在軌跡的概念教學(xué)中培養(yǎng)邏輯思維能力
——以滬教版八年級教材“19.6(1) 軌跡”的教學(xué)為例

200030 上海市徐匯中學(xué) 仇 霞

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對于邏輯推理能力有如下說明：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要結(jié)合基礎(chǔ)知識教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，“軌跡的概念”這一教學(xué)內(nèi)容恰好是一個(gè)很好的載體.

根據(jù)滬教版八年級上學(xué)期教材的內(nèi)容安排，在廣度上，學(xué)習(xí)軌跡之前，以平行線的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的運(yùn)用為載體，學(xué)生學(xué)習(xí)了基本的邏輯術(shù)語和演繹推理的基本思路.研究軌跡的概念時(shí)，以角的平分線、線段的垂直平分線和圓這三條基本軌跡為載體，感悟軌跡概念中所含有的“純粹性”和“完備性”的要求.通過這部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生體會到利用圓、線段的垂直平分線、角的平分線(或者平行線)證明點(diǎn)點(diǎn)等距、點(diǎn)線等距和線線等距是常用的方法，知道軌跡是具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合，為今后的學(xué)習(xí)(如幾何證明和高中的軌跡方程等)打下基礎(chǔ).

在深度上，軌跡是對角的平分線和線段的垂直平分線等一般的抽象.例如，教材中對角的平分線概念及其性質(zhì)進(jìn)行了三個(gè)層次的抽象.層次一，用定理“在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”和逆定理“在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上”表述；層次二，角的平分線上的點(diǎn)是符合在角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)的集合；層次三，在說明了軌跡的含義之后，在角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的角平分線.

軌跡的概念教學(xué)內(nèi)容是對基本軌跡的抽象、概括，在基本軌跡的基礎(chǔ)上，通過分析、推理等思維活動(dòng)對大腦中的概念進(jìn)行更高層次的整合，在感悟概念背后的集合意義的過程中，逐漸掌握概念的本質(zhì).筆者探索在軌跡的概念教學(xué)中如何有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

1 課前思考

在本節(jié)課之前，學(xué)生常將直線、圓等幾何圖形看作相對靜止的對象來研究其所具有的性質(zhì)，本節(jié)課則將幾何圖形看作點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來認(rèn)識圖形的性質(zhì).軌跡的概念包含集合思想，必須具備純粹性和完備性的雙重性質(zhì).在此之前，學(xué)生常借助直觀形象去理解幾何概念，學(xué)生第一次接觸這一較為抽象的定義形式后，感到?jīng)]有“如此反復(fù)”的必要，在應(yīng)用中仍然會只顧“完備”而忽視“純粹”.所以，筆者將本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)確定為了解軌跡的意義.

接下來的軌跡學(xué)習(xí)涉及用交軌法進(jìn)行基本的作圖，學(xué)生必須對基本軌跡足夠熟悉才能夠作圖，以三條基本軌跡為載體也能夠幫助學(xué)生理解軌跡的意義，所以知道“線段的垂直平分線”“角的平分線”和“圓”三條基本軌跡是本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)重點(diǎn).

圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)會產(chǎn)生復(fù)雜的幾何問題，而在復(fù)雜的變化中抓住不變的本質(zhì)有利于學(xué)生之后解決更加高難度的問題，并且之后集合問題的探究和解決對學(xué)生的推理論證能力和空間想象能力等要求越來越高，所以將本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為會用三條基本軌跡解釋簡單的軌跡問題，并用圖形語言表示.

2 基于波利亞數(shù)學(xué)教育理論的課堂實(shí)踐例說

數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面.一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過程的數(shù)學(xué)看起來更像是一門試驗(yàn)的歸納科學(xué).波利亞提出學(xué)習(xí)過程的三原則，即主動(dòng)學(xué)習(xí)、最佳動(dòng)機(jī)和循序階段，并且可以把學(xué)習(xí)的階段劃分為探索階段、闡明階段、吸收階段[1].

波利亞的學(xué)習(xí)原則給人以如下啟示.第一，主動(dòng)學(xué)習(xí)要求學(xué)生的思維活動(dòng)起來，而不是僅僅處在模仿水平和記憶水平上.第二，學(xué)習(xí)任何知識最好的途徑就是去發(fā)現(xiàn).第三，要依據(jù)學(xué)生的發(fā)展水平和動(dòng)機(jī)狀態(tài)等按照最佳順序呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容.所以，波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是必須教會學(xué)生猜想，并教會學(xué)生去證明自己的猜想，即合情推理與論證推理[2]，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，這也與初中課標(biāo)中邏輯推理能力的培養(yǎng)要求不謀而合.

2.1 探索階段：提前滲透軌跡概念，經(jīng)歷概念的生成過程

在本節(jié)課之前，學(xué)生就已經(jīng)學(xué)過了圓、角的平分線和線段的垂直平分線，已經(jīng)有了相關(guān)的知識基礎(chǔ)，所以可以在之前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，初步講述“點(diǎn)的集合”的含義，有意向?qū)W生滲透軌跡的思想.例如，提出“在角的平分線上任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，那是否只有角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等呢？”的問題，為軌跡概念中的完備性和純粹性埋下伏筆，為軌跡概念的探索做準(zhǔn)備，并且這樣的滲透可以隨著年級的提高逐漸加強(qiáng).

概念形成的一個(gè)重要條件是學(xué)生必須能從許多事物、事件或情境中認(rèn)識或抽象出它們的共同特征，以便進(jìn)行概括.而對于高度抽象化的數(shù)學(xué)概念的引入，一定要從真實(shí)事物出發(fā)[1]，所以需要從知識發(fā)生的過程設(shè)計(jì)問題，突出概念的形成過程和來龍去脈，盡可能努力創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生去探索，通過自身的努力去建構(gòu)新知識，讓他們的思維水平不僅僅停留在模仿和記憶水平上.在軌跡的概念教學(xué)中，從知識發(fā)生的過程設(shè)計(jì)問題，融入歸納、類比、概括等合情推理的方法，不是簡單的“一次歸納”，而是教師與學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷“提問—探索—討論—質(zhì)疑—再提問”的過程[3].

軌跡是一個(gè)抽象性較強(qiáng)的概念，初中生習(xí)慣于借助直觀形象和常見數(shù)學(xué)模型理解數(shù)學(xué)概念，他們對軌跡的定義常感到抽象、別扭和空洞，不能正確地形成軌跡的概念[4]，同時(shí)教材中又將軌跡、點(diǎn)的軌跡和符合條件的點(diǎn)的軌跡三個(gè)概念作為一個(gè)概念.所以，在本節(jié)課中，教師將首先提供直觀材料，幫助學(xué)生形成表象認(rèn)識，從具體的生活情境到抽象的數(shù)學(xué)情境，從動(dòng)態(tài)的曲線到靜態(tài)的點(diǎn)的集合進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，鋪設(shè)問題臺階，了解軌跡的意義.(如表1所示)

片段：概念引入部分

以表1情境1中的鐘擺問題為例，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)鐘擺的運(yùn)動(dòng)路線是一段弧之后，提出問題：如何刻畫不存在的這段曲線？將鐘擺(抽象成點(diǎn))運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的每一個(gè)位置看作一個(gè)點(diǎn)，那么所有點(diǎn)的集合就形成了曲線.

表1 概念引入部分問題設(shè)計(jì)

2.2 闡釋階段：分步感受軌跡意義

軌跡是符合某些條件的所有點(diǎn)的集合，其中涉及“集合”的認(rèn)識和對“某些條件”的具體化，而集合必須具備“純粹性”和“完備性”，這對學(xué)生而言很難理解.根據(jù)循序階段原則，學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比獲得零散的數(shù)學(xué)知識更加重要，為突破這個(gè)難點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)具體例子(即三個(gè)基本軌跡)讓學(xué)生逐漸感悟軌跡上的點(diǎn)必須滿足條件(純粹性)，而不在軌跡上的點(diǎn)一定不滿足條件(完備性)，體會軌跡概念中所蘊(yùn)含的“雙重性”意義.

片段：概念剖析部分

例題1在同一平面內(nèi)，求到定點(diǎn)A的距離等于1cm的點(diǎn)的軌跡.

例題2在同一平面內(nèi)，求到定點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)的軌跡.

例題3在同一平面內(nèi)，求在∠AOB的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))，到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡.(如表2所示)

表2 例題的設(shè)置與講解

在處理例題1時(shí)，學(xué)生會產(chǎn)生困惑：要我找圓的什么？是不是要我畫一個(gè)圓？這是學(xué)生初學(xué)軌跡問題的常見心理定勢現(xiàn)象，所以筆者按照學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)不同層次的問題，幫助學(xué)生理解軌跡.以例題1中“圓”的基本軌跡為例，筆者設(shè)計(jì)了如下問題.

問題1軌跡上的點(diǎn)都應(yīng)該滿足什么條件？(到點(diǎn)A的距離為1cm)——符合條件的點(diǎn).

問題2你可以畫多少個(gè)這樣符合條件的點(diǎn)？(無數(shù)個(gè))

問題3無數(shù)個(gè)符合條件的點(diǎn)組成了什么樣的圖形？(圓)——符合條件的集合(初步顯現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)概念).

問題4我們可以發(fā)現(xiàn)圓上的點(diǎn)都滿足條件(純粹性)，反過來，是不是所有符合條件的點(diǎn)都在圓上呢(完備性)？(圓內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)A的距離<1cm，圓外的點(diǎn)到定點(diǎn)A的距離>1cm)——軌跡.

通過以上問題，學(xué)生感受軌跡的生成過程，在三道包含基本軌跡的例題中體會軌跡上的點(diǎn)必須都滿足條件，而滿足條件的點(diǎn)都在軌跡上，最后總結(jié)出對應(yīng)的基本軌跡.

2.3 吸收階段：化歸解決軌跡問題

改變點(diǎn)的條件，基本不改變點(diǎn)的軌跡結(jié)果，對應(yīng)三條基本軌跡對例題進(jìn)行變式(如表3所示)，突出三條基本軌跡的本質(zhì)屬性，在變化中認(rèn)清本質(zhì)，重視剖析軌跡滿足的條件，轉(zhuǎn)化為基本軌跡，并用文字語言和圖形語言表示，從而達(dá)到強(qiáng)化重點(diǎn)的目的[5].在繪制軌跡的過程中，將軌跡上的點(diǎn)應(yīng)符合的幾何條件轉(zhuǎn)化為圖形語言來表達(dá)，感悟“描點(diǎn)法”這一從特殊到一般的常用軌跡繪制方法.同時(shí)，對于繪制的每一個(gè)圖形，檢查它的“完備性”和“純粹性”，體現(xiàn)軌跡概念的嚴(yán)密性.

表3 應(yīng)用三條基本軌跡解決簡單軌跡問題設(shè)計(jì)

實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生雖然有意識地將新的軌跡問題轉(zhuǎn)化為三條基本軌跡，但是對具體轉(zhuǎn)化為哪一條感到茫然，回顧本節(jié)課的應(yīng)用概念部分，筆者雖然對每道例題進(jìn)行了相關(guān)的變式，獲得幾乎和例題相同的軌跡，但是并沒有引導(dǎo)學(xué)生感悟變式和例題之中不變的關(guān)系.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的不僅是提高學(xué)生的解題能力，還意在培養(yǎng)學(xué)生對知識有完整的、成體系的理解和掌握.基于此，對教材中應(yīng)用概念部分進(jìn)行調(diào)整，在分析過程中滲透化歸法.將三條基本軌跡總結(jié)為以下三個(gè)方面，即點(diǎn)點(diǎn)定距可以化歸為圓；點(diǎn)點(diǎn)等距可以化歸為線段的垂直平分線；線線等距可以化歸為角的平分線(或者平行線).

片段：應(yīng)用概念部分

在例題2的變式(1)中，學(xué)生很容易認(rèn)為直線PQ就是所求點(diǎn)的軌跡，仿照例題的思考方式提出問題：直線PQ上的點(diǎn)都滿足條件嗎？可以發(fā)現(xiàn)Q點(diǎn)雖然滿足QA=QB，但此時(shí)等腰三角形卻不成立，所以直線PQ不是所求點(diǎn)的軌跡.

而在例題3的變式(1)中，學(xué)生易將直線OP當(dāng)作所求點(diǎn)的軌跡，仿照例題的思考方式提出問題：雖然直線OP上的點(diǎn)都滿足條件，反過來，是不是所有符合條件的點(diǎn)都在直線OP上呢？所以直線OP也不是所求點(diǎn)的軌跡.

當(dāng)學(xué)生回答問題出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不僅要指出他們的錯(cuò)誤，還要對學(xué)生的答題思路進(jìn)行梳理，幫助他們找到不合邏輯的地方，進(jìn)一步培養(yǎng)他們的邏輯思維能力.

3 結(jié)語

數(shù)學(xué)邏輯推理是由數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引發(fā)的，對于學(xué)生發(fā)展具有十分重要的意義，其培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程.所以，在教學(xué)過程中，要將數(shù)學(xué)邏輯推理和教學(xué)實(shí)踐相融合.在軌跡概念的教學(xué)中，結(jié)合波利亞提出的三大學(xué)習(xí)原則和學(xué)習(xí)階段理論，在概念探索階段，重視情境創(chuàng)設(shè)，從生活到數(shù)學(xué)，從具體到抽象，從特殊到一般，借助合情推理逐步歸納出軌跡的概念；在概念闡釋階段，從三條基本軌跡中分步感受軌跡概念中的“完備性”和“純粹性”，注重突破學(xué)生邏輯推理時(shí)的難點(diǎn)；在概念吸收階段，巧用幾何概念的非標(biāo)準(zhǔn)變式，化歸成點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線等，借助演繹推理解決問題.本節(jié)課的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生更深刻地理解軌跡的意義，提升學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和良好的思維習(xí)慣.