關(guān)于正切函數(shù)的一個不等式的注記

李 平

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230026)

1 引 言

在絕大多數(shù)數(shù)學(xué)分析或微積分類的教材中(見參考文獻(xiàn)[1-3]), 在函數(shù)極限部分為了證明

這個重要極限都應(yīng)用了如下不等式:

(1)

圖1

2 不等式的證明

首先是不等式

(2)

圖2

這個不等式幾何上反映的是圓中一段弧的長度大于所對應(yīng)的弦的長度.

如圖2所示, 在單位圓中,A為圓心.設(shè)B和C是圓周上兩點(diǎn), 圓心角∠BAC=2x, 因而圓弧的長為2x.過B和C的兩條切線交于D點(diǎn).分別連接A,D兩點(diǎn), 及B,C兩點(diǎn), 線段AD交BC于E點(diǎn), 交圓弧BC于F點(diǎn).則線段AD垂直于BC, 線段AB垂直于BD, 線段AC垂直于CD, 而且∠BAD=∠CAD=x, 因而線段BC長為2sinx.因為弧長大于對應(yīng)的弦的長, 所以,2x>2sinx. 即sinx

再考慮不等式

(3)

如圖2所示, 過F點(diǎn)作圓的切線, 交線段BD于G點(diǎn), 交線段CD于H點(diǎn).因BD=CD=tanx, 所以圓外切折線L1={B,D,C}的長為s1=2tanx.記圓外切折線L2={B,G,F,H,C} 的長度為s2.因為DG+DH>GH, 所以s1>s2.接著在扇形BAF和扇形CAF中考慮,按照同樣的作法, 可以得到圓外切折線L3, 其長s3s2>…>sn>….注意到這一列外切折線一致收斂到圓弧BFC, 且在求定義在給定區(qū)間上的可求長曲線的極限時，長度泛函具有下半連續(xù)性(見參考文獻(xiàn)[4]，Prop.2.3.4).因而數(shù)列{sn}的極限大于或等于圓弧BFC的長.于是s1大于圓弧BFC的長，即2tanx>2x.這說明(3)式成立.

3 幾何上的推廣

圖3

命題1光滑凸曲線段的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B處的切線在曲線凸出的一側(cè)相交于C點(diǎn), 則直線段AC與BC的長度之和大于這條曲線段的長度.

證如圖3所示在曲線AB的中點(diǎn)D處的切線交線段AC于E點(diǎn)，交線段BC于F點(diǎn).因為曲線是凸的，所以E在A和C之間，F(xiàn)在B和C之間.因為CE+CF>EF，所以折線ACB的長s1大于折線AEDFB的長s2. 再在曲線段AD的中點(diǎn)G作曲線的切線,交AE于H,交EF于I,在曲線段BD的中點(diǎn)J作曲線的切線,交DF于K,交BF于L,則折線AEDFB的長s2大于折線AHGIDKJLB的長s3.繼續(xù)這一過程,可得一列逼近曲線AB的折線,且這一列折線的長度是遞減的.根據(jù)長度泛函具有下半連續(xù)性(見參考文獻(xiàn)[4]，Prop.2.3.4)，可知折線ACB的長s1大于曲線AB的長.證畢.

根據(jù)命題1和弧長計算公式可以得到下面的結(jié)論:

命題2設(shè)f(x)在區(qū)間[0,a)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),滿足f(0)=f′(0),且f″(x)>0 (0

4 結(jié) 論

從前面的討論可知不等式sinx

本文從數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)它所對應(yīng)的幾何意義,從幾何的特性發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系一個證明,并在幾何上給予推廣,又將推廣的幾何結(jié)論回到推廣的數(shù)量關(guān)系上.這正是數(shù)與形的一種結(jié)合.在微積分等學(xué)科中很多分析上的結(jié)論都有其幾何意義.把握好這些幾何意義對于理解分析上的結(jié)論就很有幫助,也有利于從幾何上闡發(fā),從而進(jìn)一步拓廣分析的結(jié)論.

致謝感謝審稿人的仔細(xì)審稿以及給予的建議!