零點(diǎn)存在性定理中的“取點(diǎn)”問題

361000 廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校 陳志康

361026 廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校 陳雨瑾

在解決零點(diǎn)存在性問題時(shí)，常常需要結(jié)合圖形來分析，但由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過函數(shù)極限，無法分辨一些函數(shù)圖像在無窮遠(yuǎn)處或間斷點(diǎn)處的性態(tài).如果想要嚴(yán)格說明零點(diǎn)的存在，只能借助零點(diǎn)存在性定理,即若f(x)在[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，則存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，適當(dāng)“取點(diǎn)”來說明函數(shù)值的正、負(fù).在一些試卷公布的答案中，并沒有對(duì)如何“取點(diǎn)”進(jìn)行特別說明，很多學(xué)生不能明白其精髓所在.正確“取點(diǎn)”要求具備較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以此為抓手提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力正合適不過，如果能解決這些問題，對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)“極限”這部分的內(nèi)容也會(huì)有所幫助.筆者闡述解決這些問題過程中獲得的感悟.

例1(2017全國卷Ⅰ理-21) 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

小問(1) 分析：可知f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1，結(jié)合式子的結(jié)構(gòu)特征，因式分解為f′(x)=(2ex+1)(aex-1)，接下來只需考慮aex-1的符號(hào)問題即可得到結(jié)果.

注意到f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，00，由于ae2x0>0，只要讓(a-2)ex0-x0>0，限定x0<0，由于(a-2)ex0-x0>a-2-x0>-2-x0，令-2-x0≥0，得x0≤-2，于是(a-2)ex0-x0>a>0，所以f(-2)>0.由于01，所以-2∈(-∞，-lna)，符合條件.

事實(shí)上，“取點(diǎn)”是經(jīng)過適當(dāng)“放縮”計(jì)算得出的，常見的不等式如當(dāng)x>0時(shí)，有ex>x>lnx.筆者總結(jié)得出以下“取點(diǎn)”技巧.

(1)借助一些常見不等式對(duì)超越式放縮，放縮后的不等式容易解出.

(2)不等式放縮的方向要與所需函數(shù)值的正負(fù)一致，如上述找n的取值需要f(n)>0，對(duì)f(n)中一些式子放縮要往“>”的方向進(jìn)行.

下證充分性(只需在y軸左側(cè)找一點(diǎn)的函數(shù)值為負(fù)，在y軸右側(cè)找一點(diǎn)的函數(shù)值也為負(fù)，例如找到x0<0使得g(x0)<0).

圖1

例2(2015全國卷Ⅰ文-21) 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)略.

圖2

圖3

方程①的解也可以看作是g(x)=2xe2x-a在[0，+∞)上的零點(diǎn)(擴(kuò)大定義域)，而當(dāng)x≥0時(shí)，注意到g′(x)=2(2x+1)e2x>0，所以g(x)在[0，+∞)單調(diào)遞增，g(0)=-a<0，g(a)=2ae2a-a>2a-a>0，所以g(x)=2xe2x-a在[0，+∞)上有唯一零點(diǎn)，問題得到解決.在這個(gè)過程中化歸思想起了很大的用處，原本函數(shù)的端點(diǎn)無法代入，從而無法確定符號(hào)，將函數(shù)延拓為g(x)=2xe2x-a，使這個(gè)問題得到圓滿解決.

教學(xué)啟示：對(duì)于“取點(diǎn)”的策略，除了借助不等式放縮以外，還可以歸納得出以下兩種方法.

方法1：把含參項(xiàng)消去變?yōu)槌?shù)項(xiàng)，如上面分析取x=a.

方法2：想要說明存在x0使f(x0)-h(x0)<0，可借助中間量α，說明f(x0)<α,h(x0)>α即可.

(1)略.(2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖4

當(dāng)找到x0∈(2,+∞)使得h(x0)=0后，并不需要在(0,x1)找另一個(gè)零點(diǎn)，原因是該零點(diǎn)與x0有特殊的數(shù)量關(guān)系，往往在對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)三者疊加的函數(shù)中零點(diǎn)會(huì)存在這樣的關(guān)系.

“取點(diǎn)”的過程是一個(gè)不斷試錯(cuò)的過程，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察、猜想、計(jì)算、證明等思維活動(dòng)，這些過程能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力.在教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，追求通性通法，有效的解題是有專注的選擇和有進(jìn)展的試錯(cuò).教師也可以在日常教學(xué)過程中強(qiáng)化學(xué)生對(duì)常見函數(shù)增長趨勢的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生走向更高的層次.