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    注重方法滲透 落實(shí)素養(yǎng)提升
    ——以《二次函數(shù)》章起始課為例*

    2022-11-16 14:12:36魏玉華江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)215011
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年1期
    關(guān)鍵詞:二次函數(shù)矩形函數(shù)

    魏玉華 (江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 215011)

    章起始課是章節(jié)的第一課,作為一章之首,需要執(zhí)教者在系統(tǒng)思維和整體觀念的引領(lǐng)下,對整章內(nèi)容做一個提綱挈領(lǐng)的設(shè)計(jì),使學(xué)生對后續(xù)一章的學(xué)習(xí)有一個全局認(rèn)識.2021年5月,筆者有幸參加了蘇州市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比活動,比賽課題為蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊《5.1二次函數(shù)》章起始課.筆者經(jīng)歷了認(rèn)真研讀教材、精心設(shè)計(jì)教學(xué)、專家聽課修改、正式參加比賽、賽后及時反思等過程,對章起始課,尤其是《二次函數(shù)》章起始課,有了更清晰、深入的認(rèn)識和理解.

    1 章起始課的研究現(xiàn)狀

    在實(shí)際教學(xué)中,章起始課的實(shí)際開展情況和研究現(xiàn)狀并不樂觀.2017年江蘇省數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比中有過《分式》的章起始課,在平時的示范課、隨堂課中則很少涉及章起始課.筆者在各類視頻網(wǎng)站搜索《二次函數(shù)》視頻課,很少涉及包含章頭圖內(nèi)容的章起始課視頻.在中國知網(wǎng)、萬方數(shù)據(jù)庫等網(wǎng)站上搜索“章起始課”“章頭圖”“章引言”等關(guān)鍵詞,僅找到30余篇與章起始課相關(guān)的文章,其中有9篇為高中數(shù)學(xué)章起始課的研究,11篇與初中數(shù)學(xué)章起始課相關(guān),涉及到的課題較少,主要為一元二次方程、分式、反比例函數(shù)、平面直角坐標(biāo)系等.其余研究重在章起始課的教學(xué)功能、教育屬性、心理學(xué)意義等.

    2 章起始課的研究價值

    章起始課與傳統(tǒng)第一課的區(qū)別在于對章頭圖和章引言的運(yùn)用以及對一章的引領(lǐng)和示范.章頭圖和引言有以下教學(xué)功能[1]:了解學(xué)習(xí)背景,增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣;優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),布局知識網(wǎng)絡(luò);理解學(xué)習(xí)方法,養(yǎng)成學(xué)習(xí)思路與學(xué)習(xí)能力;應(yīng)用知識解答實(shí)際問題,學(xué)有所用;對學(xué)生進(jìn)行德育教育,提升個人修養(yǎng)和民族榮譽(yù)感;認(rèn)識世界和發(fā)展之窗,與世界接軌.可見章起始課對學(xué)生的知識理解、情感態(tài)度、能力培養(yǎng)、思維提升等方面都有重要作用.而教師在研讀教材章頭圖和章引言的過程中,對教材編者的意圖產(chǎn)生全面的理解和認(rèn)識,這種蘊(yùn)含在章頭圖和章引言中的編者意圖無形中指引著教學(xué)設(shè)計(jì)的方向和思路.

    3 章起始課的課例分析

    《5.1二次函數(shù)》是在學(xué)生已經(jīng)有了函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)相關(guān)知識和研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開的.通過類比展開對二次函數(shù)相關(guān)知識的研究能加深學(xué)生對函數(shù)研究方法的認(rèn)識,為后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用奠定基礎(chǔ),也為后續(xù)研究其他函數(shù)提供范式.

    3.1 情境創(chuàng)設(shè),導(dǎo)入新知

    展示從蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)到常熟外國語初級中學(xué)的百度地圖搜索結(jié)果,提出問題:

    問題1從蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)前往常熟市外國語初級中學(xué),在西環(huán)路某一段上,汽車以80 km/h 的速度勻速行駛.隨著時間t(h)的變化,汽車行駛的路程s(km)怎樣變化?

    問題2在蘇虞張公路的某一段上,汽車以速度v(km/h)行駛了3 km.隨著速度v(km/h)的變化,汽車在該段所用時間t(h)怎樣變化?

    問題3途中有一段下坡路,汽車在下坡時速度為v(km/h),在坡面上行駛的路程為s(km),隨著時間t(h)的變化,汽車的速度v(km/h)怎樣變化?

    追問1 汽車在下坡時行駛的路程s(km)隨著時間t(h)的變化會怎樣變化?

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 播放小車沿斜面下滑的視頻.

    追問2 觀察表格,汽車在下坡時行駛的路程s(km)與時間t(h)的關(guān)系是之前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)嗎?畫出圖象,觀察有什么特征.

    時間t/s0.10.20.30.40.5…路程s/cm0.20.81.83.25.0…

    追問3 回憶以往研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),如何研究一個函數(shù)?

    設(shè)計(jì)意圖通過問題1和2回憶函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念,為后續(xù)類比學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念做鋪墊.在第3個下坡情境中,通過問題串的設(shè)計(jì)以及觀看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的視頻,讓學(xué)生直觀感受下坡時速度越來越快,通過數(shù)據(jù)的展示、學(xué)生動手畫圖的過程,體會這是一個函數(shù),但不是熟悉的函數(shù).

    3.2 類比學(xué)習(xí),建構(gòu)新知

    展示校園一角的圖片(圖2):

    圖2

    1.水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展,圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為.

    2.學(xué)校想再建一個周長為20 m的矩形水池,水池的面積S(m2)與一邊長x(m)之間的函數(shù)關(guān)系為.

    3.如圖3,外側(cè)大矩形ABCD長10 m,寬 3 m,水池的邊緣是等寬的,寬度均為xm,則內(nèi)部小矩形EFGH的面積y(m2)與x之間的函數(shù)關(guān)系為.

    圖3

    問題S=πr2,S=-x2+10x,y=4x2-26x+30三個表達(dá)式有什么共同特征?

    小組討論:類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),思考二次函數(shù)的一般式及自變量取值范圍.

    追問1 上述所得的三個函數(shù)關(guān)系式中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是什么?

    追問2 上述所得的三個函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍分別是什么?

    設(shè)計(jì)意圖將剛開始的行程情境進(jìn)一步延伸至學(xué)生熟悉的校園:矩形水池.通過三個問題串的設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生感受兩個變量之間的關(guān)系,并觀察歸納共同特征,引出二次函數(shù).

    3.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用,鞏固新知

    小組活動每人寫出一個二次函數(shù),并請你的同伴說出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

    例題如圖4,在長300 m、寬90 m的矩形廣場ABCD內(nèi)修建等寬的十字形道路,設(shè)道路寬為x(m),綠地面積為y(m2).寫出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式及自變量的取值范圍.

    圖4

    設(shè)計(jì)意圖該環(huán)節(jié)具有一定的開放性和趣味性,通過設(shè)置有針對性的活動,在應(yīng)用中進(jìn)一步強(qiáng)化概念的認(rèn)識,教師適時舉出正例與反例,讓學(xué)生辨析,進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延.

    3.4 拓展提升,深化新知

    如圖5,用長50 m的護(hù)欄圍成一塊一側(cè)靠墻的矩形花園,墻的長度是20 m.請利用本節(jié)課所學(xué),提出一個問題并解決.

    圖5

    設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)延續(xù)矩形背景,條件和問題都具有一定的開放性.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、提出問題、解決問題的能力.

    4 章起始課教學(xué)策略的思考

    4.1 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境,順暢教學(xué)流程

    對于章頭圖的作用,不難定位.如何呈現(xiàn)使其發(fā)揮作用,則是備課時遇到的難點(diǎn).在章頭圖中有一個小球沿斜面下滑的實(shí)驗(yàn),具體設(shè)計(jì)時遇到了兩個問題:首先,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對精確度要求很高,普通的工具在測量時間和距離時有誤差;其次,在引入時直接呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)有些突兀,且與后續(xù)內(nèi)容的銜接不夠順暢自然.

    對于第一個問題,筆者想到了物理實(shí)驗(yàn)中的打點(diǎn)計(jì)時器,它每隔0.02秒打一次點(diǎn),小車拖動紙帶沿斜面下滑,經(jīng)過打點(diǎn)計(jì)時器,會在紙帶上打下一系列點(diǎn),這些點(diǎn)既記錄了行駛的時間,又記錄

    了對應(yīng)的距離.對于第二個問題,以筆者駕車從自己學(xué)校到參賽學(xué)校這一真實(shí)情境開場,設(shè)置三個小場景,并將第三個小場景依次抽象成實(shí)驗(yàn)場景、數(shù)學(xué)場景.在這一系列思考與轉(zhuǎn)化的過程中,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的重要方法.

    4.2 精心設(shè)計(jì)問題,引發(fā)深度思考

    本節(jié)課情境貫穿始終,通過層層遞進(jìn)的問題串的設(shè)計(jì),利用同一背景問題的不斷變式與追問將本節(jié)內(nèi)容順暢、自然地銜接起來.問題從簡單到復(fù)雜,思維由低階向高階.情境引入環(huán)節(jié)是學(xué)生熟悉的行程問題,在三個問題的解決中完成知識回顧與新課引出.接著將行程問題延伸至校園一角,選取邊緣等寬的矩形水池,通過對水滴落入池中圓的面積與半徑之間的函數(shù)關(guān)系,周長固定的矩形的面積與一邊長的函數(shù)關(guān)系,雙矩形問題里中間小矩形面積與邊緣寬之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探究,得到三個具體的二次函數(shù)表達(dá)式,通過觀察、歸納等活動得出二次函數(shù)的概念及相關(guān)概念.在例題鞏固環(huán)節(jié),繼續(xù)以矩形為背景,進(jìn)行變式.在拓展延伸環(huán)節(jié),依然是依托矩形背景,選取一邊靠墻的矩形花園,讓學(xué)生設(shè)置條件,提出問題,并嘗試解決.

    尤其在拓展延伸環(huán)節(jié),學(xué)生的思維是開放的、發(fā)散的,同一問題的解決方式也是多樣的.如很多學(xué)生提出矩形面積如何表示的問題.此處有兩種設(shè)未知數(shù)的方法,可以設(shè)AB,也可以設(shè)BC.兩種方式對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式不同,自變量的取值范圍也不一樣,但本質(zhì)卻是相同的,都表示了這個矩形的面積.還有的學(xué)生會進(jìn)一步提出面積何時最大的問題,或者面積何時為某個定值,或者面積何時是某個具體范圍,那么此時二次函數(shù)問題又轉(zhuǎn)化為方程和不等式的問題.自然地將接下來要研究的問題提了出來,完善本章的知識結(jié)構(gòu)圖.

    4.3 注重方法滲透,落實(shí)素養(yǎng)提升

    章起始課具有統(tǒng)領(lǐng)全章的重要作用,對于二次函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生是有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的.因此,本節(jié)課筆者采用探究式學(xué)習(xí),啟發(fā)式教學(xué),突出學(xué)生的“探”和教師的“導(dǎo)”.通過熟悉的情境、層層遞進(jìn)的問題設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生求知欲,借助多媒體、實(shí)驗(yàn)演示、小組活動,讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下參與探究活動,并讓學(xué)生充分經(jīng)歷類比過程,切身體驗(yàn)和感悟,又從理性的角度進(jìn)行分析.在回顧反思環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)了什么?為什么學(xué)?怎么學(xué)?三個層面進(jìn)行概括和歸納,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)(圖6),提高學(xué)生推理、歸納、表達(dá)的能力,真正落實(shí)核心素養(yǎng)的提升.

    圖6

    以情境之土,育問題之花,結(jié)素養(yǎng)之果.在實(shí)際教學(xué)中,教師要善于挖掘身邊的真實(shí)情境,精心設(shè)計(jì)觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的優(yōu)質(zhì)問題,眼中既有樹木,更有森林,在課堂教學(xué)中落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升和關(guān)鍵能力的發(fā)展.

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