念串起來,使概念之間有序、有關(guān)聯(lián),使整節(jié)課有主線.而在有些課堂中,我們看到,學(xué)生被教師設(shè)計(jì)好的一個又一個情境牽著走,雖然也得到了概念,但不能更直接地感受到概念發(fā)生發(fā)展的過程.對于概念比較零碎的課,比如向量的概念、復(fù)數(shù)的概念等,都可以采用這個辦法.

    3 教學(xué)啟示

    3.1 研究章引言,上好起始課

    教材的每一章都有章引言,是對本章所涉及的知識和思想方法的介紹,也是這一章的統(tǒng)領(lǐng).在教學(xué)中,這個部分常常被忽視.而教師認(rèn)真研究章引言,有助于深入理解教材,理解這部分的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和思想方法,可以說,章引言在教學(xué)中發(fā)揮著“導(dǎo)游圖”的作用.

    《三角函數(shù)》這章的章引言介紹了周期現(xiàn)象,然而之前所學(xué)的函數(shù)模型無法刻畫周期現(xiàn)象,所以提出問題“用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期運(yùn)動?”這就使得研究三角函數(shù)成為必然,而研究三角函數(shù),首先就要研究角.研究圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動,用不同的量描述同一事物,那么它們之間必然有聯(lián)系.這就為后續(xù)擴(kuò)充角、引入弧度制、建立三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

    “任意角”是《三角函數(shù)》一章的起始課,站在整個章節(jié)的角度來設(shè)計(jì)本節(jié)課,是建立在課程標(biāo)準(zhǔn)、核心內(nèi)容、基本學(xué)情的深度分析基礎(chǔ)上的“再建構(gòu)”,可以更好地體現(xiàn)推廣任意角的作用,教學(xué)設(shè)計(jì)B正是這么建構(gòu)的.當(dāng)然,章引言只是引言,涉及到的內(nèi)容跨度較大,不需要面面俱到,也不宜過分深入,其全部內(nèi)容隨著章節(jié)學(xué)習(xí)的深入而推進(jìn)展開.

    3.2 抓住生長點(diǎn),引入新概念

    在新概念的引入過程中,要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn),找準(zhǔn)知識生長的起點(diǎn).本節(jié)課的生長點(diǎn)有小學(xué)對角的認(rèn)識、初中學(xué)習(xí)過的角的概念、實(shí)際生活中的需要、數(shù)系擴(kuò)充的體驗(yàn)等,這些都是先行組織者,都為角的擴(kuò)充奠定了基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上發(fā)展新概念是自然而然的,也是必然合理的.

    教學(xué)設(shè)計(jì)A和教學(xué)設(shè)計(jì)C都抓住任意角的生長點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生親歷新概念的發(fā)生發(fā)展過程,自然適切.引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與學(xué)習(xí)是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.如果概念憑空而來,如果僅僅只是規(guī)定,學(xué)生不可能主動參與學(xué)習(xí),核心素養(yǎng)就不可能落地.

    3.3 設(shè)計(jì)好問題,指向有效性

    學(xué)習(xí)發(fā)生的基本條件是產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要,教師的一個重要任務(wù)就是提出有效的問題,創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)發(fā)生的條件,激發(fā)學(xué)習(xí)需要.我們在聽課中,常常聽到指向不明確的問題、學(xué)生無法回答的問題、細(xì)碎隨意的問題等.這樣的問題不僅不能促進(jìn)學(xué)生思考,反而會阻礙學(xué)習(xí)的發(fā)生.

    在這三種引入部分的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師都設(shè)計(jì)了有效的問題串.問題指向明確,把問題問在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)里,讓學(xué)生既熟悉又陌生,開始積極思考.問題分層遞進(jìn),一步一步地揭示知識本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地思考.問題包含方法,在解決問題的同時也教給學(xué)生研究問題的方法路徑.

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