基于收獲函數(shù)的Logistic 模型改進(jìn)及預(yù)測應(yīng)用研究＊

商镕麒，余欣宇，雷昌旺

（華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 武漢 430074）

經(jīng)濟學(xué)者普遍認(rèn)為，發(fā)達(dá)國家經(jīng)濟發(fā)展水平主要是由人口、技術(shù)等因素決定的。中國是人口大國，在國際市場上占據(jù)一定競爭優(yōu)勢，但無法真正解決勞動力需求與供給不平衡問題。而在二孩、三孩政策放開后，中國勞動力供給需求會在一定程度得以緩解，且在高素質(zhì)教育時代背景下，高素質(zhì)勞動力將會在一定程度上得到補充；三孩政策后，每個家庭中有效勞動力增加，在很大程度上承擔(dān)了贍養(yǎng)老人的責(zé)任，不僅減輕了每個家庭中原始意義上的負(fù)擔(dān)，同時也為社會減輕了撫養(yǎng)壓力[1]。

根據(jù)相關(guān)測算，中國在2050 年老齡化率將會達(dá)到34.5%，在全面放開二孩政策后，2050 年老齡化率將會下降到29%左右，三孩政策的放開則有望進(jìn)一步改善中國老齡化現(xiàn)象；而在二孩、三孩政策后，由于嬰幼兒的數(shù)量增加，帶動了其他產(chǎn)業(yè)的消費，如與孩子聯(lián)系最為緊密的母嬰行業(yè)、教育行業(yè)等，中國一部分市場消費被拉動[2]。

相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，在放開二孩政策后，中國市場每年的消費額度較以往增加了1 000 億～1 600 億元。在拉動了經(jīng)濟轉(zhuǎn)型的同時，也在很大程度上促進(jìn)了中國國民儲蓄轉(zhuǎn)化為消費，促進(jìn)了社會經(jīng)濟的發(fā)展[3]。因此，三孩政策的放開對中國高素質(zhì)勞動力的補充有一定促進(jìn)作用，可減輕社會撫養(yǎng)壓力，在一定程度上帶動經(jīng)濟的增長。

本文利用改進(jìn)后的Logistic 模型，對施行三孩政策后中國2035 年人口增長變化情況以及青年、中年和老年人分布情況進(jìn)行了預(yù)測研究和分析，以期為政府部門提供一定的決策參考。

1 預(yù)測模型的建立與改進(jìn)

1.1 預(yù)測模型的引用

為了研究人口數(shù)量的變化規(guī)律，研究人員提出了許多數(shù)學(xué)模型，常見的是指數(shù)增長模型和阻滯增長模型（Logistic 增長模型）[4]。

式（1）（2）中：x（t）為t時刻人口的數(shù)量；r為人口的固有增長率（即出生率減去死亡率）；C為環(huán)境承載力（即環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量）。

為提高Logistic 增長模型在預(yù)測種群數(shù)量方面的準(zhǔn)確性與實用性，從實際需求出發(fā)對Logistic 增長模型進(jìn)行了改進(jìn)，并將其推廣到具有收獲函數(shù)的形式。LAHAM 曾在Logistic 增長模型中引入過收獲函數(shù)，將經(jīng)典的Logistic 增長模型改為[5]：

式（3）中：H（t）為引入的收獲函數(shù)。

將該模型用于制定魚的捕獲策略中，當(dāng)H（t）為常值函數(shù)時，說明在某一時刻捕獲固定數(shù)量的魚類；當(dāng)H（t）為周期函數(shù)時，保證任意時刻魚類都不會瀕于滅絕。ALFRED 研究了魚養(yǎng)殖的捕獲策略，討論了收獲函數(shù)是常值函數(shù)時的收獲增長模型[6]，即：

該模型表示在給定時間間隔內(nèi)捕獲一定數(shù)量的魚，估計了保護(hù)魚種群免于滅絕的最佳捕獲量，為制定漁業(yè)捕撈策略提供了依據(jù)。

1.2 預(yù)測模型的改進(jìn)

隨著研究的深入，一些學(xué)者認(rèn)為種群的增長率也會隨著自然環(huán)境的改變而變化。為更好地體現(xiàn)種群在復(fù)雜環(huán)境中的變化狀況，需要將增長率r表示為一個關(guān)于時間t的函數(shù)r（t），且收獲函數(shù)H（t）應(yīng)與增長率r（t）相關(guān)[7]。

這里，假設(shè)H（t）與r（t）存在一定線性關(guān)系，即存在一個常數(shù)k使得H（t）=kr（t），于是得到一個改進(jìn)的Logistic 增長模型，即：

針對改進(jìn)模型，可以通過如下方式求出模型的解。

令x（t）=y（t）+δ，則模型可轉(zhuǎn)化為：

分離變量并整理可得：

當(dāng)H（t）為非零常值函數(shù)時，此時r（t）也是一個非零常值函數(shù)，指數(shù)增長模型精確解可表示為：

2 預(yù)測模型的驗證與分析

將改進(jìn)后的Logistic 增長模型應(yīng)用到預(yù)測中國人口變化時，進(jìn)行如下假設(shè)：①人口的生存環(huán)境為一般常態(tài)的自然和社會環(huán)境，人口只受中國國內(nèi)的出生率、死亡率和遷移因素影響，不考慮國家之間的移民；②國內(nèi)社會環(huán)境基本穩(wěn)定，沒有影響人口發(fā)展的重大軍事事件、嚴(yán)重流行疾病和自然災(zāi)害；③數(shù)據(jù)檢索發(fā)現(xiàn)，近年來死亡率基本恒定，為便于計算，假定至2035年死亡率均為定值；④因青年人、中年人死亡率較低，為簡化模型，忽略至2035 年青年人、中年人的死亡。

模型中參數(shù)估計的準(zhǔn)確性直接影響人口預(yù)測的準(zhǔn)確性，考慮當(dāng)r（t）和H（t）都是非零常值函數(shù)時求得的解，對它進(jìn)行參數(shù)估計。采用最小二乘法原理，利用Matlab 中Lsqcurvefit 函數(shù)對參數(shù)進(jìn)行估計與反復(fù)修正，建立相對合理的預(yù)測模型。最小二乘法的原理就是讓觀測值與實際值之間的殘差平方和最小，殘差平方和越小，說明模型預(yù)測值與實際值間差異越小，模型更實用，即：

對式（10）中的3 個未知參數(shù)C、δ、A進(jìn)行估計，首先求觀測值與實際值之間的最小殘差平方和，即：

式（11）中：xt為t時刻的實際人口數(shù)量；x（t）為t時刻的預(yù)測人口數(shù)量。

再通過Q分別對C、δ、A求導(dǎo)等于0，建立方程組，從而求出C、δ、A的估計值。但求解過程過于復(fù)雜，且比較煩瑣，考慮采用數(shù)學(xué)計算軟件Matlab 中的函數(shù)Lsqcurvefit 實現(xiàn)最小二乘非線性擬合，通過迭代求解出模型的待定參數(shù)，從而使殘差平方和達(dá)到最小，進(jìn)而完成最優(yōu)參數(shù)估計。

將這個函數(shù)代入到已有數(shù)據(jù)中，可通過1980年、2000 年、2020 年3 個點計算整條曲線的3 個參數(shù)，即δ=3.122 7，A=0.057 6，C=18.065 6。圖 1 為改進(jìn)前后Logistic 方程對1960—2020 年中國人口的擬合曲線。

圖1 改進(jìn)前后的Logistic 方程對1960—2020 年中國人口的擬合曲線

3 三孩政策后中國人口變化情況預(yù)測與分析

將2009 年、2016 年、2020 年的數(shù)據(jù)代入到改進(jìn)之后的Logistic 模型中，發(fā)現(xiàn)在2016—2020 年的變化趨勢幾乎沒有任何改變。所以，經(jīng)過分析仍選擇該模型作為預(yù)測未來三孩政策后中國未來的人口數(shù)量曲線，如圖2 所示。

圖2 三孩政策后中國未來人口數(shù)量預(yù)測情況

從圖中可以看出，未來中國在實行三孩政策后，對人口總的增幅并不會發(fā)生過大的影響，總的預(yù)測模型并不會因為三孩政策的實施而發(fā)生特別大的變化。所以，仍然可以沿用模型一中所給出的改進(jìn)后的Logistic 模型曲線作為三孩政策后中國人口預(yù)測模型。

4 2035 年中國人口結(jié)構(gòu)情況預(yù)測分析

利用模型假設(shè)，對人口數(shù)量的預(yù)測曲線作出判斷。首先，將2035 年的人口結(jié)構(gòu)分成3 個部分來解決問題，分別是青年人占比（TR）、中年人占比（AR）以及老年人占比（OR），對這3 個部分占比之和進(jìn)行求解，即TR+AR+OR=1。

然后，將青年人占比定義成出生在2019—2035 年每年出生人口的總和，再加上在2020 年正好是0～14歲的人，在2019 年時具體到每個年齡段人數(shù)，即有：

式（12）中：BN為2019—2035 年出生總?cè)藬?shù)；TN為2035 年青年人口總數(shù)；SN2035為2035 年人口總數(shù)。

由于忽略了青年人的死亡率，所以對應(yīng)在0～14歲的人最終會在2035 年變成29 歲及以下的人口。計算出生占比時，就會用到之前的假設(shè)和計算的人口預(yù)測數(shù)量曲線，通過遞推方法求出2019—2035 年所有出生人口和死亡人口總數(shù)。

計算的思路為，因為第i年的凈增長的總數(shù)可以通過2 年的人數(shù)差給出，也可以由這2 年間隔出生總?cè)藬?shù)和死亡總?cè)藬?shù)給出，即：

式（13）中：CNi為第i年凈出生率；SNi為第i年人口總數(shù)；BNi為第i年出生人數(shù)；DNi為第i年死亡人數(shù)；D0為死亡率。

可以得出在這2 個相鄰年份之間出生的人數(shù)，即BNi=SNiD0+SNi-SNi-1=SNi（1+D0）-SNi-1。

通過對2019—2034 年進(jìn)行累加，可以得出出生人數(shù)（BN），同時從國家統(tǒng)計局提供的材料中可以得出，在2019 年時0～14 歲的人數(shù)，就是在2035 年時會成為青年人數(shù)（TN）的人群。經(jīng)過官方統(tǒng)計，在2019年時，對應(yīng)0～19 歲的人數(shù)是236 961 601 人。由公式（12）可得TR=0.306 836。

再計算老年人占比，將老年人占比也分成了幾個部分，第1 個部分是現(xiàn)有的在45 歲及以上的人，考慮這些人在將來15 年之后都會變成在2035 年的定義下是60 歲以上的人口再減去在2020—2035 年死去的總數(shù)，因假設(shè)年輕人在死亡率上的占比可忽略，即：

式（14）中：ON為2035 年老年人人數(shù)；DN為2019—2035 年死亡總?cè)藬?shù)。

但是，死亡人口總數(shù)也可以通過預(yù)測的人數(shù)曲線的不斷迭代計算出來，即：

國家統(tǒng)計局發(fā)布的2019 年45 歲以上人數(shù)是595 818 730 人，可以得到青年人占比TR=（ON-DN）/SN2035=0.297 193，則中年人占比AR=1-TROR=0.395 944。這樣，就可以大致得到出在2035 年對應(yīng)的人口年齡結(jié)構(gòu)示意圖，如圖3 所示。

圖3 2019 年與2035 年預(yù)測人口年齡結(jié)構(gòu)對比圖

從圖中可以看出，與2019 年相比，2035 年老年人口占比明顯降低，同時青年人口占比明顯提高，而中年人口相對穩(wěn)定。這也從另一個側(cè)面說明三孩政策效果的顯現(xiàn)，使中國未來人口年齡結(jié)構(gòu)有比較明顯改善。

5 結(jié)論

通過在Logistic 增長模型中引入收獲函數(shù)，建立了新的改進(jìn)模型，并利用最小二乘法原理對模型中相關(guān)未知參數(shù)進(jìn)行了估計，并對曲線擬合進(jìn)行了對比分析和驗證，將改進(jìn)模型用于預(yù)測與分析中國未來人口變化情況；改進(jìn)之后的Logistic 模型，對未來中國人口的預(yù)測情況較好，計算出三孩政策給人口數(shù)量所帶來的變化，十分符合現(xiàn)實中的情況；中國未來實行三孩政策后，對于人口總的增幅變化情況并不會發(fā)生過大的改變，總的預(yù)測人口并不會因為三孩政策的實施而發(fā)生巨大的變化；2035 年相比于2019 年，老年人口占比明顯降低，青年人口占比明顯提高，而中年人口相對穩(wěn)定，這也從另一個側(cè)面說明三孩政策效果的顯現(xiàn)，使中國未來人口年齡結(jié)構(gòu)有比較明顯的改善。