一種柔性機(jī)械臂減振方法的研究

韓瑞泊 ，賈晨輝 ，孫 超

（長安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064）

0 前言

目前，機(jī)械臂在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，尤其是在工業(yè)和航空領(lǐng)域。機(jī)械臂通?？梢苑譃閯傂詸C(jī)械臂和柔性機(jī)械臂，相比于剛性機(jī)械臂，柔性機(jī)械臂具有響應(yīng)速度快、運(yùn)動(dòng)靈活性高、整體重量輕等優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn)[1]，但是柔性機(jī)械臂也更容易發(fā)生彈性變形，并且在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后會(huì)有部分殘余振動(dòng)，這就使得柔性機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度大大降低[2]。因此，解決柔性機(jī)械臂的殘余振動(dòng)問題一直是機(jī)械臂研究領(lǐng)域的熱門話題[3]。

目前，振動(dòng)控制有多種控制方法，其主要原理就是控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，將系統(tǒng)的振動(dòng)水平限制在允許的范圍內(nèi)。柔性機(jī)械臂振動(dòng)抑制方面的主要方法可以分為主動(dòng)控制和被動(dòng)控制[4]。主動(dòng)控制需要額外增加外部能源作為作動(dòng)器，通過對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的檢測(cè)和評(píng)估，從而采用一系列相應(yīng)的措施來抑制系統(tǒng)的振動(dòng)[5]，常見的方法有自適應(yīng)控制技術(shù)[6]、模糊控制技術(shù)[7]、滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)[8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)等等[9]。被動(dòng)控制則不需要額外供給能源，其作用與系統(tǒng)本身相聯(lián)系，系統(tǒng)不會(huì)增加額外的能量，反而在減振裝置發(fā)揮作用時(shí)會(huì)消耗一部分系統(tǒng)能量，從而達(dá)到阻斷能量向被控系統(tǒng)傳遞的目的[10]。主動(dòng)控制又會(huì)根據(jù)控制信息的來源將其分為前饋控制和反饋控制，前饋控制是一種通過對(duì)系統(tǒng)特性的分析提前向系統(tǒng)輸入?yún)?shù)的控制策略，具有容易實(shí)現(xiàn)、防患未然的優(yōu)點(diǎn)。

本文針對(duì)單連桿柔性機(jī)械臂，利用脈沖響應(yīng)疊加為零的思想，提出了通過合理配置柔性臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)達(dá)到減振效果的方法，詳細(xì)闡述了此減振方法的理論基礎(chǔ)和原理，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。該方法屬于主動(dòng)控制范疇中的前饋控制，其計(jì)算非常簡單，控制系統(tǒng)簡潔且易于實(shí)現(xiàn)，能夠彌補(bǔ)現(xiàn)有控制方法的不足。

1 減振方法提出

本文運(yùn)用脈沖響應(yīng)疊加為零的思想，通過合理配置柔性臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)殘余振動(dòng)的抑制。將高階系統(tǒng)簡化成二階系統(tǒng)，若輸入為兩脈沖信號(hào)，在t1=0時(shí)給被控對(duì)象施加一個(gè)幅值為A1的脈沖信號(hào)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)振幅的系統(tǒng)響應(yīng)；再設(shè)置第二個(gè)脈沖信號(hào)的幅值，如果在t2時(shí)刻給被控對(duì)象施加一個(gè)幅值為A2的脈沖信號(hào)，讓第二個(gè)脈沖在t2時(shí)刻得到的響應(yīng)軌跡和第一個(gè)脈沖在相同時(shí)刻獲得的響應(yīng)軌跡大小相同、方向相反。那么在nT時(shí)刻以后，兩脈沖響應(yīng)振幅之和等于零，這樣系統(tǒng)的殘余振動(dòng)就會(huì)大幅減少。

本文研究的柔性機(jī)械臂輸入的信號(hào)是角加速度，輸出信號(hào)為末端振動(dòng)位移。柔性臂的轉(zhuǎn)動(dòng)過程分為“加速-勻速-減速”三段，中間的勻速階段角加速度為零，柔性臂不受力的作用，故不會(huì)產(chǎn)生形變。柔性臂的殘余振動(dòng)主要源于加減速過程中發(fā)生的形變，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后需要依靠自身阻尼衰減消除振動(dòng)。加速段和減速段的加速度信號(hào)方式是相同的，均為矩形脈沖信號(hào)，如圖1（a）所示。根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)的理論，矩形脈沖信號(hào)可以通過單位階躍信號(hào)和延時(shí)單位階躍信號(hào)進(jìn)行表示，兩個(gè)階躍信號(hào)的幅值相同、方向相反，所以圖1（a）所示的矩形脈沖信號(hào)可由圖1（b）表示，如式（1）所示。

圖1 矩形脈沖信號(hào)的合成與分解

在t1=0的時(shí)刻角加速度從0變化至ω0，給被控對(duì)象施加一次激勵(lì)；在合適的時(shí)刻t2使角加速度從ω0變化至0，施加第二次激勵(lì)；根據(jù)脈沖響應(yīng)疊加為零的思想，選擇合適的延時(shí)時(shí)間t2和ω0的輸入幅值，即可有效地消除系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。

上文提及的脈沖響應(yīng)疊加為零的思想作為振動(dòng)機(jī)理分析的理論基礎(chǔ)，基于典型二階系統(tǒng)，對(duì)阻尼因素為零的系統(tǒng)進(jìn)行減振機(jī)理分析并得出相關(guān)結(jié)論，為有阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理分析提供了理論參考。

2 減振機(jī)理分析

2.1 無阻尼系統(tǒng)減振機(jī)理分析

在控制工程領(lǐng)域中，二階系統(tǒng)的應(yīng)用十分廣泛，一般情況下都是利用二階微分方程進(jìn)行描述。柔性機(jī)械臂系統(tǒng)屬于高度非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，在實(shí)際應(yīng)用中可以用二階系統(tǒng)來近似表示較為復(fù)雜的系統(tǒng)。因此，本節(jié)以二階典型系統(tǒng)為例對(duì)本文的研究方法進(jìn)行深入分析。首先引入系統(tǒng)阻尼比ξ和二階系統(tǒng)處于無阻尼情況下的固有頻率ω=1/T，單位為rad/s。由自動(dòng)控制原理的相關(guān)理論知識(shí)得到，在閉環(huán)情況下標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)形式如式（2）所示。

圖2為單位負(fù)反饋結(jié)構(gòu)形式的標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)，R(s)為二階系統(tǒng)的輸入信號(hào)，C(s)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)的響應(yīng)情形處于阻尼因素為零的時(shí)候，即ξ=0時(shí)的二階控制系統(tǒng)，設(shè)定輸入控制信號(hào)R(s)以單位階躍的形式輸入到系統(tǒng)當(dāng)中，由式（2）可以得到系統(tǒng)輸出控制信號(hào)C(s)的計(jì)算式如下。

將式（3）兩邊去拉普拉斯反變換，可得式（4）：

式（4）表明，若二階系統(tǒng)處于無阻尼形式的時(shí)候，其單位階躍響應(yīng)的表現(xiàn)形式為幅值不變的響應(yīng)曲線，具體表現(xiàn)形式如圖3所示，振蕩角頻率為ω，在柔性機(jī)械臂系統(tǒng)中表現(xiàn)為柔性臂在受到外部激勵(lì)時(shí)作往復(fù)的振幅無衰減的擺動(dòng)。

圖3 ξ=0時(shí)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

當(dāng)單位階躍和延時(shí)單位階躍信號(hào)的二階響應(yīng)疊加為零時(shí)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)殘余振動(dòng)的抑制。由式（1）和（4）可得式（5）：

式中，t1為階躍信號(hào)跳變的時(shí)間；t2為延時(shí)階躍信號(hào)跳變的時(shí)間，t2-t1即延時(shí)時(shí)長。

因?yàn)殡A躍信號(hào)的階躍一旦跳變，此跳變會(huì)一直持續(xù)到時(shí)間無窮大，此時(shí)，輸出響應(yīng)的平衡位置會(huì)根據(jù)階躍信號(hào)幅值的大小而變化。當(dāng)單位階躍信號(hào)由0到1發(fā)生跳變時(shí)，輸出響應(yīng)的平衡位置會(huì)從0變成1。固有圓頻率為ω的典型二階系統(tǒng)的單位階躍輸入信號(hào)和響應(yīng)曲線如圖4所示。當(dāng)階躍信號(hào)從零開始時(shí)，取t1=0，將其代入（5）式得到式（6），經(jīng)計(jì)算得到式（7）。

由式（6）和（7）可知，在由階躍信號(hào)和延時(shí)階躍信號(hào)疊加形成的矩形脈沖信號(hào)中，當(dāng)t1=0且滿足t2=nT時(shí)，兩次階躍信號(hào)的響應(yīng)幅值大小相等，方向相反。故二階無阻尼系統(tǒng)的疊加響應(yīng)為零，在柔性機(jī)械臂系統(tǒng)中的表現(xiàn)是系統(tǒng)的殘余振動(dòng)被完全消除，輸出響應(yīng)與輸入信號(hào)如圖4所示。

圖4 ξ=0時(shí)二階系統(tǒng)的輸入與輸出

綜上所述，研究團(tuán)隊(duì)以單位階躍對(duì)典型二階系統(tǒng)的作用進(jìn)行了證明，當(dāng)階躍的幅值為任意大小ω0時(shí)，上述結(jié)論也是成立的。該結(jié)果表明，針對(duì)無阻尼機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，在任意加速度下只要加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2滿足t2=nT，都能實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)殘余振動(dòng)的完全抑制。

2.2 阻尼系統(tǒng)減振機(jī)理分析

實(shí)際工程應(yīng)用中系統(tǒng)會(huì)存在阻尼因素，以本文的二階欠阻尼系統(tǒng)為例，即當(dāng)0＜ξ＜1時(shí)，輸出量的拉普拉斯變換式如式（8）所示。

將式（8）進(jìn)行拉普拉斯逆變換，可得到二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如式（9）所示。

依據(jù)前文所述的減振方法，利用單位階躍信號(hào)和延時(shí)單位階躍信號(hào)疊加形成一個(gè)矩形脈沖信號(hào)，將矩形脈沖信號(hào)作為輸入信號(hào)輸入到二階系統(tǒng)中，矩形脈沖的響應(yīng)即兩個(gè)階躍信號(hào)響應(yīng)的疊加，具體如式（10）所示。

若要消除系統(tǒng)的殘余振動(dòng)，需滿足t1=0且t2=nT。以系統(tǒng)固有周期為例的輸出響應(yīng)如圖5所示。

圖5 有阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

以上論述分析解釋了矩形脈沖信號(hào)激勵(lì)的二階阻尼系統(tǒng)減振原理，因此，應(yīng)當(dāng)配置機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)角加速度及角速度值使加速段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t約等于機(jī)械臂固有振動(dòng)周期T或T的正整數(shù)倍，再利用系統(tǒng)響應(yīng)疊加原理即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)殘余振動(dòng)的有效抑制。

為了讓機(jī)械臂能穩(wěn)定地停在所需要的位置，在施加控制加速的矩形脈沖信號(hào)給機(jī)械臂系統(tǒng)后，必須給機(jī)械臂系統(tǒng)施加一個(gè)控制減速的矩形脈沖信號(hào)，將矩形脈沖曲線積分后即是上文提到的三段式速度曲線。機(jī)械臂系統(tǒng)減速階段的外部脈沖和加速階段的矩形信號(hào)呈對(duì)稱關(guān)系，分析結(jié)果相同。速度-加速度-振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 速度-加速度-振動(dòng)響應(yīng)曲線

從速度-加速度-振動(dòng)響應(yīng)曲線可以看出，柔性機(jī)械臂在加速和減速運(yùn)動(dòng)過程中變形較大，在中間的勻速運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)結(jié)束后變形較小。由于阻尼系統(tǒng)自身存在衰減，當(dāng)矩形信號(hào)前后兩次激勵(lì)幅值相同時(shí)，經(jīng)過1個(gè)固有周期T后，其方向是相反的，大小也是不一樣的，故在阻尼系統(tǒng)中不能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)殘余振動(dòng)的完全抑制。

由公式（10）可得，當(dāng)t1=0且t2=T時(shí)，前后兩次響應(yīng)幅值的比值為g(t)=eξωTsinωdT，所以針對(duì)二階阻尼系統(tǒng)殘余振動(dòng)的最大抑制率為1-eξωTsinωdT。

3 結(jié)論

研究團(tuán)隊(duì)在輸入整形原理的基礎(chǔ)上提出了柔性機(jī)械臂振動(dòng)抑制的方法，基于無阻尼系統(tǒng)和有阻尼系統(tǒng)對(duì)本方法的減振機(jī)理進(jìn)行了理論分析。發(fā)現(xiàn)當(dāng)設(shè)置柔性機(jī)械臂的角加速度和角速度值使角速度除以角加速度等于機(jī)械臂固有振動(dòng)周期的正整數(shù)倍時(shí)，柔性機(jī)械臂的殘余振動(dòng)在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后能夠得到有效抑制。