寓數(shù)于形 以形解數(shù)
——談“切線不等式”的應(yīng)用

許榮好 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215124)

1 試題呈現(xiàn)

(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-f′(x)存在極值，求m的取值范圍；

(2)若函數(shù)h(x)=f′(ex)-f′(lnx)，對(duì)任意的m∈R，若關(guān)于x的不等式h(x)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．

解析 (1)略．

(2)因?yàn)閔(x)=(2e2x-2mex+m2)+(2ln2x-2mlnx+m2)，所以對(duì)任意m∈R，(2e2x-2mex+m2)+(2ln2x-2mlnx+m2)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立，即對(duì)任意m∈R，m2-2(ex+lnx)m+(2e2x+2ln2x-k2)≥0在(0, +∞)上恒成立，故Δ=4(ex+lnx)2-4(2e2x+ 2ln2x-k2)≤0在(0,+∞)上恒成立，即k2≤(ex-lnx)2在(0,+∞)上恒成立．

上述解答關(guān)鍵是處理k2≤(ex-lnx)2在(0, +∞)上的恒成立問(wèn)題，難點(diǎn)在于φ(x)=ex-lnx的最小值難以直接通過(guò)一次求導(dǎo)直接給出，只能借助于二次求導(dǎo)以及函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)加以解決．一般學(xué)生在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，無(wú)法像答案這樣完美無(wú)缺，考慮周全．學(xué)生們迫切地需要一種簡(jiǎn)單快速且有效的方法．因此我們可以借助于“切線不等式”來(lái)加以解決．

2 “切線不等式”的概念

切線不等式來(lái)源于函數(shù)f(x)的幾何圖象，通過(guò)觀察f(x)的圖象總是在切線y=ax+b的上方(或下方)，從而得到切線不等式f(x)≥ax+b(或f(x)≤ax+b)．在平時(shí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見(jiàn)的切線不等式如圖1所示．

圖1

無(wú)論是渾然天成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，還是優(yōu)美對(duì)稱的幾何直觀，都讓人賞心悅目、拍案叫絕．

3 “切線不等式”的應(yīng)用

當(dāng)我們熟悉切線不等式之間的關(guān)系及其變形形式后，自然要看看它們?cè)诮忸}實(shí)踐中的應(yīng)用．

3.1 與函數(shù)相關(guān)的不等式問(wèn)題

例1(2020山東二模)已知函數(shù)f(x)=ex-x2．

(1)求曲線f(x)在x=1處的切線方程；

解析 (1)略．

(2)這個(gè)不等式的常規(guī)證明較為麻煩，觀察不等式的右邊，發(fā)現(xiàn)很像切線不等式的變形，因此采用切線不等式解決此題．

反思回想我們的解題過(guò)程，若是不借助切線不等式的變形，此題需要學(xué)生進(jìn)行大量的構(gòu)造，通過(guò)嘗試導(dǎo)數(shù)去求解最值進(jìn)而證明不等式，過(guò)程較為繁瑣，操作起來(lái)較為困難；相反，若是借助切線不等式，只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的放縮，通過(guò)移項(xiàng)和常規(guī)求導(dǎo)即可解決，優(yōu)勢(shì)明顯．

(1)求a,b的值；(2)證明：f(x)>1．

解析 (1)略．

3.2 形如的不等式問(wèn)題

圖2

反思由于觀察到函數(shù)圖象是上凸的，利用原函數(shù)圖象和切線的位置關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)原不等式進(jìn)行放縮，最后由不等式的性質(zhì)，三個(gè)式子相加，證得原命題．此方法既培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，也減少了復(fù)雜的含字母運(yùn)算．

反思運(yùn)用“切線不等式”法證明不等式時(shí)，需注意已知條件是單變?cè)暮褪?，特征不等式左邊也是和式，?dāng)發(fā)現(xiàn)已知條件或特征不等式不符合上述條件時(shí)，需要通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化后再使用“切線不等式”．

4 反思與展望

雖然高中的試題一直在繼承中創(chuàng)新，但也不回避已經(jīng)考過(guò)的類(lèi)似試題．此類(lèi)數(shù)學(xué)題集中了命題人的智慧，是經(jīng)過(guò)反復(fù)打磨的精品，因此在備戰(zhàn)高考時(shí)，通過(guò)研究各省市的歷年真題，把握高考試題的方向和命題規(guī)律，精做題、做精題，這樣才能走出題海，提高效率．不等問(wèn)題在高考中一直扮演著重要地位，綜合性強(qiáng)，區(qū)分度高，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)高低的分水嶺．在研究函數(shù)的過(guò)程中，若能利用好“切線不等式”這一有力工具，往往就能出奇制勝，此法對(duì)比常規(guī)方法而言具有巨大的優(yōu)越性和間接性．遺憾的是，“切線不等式”這樣的稱呼，教材中并沒(méi)有明確給出，至今仍是一個(gè)“民間”說(shuō)法，因此在應(yīng)用時(shí)還需要給出適當(dāng)?shù)淖C明，這不免增加了解題的長(zhǎng)度．教師在日常教學(xué)中，為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，應(yīng)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候有針對(duì)性地講授一下，以便拓寬學(xué)生的解題視野．