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    中考二次函數(shù)模型試題的源與流

    2022-11-16 12:42:30石樹偉江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心225006
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年5期
    關(guān)鍵詞:對稱軸最值圖象

    石樹偉 (江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心 225006)

    無論是知識的綜合性還是思維的層次性,二次函數(shù)都當(dāng)之無愧地占據(jù)著初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的“制高點”,是肩負(fù)區(qū)分功能的中考壓軸題的命題熱點.當(dāng)前,二次函數(shù)試題多為“拋物線外衣+幾何內(nèi)核”的命題方式,即以拋物線為背景,將二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓等知識結(jié)合起來考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力,這樣的考查方式“人為拼湊”痕跡嚴(yán)重,掐頭去尾燒中段,對二次函數(shù)的來源和應(yīng)用關(guān)注不夠,偏離二次函數(shù)內(nèi)容的課標(biāo)要求,對數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查缺失.因此,二次函數(shù)模型試題應(yīng)運而生,越來越成為考查熱點.

    1 認(rèn)識二次函數(shù)模型試題

    1.1 從一道試題說起

    例1(2013江蘇揚州)如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P為線段BC上的一動點,且和B,C不重合,連結(jié)PA,過P作PE⊥PA交CD所在直線于E.

    圖1

    (1)在圖1中找出一對相似三角形,并說明理由;(2)若點P在線段BC上運動時,點E總在線段CD上,求m的取值范圍.

    1.2 二次函數(shù)模型試題及其考查思路

    例1在題目中根本沒有出現(xiàn)任何“函數(shù)”或“二次函數(shù)”之類的字眼,但最終卻是用二次函數(shù)來解決問題.因為需要學(xué)生自己構(gòu)造二次函數(shù),我們把這類試題稱為二次函數(shù)模型試題.二次函數(shù)模型試題與一般的二次函數(shù)試題不同,它關(guān)注了二次函數(shù)的來源與應(yīng)用,有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和應(yīng)用意識.

    二次函數(shù)模型試題考查的基本思路如圖2所示,一般要設(shè)計一個現(xiàn)實情境(生活現(xiàn)實或數(shù)學(xué)現(xiàn)實),因為只有在現(xiàn)實情境中才能考查一個學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界”[1]的能力;一般避免通過小題鋪墊來指令學(xué)生先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)解決問題,而是需要學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實情境中存在函數(shù)依賴關(guān)系,從而自主構(gòu)造函數(shù),自覺應(yīng)用函數(shù)解決問題.這里強(qiáng)調(diào)自主自覺,是因為當(dāng)學(xué)生未來遇到真正的實際問題時,不會再有人告訴他“這個問題里面有函數(shù)關(guān)系”,或有人替他分解成幾個小問題,指令他構(gòu)造函數(shù).強(qiáng)調(diào)自主自覺才能真正考查學(xué)生的函數(shù)建模意識和能力[2].

    圖2

    2 二次函數(shù)模型的源

    二次函數(shù)模型試題需要學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系、自主建構(gòu)二次函數(shù),因此,要想順利解答二次函數(shù)模型試題,首先需了解二次函數(shù)模型的一般來路.

    2.1 如何想到構(gòu)造二次函數(shù)?

    二次函數(shù)要靠我們自己發(fā)現(xiàn)、自主構(gòu)造,那怎么想到要去構(gòu)造函數(shù)呢?二次函數(shù)模型試題,雖然題目中不會直接指令或提示構(gòu)造函數(shù),但也不是完全無跡可尋,一般從以下兩個層面啟示我們要構(gòu)造函數(shù).

    2.1.1顯性層面

    顯性層面,如果試題已知情境問題的最值或研究其最值,可以啟示我們想到函數(shù),從而主動構(gòu)造函數(shù)去解決問題.如下面的例2求最大面積,啟示學(xué)生構(gòu)造二次函數(shù)解決問題.

    圖3

    例2如圖3,要用總長為16 m的籬笆,一面靠墻(墻的可利用長度為6 m),圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,求小兔活動范圍的最大面積.

    分析 本題求最大面積,容易聯(lián)想到構(gòu)造二次函數(shù)解決問題.設(shè)生物園面積為S,寬AB=x,則長BC=16-2x,利用長方形面積公式可得S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32.又因為0

    顯性層面,如果試題已知情境問題的增減性或研究其增減性,也可以啟示我們想到函數(shù),從而主動構(gòu)造函數(shù)去解決問題.如下面的例3,“30天內(nèi)利潤隨天數(shù)t的增大而增大”,這是已知“利潤-天數(shù)”函數(shù)的增減性情況,啟示學(xué)生構(gòu)造函數(shù)解決問題.

    例3(2016江蘇揚州)某電商銷售一款夏季時裝,進(jìn)價40元/件,售價110元/件,每天銷售20件,每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元(a>0).未來30天,這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動,即從第1天起每天的單價均比前一天降1元.通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),該時裝單價每降1元,每天銷量增加4件.在這30天內(nèi),要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù)t(t為正整數(shù))的增大而增大,a的取值范圍應(yīng)為.

    2.1.2隱性層面

    有的試題雖然沒有出現(xiàn)任何提及“函數(shù)”的字眼,也沒有最值、增減性等方面的顯性提示,但通過對問題情境的分析,發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著函數(shù)的三個要素:一是在一個運動變化過程中,二是有兩個變量,三是一個變量隨著另一個變量的變化而變化.由此可以啟示我們想到函數(shù),從而主動構(gòu)造函數(shù)去解決問題.如例1是一個點P從點B運動至點C的變化過程,其中BP,CE是變量,且CE隨著BP的變化而變化,這就說明CE與BP之間存在著函數(shù)關(guān)系.這樣的函數(shù)考查有利于學(xué)生充分感悟函數(shù)概念的本質(zhì),可以讓學(xué)生體會到函數(shù)來源于運動變化過程中變量之間的依賴關(guān)系,感悟到函數(shù)是研究運動變化過程的有效模型.再如下面的例4.

    圖4

    (1)當(dāng)n=1時,①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式;②你完全同意小明的說法嗎?若完全同意,請說明理由;若不完全同意,也請說明理由,并求出正確的k的最小值和最大值.

    (2)若小明的說法完全正確,求n的取值范圍.

    2.2 如何構(gòu)造二次函數(shù)?

    想到函數(shù)了,如何構(gòu)造函數(shù)呢?二次函數(shù)的構(gòu)造,關(guān)鍵在于“二次”如何得到,一般有以下三個途徑.

    2.2.1乘法模型——一次乘一次得二次

    乘法模型“一次乘一次得二次”常見的問題情境有:①面積問題,矩形面積=長×寬,三角形面積=底×高÷2,如果長、寬或底、高都能用含有自變量的一次式表示,則容易得到關(guān)于自變量的二次式,如 例2;②銷售問題,總價=單價×銷量,總利潤= 單件利潤×銷量,若單價、銷量或單件利潤、銷量都能用含有自變量的一次式表示,則容易得到關(guān)于自變量的二次式,如例3;③相似問題,相似三角形對應(yīng)邊成比例,若比例外項或比例內(nèi)項都能用含自變量的一次式表示,則容易得到關(guān)于自變量的二次式,如例1;④其他蘊(yùn)含乘法數(shù)量關(guān)系的問題,如例4中反比例函數(shù)的系數(shù)k=動點橫坐標(biāo)×縱坐標(biāo).

    2.2.2幾何模型——運用勾股定理得二次

    幾何模型“運用勾股定理得二次”常見的問題情境有以下兩種:

    ①一個直角三角形,先用含有自變量的一次式表示各邊,然后運用勾股定理得到一個等式,最后展開變形得二次函數(shù),如下面的例5.

    圖5

    (1)若四邊形PMCN的面積為3.5,求四邊形PMCN的周長;

    (2)求四邊形PMCN面積的最小值,并說明此時點P的位置.

    ②兩個共邊直角三角形,先用含有自變量的一次式表示其余各邊,然后在兩個直角三角形內(nèi)分別運用勾股定理表示出共邊的平方(算兩次),得到一個等式,最后展開變形得二次函數(shù),如下面的例6.

    圖6

    例6(2020江蘇揚州)如圖6,已知點O在四邊形ABCD的邊AB上,且OA=OB=OC=OD=2,OC平分∠BOD,與BD交于點G,AC分別與BD,OD交于點E,F.

    分析 第(1)題易由基本圖形“等腰三角形(△OAD)+頂角外角平分線(OC平分∠BOD)”得到OC∥AD,也易由三角形中位線定理(OG是△BAD的中位線)得到OC∥AD.

    圖7

    2.2.3組合模型——多個已知函數(shù)組合得二次函數(shù)

    (1)當(dāng)科研所到宿舍樓的距離x=9 km時,防輻射費y=萬元;a=,b=; (2)若每公里修路的費用為90萬元,求當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為多少千米時,配套工程費最少?(3)略.

    3 二次函數(shù)模型的流

    構(gòu)造出二次函數(shù)關(guān)系式不是最終目的,最終目的是為了應(yīng)用二次函數(shù)去解決問題.因此,要想完整解答二次函數(shù)模型試題,還需要把握二次函數(shù)模型的一般去路.

    3.1 構(gòu)造的二次函數(shù)一般用來干什么?

    二次函數(shù)模型試題構(gòu)造出二次函數(shù)后,一般應(yīng)用所構(gòu)造的二次函數(shù)研究以下三類問題.需要注意的是,研究每一類問題都需結(jié)合大致圖象,即數(shù)形結(jié)合.

    3.1.1研究最值問題

    最值問題有三種情況:

    ①頂點最值,即圖象頂點在自變量取值范圍內(nèi),頂點縱坐標(biāo)即為函數(shù)最值,如例4第(1)題、例5、例6、例7;

    在修辭的使用上,二者都采用了映照、比喻、移就、比擬、反復(fù)、借代的修辭格以使歌曲更加豐富多層次,增強(qiáng)文字的感染力。形象生動的詞句也是二者獲得成功的關(guān)鍵之處。

    ②區(qū)間最值,即圖象頂點不在自變量取值范圍內(nèi),需結(jié)合圖象確定最值,如例2;

    ③離散最值,即函數(shù)圖象不是連續(xù)拋物線,而是一系列的散點,需結(jié)合圖象根據(jù)散點到對稱軸的距離遠(yuǎn)近確定最值.

    3.1.2研究增減性問題

    增減性問題有兩種情況:

    ①連續(xù)拋物線,所有點要保持統(tǒng)一的變化趨勢,一般無需考慮跨對稱軸的情況,如例4第(2)題;

    ②離散拋物線,所有點要保持統(tǒng)一的變化趨勢,最后一點或第一點可以跨對稱軸,與其余各點分置于對稱軸的兩側(cè),但跨對稱軸的那一點必須最接近對稱軸,如例3.

    3.1.3研究參數(shù)范圍問題

    這一類問題與前面兩類問題有交叉.含參數(shù)的二次函數(shù)解析式,既含自變量又含參數(shù),因此不能利用它去列不等式求參數(shù)范圍.一般需表示出它的最值或?qū)ΨQ軸,這樣就剝離了自變量,僅保留參數(shù),然后再根據(jù)已知條件,利用最值或?qū)ΨQ軸的范圍列不等式求出參數(shù)范圍,如例1、例4第(2)題.

    3.2 構(gòu)造的二次函數(shù)一般有哪些變形?

    3.2.1整體的眼光

    3.2.2轉(zhuǎn)化的思想

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