因果作用評價(jià)與因果關(guān)系發(fā)現(xiàn)

英乃文 苗旺 耿直

（1.北京大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100871 ；2.北京工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100048）

1 引言

因果關(guān)系是推動重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，深度挖掘因果作用的機(jī)制更是科學(xué)研究所尋求的“可解釋性”的重要一環(huán)。因果推斷是利用數(shù)據(jù)評價(jià)變量之間因果作用、學(xué)習(xí)因果關(guān)系的統(tǒng)計(jì)理論和方法。近年來，有關(guān)因果推斷的理論、方法和應(yīng)用的研究成果多次獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎和圖靈獎。大數(shù)據(jù)和人工智能研究向因果推斷提出了越來越多的挑戰(zhàn)性問題，因果推斷已成為人工智能領(lǐng)域有關(guān)不確定性推理的關(guān)鍵研究方向之一。現(xiàn)代大數(shù)據(jù)為因果推斷提供了豐富的應(yīng)用場景，人們需要一場“因果革命”來推動科學(xué)發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，而非單純地從事物之間相關(guān)性的角度進(jìn)行科學(xué)研究。利用隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以有效地評估因果作用［1］。在醫(yī)學(xué)中，隨機(jī)化試驗(yàn)被視為評價(jià)藥物有效性和安全性的“金標(biāo)準(zhǔn)”。在社會科學(xué)中，隨機(jī)化試驗(yàn)也有越來越廣泛的應(yīng)用，例如，阿比吉特·巴納吉、埃絲特·迪弗洛和邁克爾·克雷默使用隨機(jī)化試驗(yàn)研究發(fā)展中國家的教育問題和貧困問題［2］，相關(guān)的研究成果獲得了2019 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。在許多實(shí)際問題中，由于成本、倫理問題等限制，無法開展隨機(jī)化試驗(yàn)，只能使用觀察性研究得到的數(shù)據(jù)探索因果問題。觀察性研究中必須考慮存在那些可能的協(xié)變量，它們既與暴露因素（或接受的處理）相關(guān)，又與結(jié)果變量相關(guān)，這些協(xié)變量稱為混雜因素（Confounders）。例如，在研究教育程度對收入的影響時(shí)，家庭背景和社會環(huán)境等變量都是重要的混雜因素?；祀s因素導(dǎo)致處理組和對照組個(gè)體存在差異，導(dǎo)致觀察數(shù)據(jù)中的相關(guān)性和真正的因果作用有偏差，這是觀察性研究的核心難題。刻畫混雜因素問題的著名例子是Yule-Simpson 悖論——處理和結(jié)果的相關(guān)性會由于調(diào)整混雜因素而發(fā)生改變或逆轉(zhuǎn)。更具有挑戰(zhàn)性的是，在現(xiàn)代很多大數(shù)據(jù)研究中并不存在合理的對照組。大數(shù)據(jù)的一個(gè)重要來源是關(guān)于某一區(qū)域或群體的長時(shí)間、多維度的宏觀數(shù)據(jù)，例如，每個(gè)城市多年以來每天的出生、患病、死亡人數(shù)等數(shù)據(jù)。在這些宏觀數(shù)據(jù)中，人們關(guān)心的是在某一群體里施行的宏觀干預(yù)措施的作用，例如，在傳染病疫情防控中，評價(jià)對疫情嚴(yán)重城市采取的防控措施是否有效。是否能找到恰當(dāng)?shù)膶φ帐怯^察性研究的關(guān)鍵，如何科學(xué)地評價(jià)無合理對照研究中的因果作用更加具有挑戰(zhàn)性。

科學(xué)研究不僅關(guān)心因果作用大小，進(jìn)一步，還需要關(guān)心因果作用的機(jī)制。例如，關(guān)于吸煙和肺癌的研究，人們不僅關(guān)心吸煙是否導(dǎo)致肺癌，還關(guān)心吸煙是否通過血壓、肺部尼古丁含量等中間變量引起肺癌。因果網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)是挖掘多個(gè)變量之間因果機(jī)制的因果推斷方法，但是因果網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)通常不能由數(shù)據(jù)唯一確定，而只能得到一些網(wǎng)絡(luò)的Markov等價(jià)類，同一等價(jià)類中的因果關(guān)系和混雜結(jié)構(gòu)不完全相同，這為多變量之間的因果關(guān)系學(xué)習(xí)和因果作用評價(jià)帶來挑戰(zhàn)。因果推斷的另一個(gè)研究內(nèi)容是反事實(shí)歸因。例如，一位在石棉工廠工作的60 歲工人得了肺癌，他患肺癌由石棉引起的概率有多大。這是一個(gè)反事實(shí)推理，需要想象：“假若該工人沒有在石棉廠工作，是否就不會患肺癌？”法庭上利用證據(jù)如何歸因和量刑，如何根據(jù)一個(gè)人出現(xiàn)的各種癥狀和醫(yī)學(xué)檢查結(jié)果進(jìn)行疾病診斷，一個(gè)系統(tǒng)不能正常工作，更可能是由于哪個(gè)部件發(fā)生了故障等，都需要進(jìn)行歸因分析。但目前常用的方法都是基于貝葉斯條件概率和相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)方法，缺乏基于因果關(guān)系的歸因分析方法。大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)驅(qū)動及統(tǒng)計(jì)學(xué)理論支撐的定量化歸因方法將會越來越重要。

2 因果模型與因果作用的定義

潛在結(jié)果模型由內(nèi)曼［3］在設(shè)計(jì)農(nóng)業(yè)隨機(jī)試驗(yàn)比較不同作物品種的產(chǎn)量時(shí)引入，并由魯賓［4］進(jìn)一步延拓到觀察性研究中。潛在結(jié)果模型能夠直接和清晰地定義因果作用和表述因果假定，目前已經(jīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)、流行病學(xué)以及社會科學(xué)研究中得到了廣泛的認(rèn)可。用X表示一個(gè)處理或暴露變量，Y表示觀察到的結(jié)果變量，用Yx表示個(gè)體如果接受處理X ＝x后的結(jié)果，稱為潛在結(jié)果（Potential Outcome）。潛在結(jié)果模型一般需要個(gè)體處理值穩(wěn)定假定：每個(gè)個(gè)體的潛在結(jié)果不受其他個(gè)體處理的影響，且每個(gè)個(gè)體在每一種處理下只有一個(gè)潛在結(jié)果；還需要一致性假定［5］：當(dāng)X ＝x時(shí)，Y ＝Y(jié)x。對任意兩種不同的處理水平x和x＇，可以通過潛在結(jié)果之差定義處理對結(jié)果的因果作用。為了研究某種處理的影響，人們常常關(guān)心處理在所研究總體上的平均因果作用（Average Causal Effect，ACE）：

通?？紤]一個(gè)二值變量（X＝1 或0）的因果作用。因果推斷的核心目標(biāo)是識別和估計(jì)因果作用，識別性是指感興趣的因果作用能夠從觀測數(shù)據(jù)分布中唯一決定。由于對每個(gè)個(gè)體，潛在結(jié)果｛Y1，Y0｝ 不能同時(shí)觀測到，為了識別因果作用通常需要額外的假定。

珀?duì)柦柚邢驘o環(huán)圖（Directed Acyclic Graph，DAG）表示變量間的因果關(guān)系［6］，用do 算子形式化定義因果概念，根據(jù)圖結(jié)構(gòu)建立因果作用的識別和估計(jì)理論，建立了因果圖模型。這項(xiàng)工作獲得了2011 年的圖靈獎。一個(gè)因果圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量，節(jié)點(diǎn)之間的有向邊表示由原因到結(jié)果的因果關(guān)系，一個(gè)沒有環(huán)的有向圖稱為有向無環(huán)圖。對于一組可觀測的變量X1，X2，…，Xn，用pai表示變量Xi的父節(jié)點(diǎn)變量的集合。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的取值由它的父節(jié)點(diǎn)pai和隨機(jī)誤差εi的函數(shù)確定Xi ＝fi（pai，εi）。給定一個(gè)有向無環(huán)圖，那么（X1，…，Xn）的聯(lián)合概率分布為：

珀?duì)柺褂胐o 算子表示外部干預(yù)。對某個(gè)變量用do（Xi ＝x＇i）表示強(qiáng)制設(shè)定其值為x＇i，即，刪除指向被干預(yù)變量的所有有向邊，并將該變量的值設(shè)置為x＇i。干預(yù)后的聯(lián)合分布變?yōu)椋?/p>

其中，I（·）為示性函數(shù)。特別地，原因X對結(jié)果Y的因果作用為。與條件概率不同，do 算子使用外部干預(yù)X ＝x下Y的分布形式化定義了X對Y的因果作用，與潛在結(jié)果模型定義的因果作用具有等價(jià)性［7，8］。

3 代理推斷

3.1 平均因果作用的代理推斷

當(dāng)混雜因素可觀測時(shí)，羅森鮑姆和魯賓［9］提出的可忽略性假定和傾向得分是調(diào)整混雜因素和識別因果作用的最重要工具。如果所有混雜因素都被觀測到，那么條件在混雜因素的每一層上，處理可以看作隨機(jī)分配的，因此因果作用可識別。在可忽略性假定下，匹配、逆概率加權(quán)估計(jì)、回歸等方法已廣泛用于因果作用的估計(jì)。但是，如果存在未觀測的混雜因素，可忽略性假定不成立，因果作用不可識別。工具變量方法［10，11］是調(diào)整未觀測混雜因素的一種重要方法，在社會經(jīng)濟(jì)和生物醫(yī)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，Angrist 和Imbens 因?yàn)楣ぞ咦兞糠椒ǚ矫娴墓ぷ鳙@得了2021 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，但是該方法需要較強(qiáng)假定，弱工具變量或無效工具變量仍然會導(dǎo)致因果推斷的偏差。最近研究者提出和發(fā)展了代理推斷方法［12～15］，該方法有效利用觀察性數(shù)據(jù)中存在的混雜代理變量做混雜因素調(diào)整，識別因果作用，已被用于平均因果作用的推斷、縱向研究、合成對照、測試-陰性研究中。以下我們簡要回顧代理推斷方面的研究。

代理推斷（Proximal Inference）方法是文獻(xiàn)［12］提出的處理未觀測混雜因素的方法，其原理是在一定條件下，觀測到的協(xié)變量可以作為未觀測混雜因素的代理變量（Proxies），進(jìn)而可消除混雜因素導(dǎo)致的偏差并識別因果作用。用U表示未觀測的混雜因素，我們把觀測到的協(xié)變量分為三類：①處理變量和結(jié)果變量的共同原因V；②處理誘導(dǎo)的混雜代理變量（Treatment-inducing Confounding Proxies）Z；③結(jié)果誘導(dǎo)的混雜代理變量（Outcome-inducing Confounding Proxies）W，這三類協(xié)變量滿足如下條件。下面用表示給定U條件下X與Y獨(dú)立。

假定3.1（潛在可忽略性）：；對任意x，，f是概率密度函數(shù)。

假定3.2（混雜代理）：；。

假定3.3（結(jié)果混雜橋函數(shù)）：存在函數(shù)h，對所有x均有：

假定3.4（處理混雜橋函數(shù)）：存在函數(shù)q，對所有x均有：

假定3.5（完備性）：

（1）對任 意v，x及所有平方可積函數(shù)g，，V ＝v，X ＝x｝＝0 當(dāng)且僅當(dāng)g ＝0。

（2）對任 意v，x及所有平方可積函數(shù)g，，V ＝v，X ＝x｝＝0 當(dāng)且僅當(dāng)g ＝0。

（3）對任 意v，x及所有平方可積函數(shù)g，，V ＝v，X ＝x｝＝0 當(dāng)且僅當(dāng)g ＝0。

（4）對任 意v，x及所有平方可積函 數(shù)g，，V ＝v，X ＝x｝＝0 當(dāng)且僅當(dāng)g ＝0。

假定3.1 表示U包含了影響X和Y的所有未觀測混雜因素，且處理組和對照組人群有充分的重疊。在這個(gè)假定下，有，U，V）｝，但是，由于U未觀測，無法直接從觀測數(shù)據(jù)中計(jì)算E（Yx）。假定3.2 刻畫了混雜代理變量滿足的條件，要求Z對（W，Y）沒有直接因果作用，X對W沒有直接因果作用，而在觀測數(shù)據(jù)中，Z和（W，Y）以及X和W的關(guān)聯(lián)性完全由混雜因素U導(dǎo)致。這樣的混雜代理變量在流行病學(xué)中也稱為陰性對照變量，Z稱為陰性對照暴露（Negative Control Exposure），W稱為陰性對照結(jié)果（Negative Control Outcome）。陰性對照或混雜代理的例子在實(shí)際研究中經(jīng)常存在，例如，在空氣污染對死亡率影響的時(shí)間序列研究中，未來的空氣污染水平可以作為陰性對照暴露，過去的死亡率可以作為陰性對照結(jié)果［16，17］。工具變量可以看作陰性對照暴露的特例。在流行病學(xué)研究中，陰性對照變量曾被用于檢驗(yàn)混雜因素是否存在，但通常需要較強(qiáng)的模型假定［16，18］。假定3.3 引入混雜橋函數(shù)（Confounding Bridge Function）h刻畫U對Y和W的混雜作用的關(guān)系，類似地，假定3.4 使用混雜橋函數(shù)q刻畫U對X和Z的混雜作用的關(guān)系。混雜橋函數(shù)是代理推斷的一個(gè)關(guān)鍵概念，實(shí)際上刻畫的不僅是混雜作用之間的關(guān)系，還代表了變量之間因果作用，以及觀測到的關(guān)聯(lián)性之間的關(guān)系?；祀s橋函數(shù)不需要已知，可以從觀測數(shù)據(jù)識別。

定理3.1［12，15］

（1）在假定3.1～3.3 下，有：

在假定3.5（1）也成立時(shí)，E（Yx）可由任意滿足式（1）的函數(shù)h識別，即：

（2）在假定3.1～3.2 和假定3.4 下，有：

在假定3.5（2）也成立時(shí)，E（Yx）可由任意滿足式（2）的函數(shù)q識別，即：

其中，I（X ＝x）是示性函數(shù)。

定理3.1 表明混雜橋函數(shù)也刻畫了觀測數(shù)據(jù)之間由于混雜因素導(dǎo)致的虛假相關(guān)性，可以使用觀測數(shù)據(jù)解方程（1）和（2）得到混雜橋函數(shù)h和q，然后識別潛在結(jié)果期望或因果作用。定理3.1 并不需要h和q的唯一性，方程（1）和（2）的所有解都可以識別平均因果作用。特別地，在假定3.5（3）（4）也成立時(shí)，混雜橋函數(shù)h和q可由觀測數(shù)據(jù)唯一確定。完備性假定是識別性問題中常見的假定，許多常用的參數(shù)或半?yún)?shù)模型滿足完備性條件，如指數(shù)族分布［19］。非參數(shù)模型中的完備性條件可參見文獻(xiàn)［20］。在代理推斷問題中，完備性假定在離散和連續(xù)情形有相應(yīng)解釋［15］。

定理3.1 對觀測數(shù)據(jù)的分布沒有約束，但在實(shí)際問題中，可以對混雜橋函數(shù)指定一個(gè)參數(shù)模型，利用廣義矩等方法估計(jì)混雜橋函數(shù)，然后估計(jì)因果作用。在一定正則條件下可以證明相合性和漸近正態(tài)性。文獻(xiàn)［13］［15］進(jìn)一步建立了代理推斷的半?yún)?shù)理論和雙穩(wěn)健估計(jì)。

3.2 合成對照的代理推斷

在一些觀察性研究中，研究目標(biāo)是考察干預(yù)措施對大型的實(shí)體的因果作用，例如，提高煙草稅收對某個(gè)國家或地區(qū)煙草消費(fèi)的影響，東德西德合并對西德經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。在這類研究中，往往只有一個(gè)個(gè)體接受處理，而作為對照的個(gè)體都與接受處理的個(gè)體有較大差異，由于時(shí)間趨勢的影響，接受處理的個(gè)體在處理前后的差異并不等同于因果作用。這種比較案例研究在政治學(xué)、公共衛(wèi)生和經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域有重要應(yīng)用。

為了消除混雜因素和時(shí)間趨勢的影響，文獻(xiàn)［21］使用合成對照（Synthetic Control）方法，將多個(gè)對照個(gè)體加權(quán)組合成一個(gè)新的虛擬對照，用來近似處理個(gè)體假如沒有接受處理的狀態(tài)，基于處理個(gè)體與合成對照的比較評價(jià)干預(yù)措施對處理個(gè)體的因果作用。假定數(shù)據(jù)由個(gè)體i ＝0，1，…，N在t ＝1，…，T共T個(gè)時(shí)期上的觀測組成，令Y（t）和W（it）分別表示處理組個(gè)體和編號為i的對照個(gè)體在時(shí)間t的觀測結(jié)果，處理施加在時(shí)間T0和T0+1 之間，只有個(gè)體i ＝0 接受處理，編號i ＝1，…，N的個(gè)體屬于對照組。令X（t）表示個(gè)體i ＝0 在時(shí)間t接受處理的狀態(tài)，用｛Y1（t），Y0（t）｝ 和｛W1（it），W0（it）｝ 表示相應(yīng)的潛在結(jié)果。

使用一組權(quán)重｛αi｝ 給對照組加權(quán)，并用∑αiW（it）近似Y0（t），從而用Y（t）-∑αiW（it）估計(jì)處理在時(shí)刻t對個(gè)體i ＝0 的因果作用。

估計(jì)權(quán)重｛αi｝ 是合成對照的關(guān)鍵，文獻(xiàn)［21］使用處理前數(shù)據(jù)Y（t）對W（it）做回歸估計(jì)權(quán)重。但這一方法已被指出是有偏的［22］。文獻(xiàn)［23］提出了合成權(quán)重的代理推斷估計(jì)，在如下的假定下，該方法能得到權(quán)重的相合估計(jì)。

假定3.6（交互固定效應(yīng)模型）：對任意t有：

其中，β（t）是未知的隨時(shí)間變化的因果作用；λ（t）是未觀測混雜因素，μ（i）是未知的混雜作用；ε（it），i ＝0，…，N，t ＝1，…，T是隨機(jī)誤差項(xiàng)，滿足

假定3.7（合成對照的存在性）：給定對照組的一個(gè)子集D，存在一組權(quán)重αi（i∈D）使得μ（0）＝

假定3.8（對照個(gè)體無干涉）：令Z（t）＝｛W（jt），j?D｝，W（t）＝｛W（it），i∈D｝，滿足，X（t）＝0｝，t ＝1，…，T0。

假定3.9（完備性）：對所有平方可積函數(shù)g和任意t≤T0，，Z（t）｝＝0 當(dāng)且僅當(dāng)g ＝0。

假定3.6 是合成對照問題中常用的模型，由于未觀測混雜因素λ（t）的存在，接受處理的個(gè)體i ＝0 的結(jié)果在處理前后的差同時(shí)包含處理因果作用和混雜作用。而由于混雜因素對不同個(gè)體的作用不同，使用單個(gè)對照個(gè)體無法消除混雜作用。但在假定3.7 下，可以使用對照組的一個(gè)子集，通過加權(quán)構(gòu)造出一個(gè)虛擬對照，混雜因素對該虛擬對照和處理個(gè)體有相同的作用，因此可以用來消除混雜作用。合成對照的關(guān)鍵在于識別合成權(quán)重｛αi｝ 。可以把W（t）看作結(jié)果誘導(dǎo)的混雜代理，而在對照組中，除了用作合成對照的子集D，對照組的其他不參與合成對照的個(gè)體Z（t）同樣受到混雜因素的作用，但是假定Z（t）和W（t）之間互相沒有直接影響，即假定3.8，那么其余個(gè)體的觀測結(jié)果Z（t）可看作處理誘導(dǎo)的混雜代理。根據(jù)合成對照的存在性，可以把看作是混雜橋函數(shù)，因而可以使用代理推斷的方法識別合成權(quán)重｛αi｝ 。

定理3.2：在假定3.6～3.9 下，對任意t有。其中，αi（i∈D）是方程，Z（t）｝＝0，t≤T0的唯一解。即，αi（i∈D）可識別。

利用觀測數(shù)據(jù)樣本，可以采用廣義矩方法估計(jì)合成權(quán)重和進(jìn)一步估計(jì)因果作用。此外，文獻(xiàn)［23］還建立了非參數(shù)合成對照模型的識別與估計(jì)。

除了平均因果作用評價(jià)與合成對照，代理推斷在生物醫(yī)學(xué)、公共衛(wèi)生和社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域得到快速發(fā)展和應(yīng)用。例如空氣污染對健康影響的研究［17，24］；電子病歷數(shù)據(jù)和疫苗安全性評價(jià)［14］等等。文獻(xiàn)［13］［25］最近將代理推斷方法推廣到更為復(fù)雜的縱向數(shù)據(jù)研究中，其中處理、協(xié)變量和未觀測的混雜因素都是隨時(shí)間變化的，且過去接受的處理會影響觀測或未觀測的時(shí)變協(xié)變量。其識別性和半?yún)?shù)估計(jì)理論可以平行地建立。文獻(xiàn)［26］將代理推斷應(yīng)用于測試-陰性研究（Test-negative Design，TND）。測試-陰性研究是實(shí)踐中評價(jià)傳染病疫苗有效性的一種重要方法。該方法將有相關(guān)癥狀并尋求治療的疑似病例納入研究，通過實(shí)驗(yàn)室檢測確認(rèn)他們是否被感染，通過比較檢測陽性和檢測陰性的兩組人群的疫苗接種率來評價(jià)疫苗有效性。但是這種方法容易受到混雜因素和選擇偏差的影響，論文建立了可以同時(shí)調(diào)整混雜和選擇偏差的代理推斷方法，并應(yīng)用其評價(jià)多個(gè)新冠疫苗的有效性。

4 因果網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與因果作用評價(jià)結(jié)合的方法

傳統(tǒng)的預(yù)測方法，不論是統(tǒng)計(jì)方法還是機(jī)器學(xué)習(xí)方法，都不需要確定各個(gè)變量在因果機(jī)制中的位置，只要利用更多的變量能提高預(yù)測精度就可以了。但是，在因果推斷和決策時(shí)，需要確定各個(gè)變量在因果機(jī)制中的地位。評價(jià)因果作用時(shí)，通常需要已知觀測變量之間的因果關(guān)系。例如正確區(qū)分混雜因素和處理與結(jié)果變量相關(guān)的中間變量。在實(shí)際應(yīng)用中，如果不能正確判斷混雜因素與中間變量，可能會導(dǎo)致錯誤地評價(jià)因果作用。下面以吸煙X與肺癌Y為例，假設(shè)還觀測了第三個(gè)二值變量Z，得到表1 的觀測數(shù)據(jù)。分析該數(shù)據(jù)需要了解變量Z是混雜因素，還是中間變量。

表1 吸煙與肺癌及第三個(gè)變量Z 人數(shù)觀測數(shù)據(jù)

如果把變量Z當(dāng)作混雜因素，例如性別（圖1a）），應(yīng)對它分層分析，得到吸煙對肺癌有正的平均因果作用：

如果把變量Z當(dāng)作中間變量，例如肺中煙油量（圖1b）），那么不應(yīng)分層，正確的吸煙對肺癌的總平均因果作用應(yīng)該是負(fù)的：

圖1 吸煙與肺癌及第三個(gè)變量Z

當(dāng)觀測數(shù)據(jù)包含很多變量，且它們之間的因果關(guān)系未知，可以利用數(shù)據(jù)先確定變量之間的因果關(guān)系。下面我們探討因果網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與因果作用評價(jià)結(jié)合的方法。首先，利用數(shù)據(jù)進(jìn)行因果網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，通常不能確定唯一的因果網(wǎng)絡(luò)，而是得到Markov等價(jià)類，包括若干個(gè)因果網(wǎng)絡(luò)，不能僅利用數(shù)據(jù)進(jìn)一步區(qū)別某些變量之間的因果關(guān)系。圖2a）為一個(gè)生成觀測數(shù)據(jù)的因果網(wǎng)絡(luò)DAG。利用因果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)方法可以得到圖2b）所示的CPDAG，其中有3 條無向邊，要求不能構(gòu)成有向環(huán)或新的V-結(jié)構(gòu)，它們的箭頭方向共6 種組合，對應(yīng)Markov 等價(jià)類的6 個(gè)因果網(wǎng)絡(luò)。

然后，針對等價(jià)類中每個(gè)因果網(wǎng)絡(luò)，確定處理變量X的父節(jié)點(diǎn)集合pa（X）和結(jié)果變量Y的父節(jié)點(diǎn)集合pa（Y）。6 個(gè)因果網(wǎng)絡(luò)中，有4 種可能的（pa（X），pa（Y））對：

最后，根據(jù)得到的（pa（X），pa（Y））對，評價(jià)X對Y的總因果作用和直接因果作用。評價(jià)總因果作用（Total Effect）時(shí)，將pa（X）作為混雜因素：

評價(jià)直接因果作用（Direct Effect），將Z ＝pa（Y）＼｛X｝ 作為混雜因素，切斷X到Y(jié)其他路徑：

注意不能引入新的混雜，例如，在X→Z1←Z2→Y中，不能用Z ＝｛Z1｝ 。假定圖2a）中的因果網(wǎng)絡(luò)表示的是線性的因果結(jié)構(gòu)方程：

圖2 因果網(wǎng)絡(luò)與Markov 等價(jià)類

其中，總因果作用為TE ＝α1，直接因果作用為DE ＝β1。那么，等價(jià)類中6 個(gè)因果網(wǎng)絡(luò)的所有可能的X對Y的總因果作用有4 個(gè)：

這個(gè)集合包含真的總因果作用即β+αγ，但從數(shù)據(jù)無法確定哪個(gè)是真。直接因果作用可以唯一確定，即β。

對于高維變量，學(xué)習(xí)完整的因果網(wǎng)絡(luò)是非常困難的。但僅為了評價(jià)處理變量X對結(jié)果變量Y的因果作用，沒有必要學(xué)習(xí)完整的因果網(wǎng)絡(luò)，只需要學(xué)習(xí)處理變量X和結(jié)果變量Y的父節(jié)點(diǎn)對（pa（X），pa（Y））。利用文獻(xiàn)［27］提出的因果網(wǎng)絡(luò)局部學(xué)習(xí)的MB-by-MB 算法，文獻(xiàn)［28］提出了局部因果網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與因果作用評價(jià)的結(jié)合方法，可以避免學(xué)習(xí)完整的因果網(wǎng)絡(luò)。

5 基于因果推斷的歸因方法

珀?duì)柼岢隽巳斯ぶ悄芤蚬茢嗟娜齻€(gè)層級：基于相關(guān)性的預(yù)測、基于因果作用的決策、基于反事實(shí)的歸因。并指出當(dāng)今大多數(shù)機(jī)器學(xué)習(xí)方法屬于第一層級基于相關(guān)性的預(yù)測。近年來，因果推斷受到了越來越多的關(guān)注，絕大多數(shù)方法是關(guān)于第二層級的因果作用（Effect of Cause）的研究，即評價(jià)干預(yù)決策有什么效果。例如，某種治療方法是否有效、某種暴露環(huán)境是否有致病危險(xiǎn)。關(guān)于第三個(gè)層級的反事實(shí)歸因問題的研究還很少。反事實(shí)歸因的問題是如何評價(jià)結(jié)果的原因（Cause of Effect）。例如，圖3 描繪了兒童白血病與危險(xiǎn)因素的因果網(wǎng)絡(luò)。某兒童患了白血病，已知裝修過房間、接觸過油漆涂料、不愛吃蔬菜和水果。他患白血病應(yīng)該歸因于其中哪一項(xiàng)。在法律、環(huán)境、人工智能、生命科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域利用歸因發(fā)現(xiàn)結(jié)果的原因都有非常重要的意義。

圖3 兒童白血病的危險(xiǎn)因素：家里裝修、接觸油漆涂料、不愛吃蔬菜和水果

目前，大多數(shù)歸因方法是基于相關(guān)性或貝葉斯條件概率的方法。下面簡要說明根據(jù)相關(guān)性、貝葉斯概率和因果作用進(jìn)行歸因的問題。歸因是關(guān)于由某個(gè)個(gè)體的結(jié)果發(fā)現(xiàn)其原因的問題，既需要考慮因果作用，又需要考慮先驗(yàn)概率和條件概率。

首先，討論概率專家系統(tǒng)根據(jù)條件概率推斷原因的可能出現(xiàn)的問題。給定Y ＝1 條件下，計(jì)算Xk＝1 的后驗(yàn)概率：

其與先驗(yàn)概率pr（Xk ＝1）有關(guān)，而Xk不一定會導(dǎo)致Y ＝1。例如，圖4 描述了高血壓的因果網(wǎng)絡(luò)。盡管胸痛X3不是高血壓Y的原因，但出現(xiàn)高血壓Y ＝1時(shí)，胸痛X3＝1 的條件概率可能會比高血壓的原因（不運(yùn)動、心臟?。┑臈l件概率都大：

圖4 高血壓的因果網(wǎng)絡(luò)

而ACE（X3→Y）＝0＜ ACE（X1→Y）和ACE（X2→Y）。貝葉斯條件概率的推理依賴于先驗(yàn)概率，某事件的先驗(yàn)概率大會導(dǎo)致其后驗(yàn)概率較大，但沒有事件之間的因果關(guān)系。

其次，討論根據(jù)因果作用來推斷事件的原因可能出現(xiàn)的問題。例如，污染食品與毒藥都可能致死。毒藥X1致命的因果作用比污染商品X2致命的因果作用大很多。當(dāng)一個(gè)人死亡Y ＝1 時(shí)，在沒有是否服毒的證據(jù)時(shí)，不能將死亡歸因于服毒X1，因?yàn)榉镜南闰?yàn)概率很小。基于因果作用的原因推斷不考慮原因事件的先驗(yàn)概率。

目前，統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域已有很多評價(jià)因果作用的方法，但關(guān)于事件歸因的研究卻未得到應(yīng)有的重視。有少數(shù)學(xué)者探討了如何定義結(jié)果事件的原因的問題。18 世紀(jì)哲學(xué)家休謨，以及后來的劉易斯［29］描述了因果關(guān)系的反事實(shí)定義：假若當(dāng)初事件X沒出現(xiàn)，則隨后的事件Y就不會出現(xiàn)，那么事件X是事件Y的原因。珀?duì)枺?0］形式化定義了反事實(shí)因果概率：

其中，“1”表示事件出現(xiàn)，“0”表示事件未出現(xiàn)。并定義了如下的必要原因的概率（Probability of Necessity）。

在對處理或暴露X進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)的情況，即時(shí)，

原因的概率PC和PN的可識別性比因果作用的可識別性需要更強(qiáng)的條件，即使是隨機(jī)化試驗(yàn)和無混雜因素的情況，原因的概率也不可識別，只能得到其上下界。文獻(xiàn)［31］給出了PC的下界：

文獻(xiàn)［32］將某個(gè)個(gè)體出現(xiàn)的結(jié)果事件和暴露因素作為證據(jù)（X ＝x，Y ＝1），定義了給定證據(jù)下處理X對結(jié)果Y的后驗(yàn)因果作用：

當(dāng)證據(jù)為（x ＝1，Y ＝1）時(shí)，Y ＝1）＝PN。

后驗(yàn)因果作用將如何評價(jià)結(jié)果的原因看為已知證據(jù)下的評價(jià)因果作用的問題。給定證據(jù)為（Y＝1）時(shí)，處理X對結(jié)果Y的后驗(yàn)因果作用為：

文獻(xiàn)［32］進(jìn)一步提出了多個(gè)危險(xiǎn)因素對結(jié)果變量的后驗(yàn)因果作用的定義。令Y為二值結(jié)果變量，X ＝（X1，…，Xp）為p個(gè)二值原因變量，滿足因果排序，即Xj不是Xi的原因（i ＜ j）。記X-k ＝X＼｛Xk｝，X ＝（Ak，Xk，Dk）。令x ＝（x1，…，xp）x＇＝（x＇1，…，x＇p）表示xi≤x＇i，對任意i。給定證據(jù)E＝e，其中變量集合E為變量X和Y的子集，后驗(yàn)因果作用：

表示根據(jù)觀測到的證據(jù)E ＝e，度量Xk導(dǎo)致結(jié)局Y ＝1的因果作用。特別地，p ＝1 時(shí)，

后驗(yàn)因果作用的識別假定沒有未觀測的混雜因素。并假定單調(diào)性：

（1）X有單調(diào)性：對，有（Xi）Ai ＝a*i≤（Xi）Ai ＝ai（i ＞k）。

（2）Y有單調(diào)性：對，有YX ＝x*≤YX ＝x。

在兒童白血病的歸因問題中，X有單調(diào)性意味著由于家裝導(dǎo)致接觸油漆涂料的單調(diào)性：（X2）X1＝0≤（X2）X1＝1。Y有單調(diào)性意味著家裝、接觸油漆涂料和不愛吃蔬菜水果對白血病沒有預(yù)防性：YX1＝0，X2＝0，X3＝0≤YX1＝0，X2＝0，X3＝1≤YX1＝0，X2＝1，X3＝1≤YX1＝1，X2＝1，X3＝1，YX1＝0，X2＝0，X3＝0≤YX1＝1，X2＝0，X3＝0≤YX1＝1，X2＝0，X3＝1≤YX1＝1，X2＝1，X3＝1，等。

在單調(diào)假定下，可以得到下面等式：

進(jìn)一步在無混雜假定下，上面潛在結(jié)果YXk ＝0的概率可識別

這里ck+1：p ＝（ck+1，…，cp）。

當(dāng)只觀測到原因變量X的子集X＇時(shí)，證據(jù)（X＇＝x＇，Y ＝1）的后驗(yàn)因果作用等于

有關(guān)后驗(yàn)因果作用的其他應(yīng)用可參見文獻(xiàn)［32］。

6 結(jié)束語

除了本文已介紹的代理推斷、因果網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)和歸因問題，因果推斷研究的中介分析（Mediation Analysis）、干涉分析（Interference）、數(shù)據(jù)融合（Data Fusion）、選擇偏差（Selection Bias）和個(gè)體化處理（Individualized Treatment Regime）等在社會經(jīng)濟(jì)、生物醫(yī)學(xué)研究中都有很重要的應(yīng)用。限于文章篇幅，未一一述及?？傊蚬茢酁榭茖W(xué)研究中評價(jià)因果作用、發(fā)現(xiàn)因果關(guān)系、挖掘因果機(jī)制、反事實(shí)歸因提供了一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、可行的理論與方法，因果推斷與機(jī)器學(xué)習(xí)等方法相結(jié)合將大大提高人工智能的可解釋性、可遷移性和穩(wěn)健性；因果推斷與應(yīng)用學(xué)科的前沿發(fā)展相結(jié)合，將推動各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域?qū)σ蚬麢C(jī)制的深度認(rèn)識。因果推斷從理論走向應(yīng)用面臨著相關(guān)領(lǐng)域中許多挑戰(zhàn)問題，如何確定混雜因素、如何找對照群體、如何找工具變量、如何利用數(shù)據(jù)之外的領(lǐng)域知識等。在深化因果推斷理論方法研究的同時(shí)，需要加強(qiáng)因果推斷在現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用研究。