動力特征解靈敏度分析的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域判別

李佳靖 朱宏平 翁順 宋曉東 楊國靜 顏永逸

摘要：實際工程結(jié)構(gòu)體量大、病害多，各局部損傷對結(jié)構(gòu)整體性能影響差異大，關(guān)鍵區(qū)域的微小損傷將威脅整體結(jié)構(gòu)安全。因此，有必要判定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵區(qū)域，使結(jié)構(gòu)監(jiān)測、評估、管養(yǎng)主次分明，重點突出。提出了加權(quán)融合多階動力特征解靈敏度的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域判別方法?；谡裥唾|(zhì)量參與系數(shù)確定了特征解數(shù)目和各階特征解的權(quán)重系數(shù)，建立了融合多階歸一化的加權(quán)特征值和特征向量靈敏度的靈敏度指標(biāo)，對靈敏度指標(biāo)求二階范數(shù)得到關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)，作為關(guān)鍵區(qū)域判定依據(jù)。該判定方法是一種定量的判定依據(jù)。將該方法運用于一榀平面框架和一座上承式拱橋，結(jié)果表明，框架結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵區(qū)域為梁柱節(jié)點和支座附近的柱子區(qū)域，拱橋關(guān)鍵區(qū)域為拱圈的拱腳區(qū)域；另外，結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域并非一成不變，局部損傷會導(dǎo)致原本不關(guān)鍵區(qū)域變成關(guān)鍵區(qū)域。研究的關(guān)鍵區(qū)域判別方法對提高健康監(jiān)測和評估效率、節(jié)約人力物力有重要意義。

關(guān)鍵詞：健康監(jiān)測；靈敏度分析；動力特征解；關(guān)鍵區(qū)域；構(gòu)件重要性

中圖分類號： TU311.3；U447??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1181-07

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.016

引言

目前，工程結(jié)構(gòu)設(shè)計是基于結(jié)構(gòu)在極限承載力狀態(tài)下或正常使用狀態(tài)下的構(gòu)件設(shè)計。這種設(shè)計沒有考慮到不同構(gòu)件對結(jié)構(gòu)性能的不同影響。關(guān)鍵構(gòu)件發(fā)生損傷會比非關(guān)鍵構(gòu)件損傷更能影響結(jié)構(gòu)的性能。例如，關(guān)鍵構(gòu)件產(chǎn)生裂縫和變形，會大大影響結(jié)構(gòu)的正常使用功能和使用舒適度；關(guān)鍵構(gòu)件桿件屈服會嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的極限承載力，甚至引起結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌；關(guān)鍵構(gòu)件剛度降低會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生大的層間變形而進(jìn)入非彈性狀態(tài)。判定不同構(gòu)件的重要性是這類問題研究的基礎(chǔ)。構(gòu)件重要性是指構(gòu)件對整體結(jié)構(gòu)體系性能的影響程度，整體結(jié)構(gòu)性能包括承載力、可靠性、剛度、變形、穩(wěn)定性等多個方面。關(guān)鍵區(qū)域是重要構(gòu)件分布的區(qū)域，對關(guān)鍵區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測、評估、管養(yǎng)，可以使整個過程主次分明、節(jié)約人力物力成本[1]。比如，當(dāng)確定關(guān)鍵區(qū)域后，可以將有限的傳感器布置在關(guān)鍵區(qū)域，從而保證獲得更加準(zhǔn)確的關(guān)鍵區(qū)域損傷信息。傳統(tǒng)上，人們通過結(jié)構(gòu)傳力原理和長期的工程經(jīng)驗判別結(jié)構(gòu)體系中的構(gòu)件重要性。例如，柱子的重要性要超過梁，因此，抗震設(shè)計中強(qiáng)調(diào)強(qiáng)柱弱梁的設(shè)計思想。而對于框架?剪力墻結(jié)構(gòu)，剪力墻是主要的抗側(cè)力構(gòu)件，因此比框架的重要性大。這些判別嚴(yán)重依賴于工程人員的專業(yè)素養(yǎng)和經(jīng)驗。

為了進(jìn)一步量化構(gòu)件重要性評價，柳承茂等[2] 從剛度的角度分析了構(gòu)件重要性程度。構(gòu)件重要性系數(shù)定義為拆除該構(gòu)件而維持結(jié)構(gòu)不變所需要的平衡力大小。該方法沒有考慮外荷載對構(gòu)件重要性判別的影響。葉列平等[3]通過拆除單元對廣義結(jié)構(gòu)剛度的影響大小作為關(guān)鍵單元的判定標(biāo)準(zhǔn)。該方法應(yīng)用于一組分別在地震作用和豎向重力荷載下的平面框架。盧嘯等[4]將廣義剛度法用于分析一座鋼筋混凝土拱橋的關(guān)鍵區(qū)域。為了使該方法適用于連續(xù)體模型，不受單元劃分大小的影響，將計算的單元重要性系數(shù)除以單元的體積。高揚等[5]從拆除單元對結(jié)構(gòu)承載力的影響的角度判定單元的重要性。張雷明等[6]從能量的角度綜合考慮荷載、構(gòu)件幾何拓?fù)潢P(guān)系、構(gòu)件材料屬性，判定結(jié)構(gòu)能量流中的關(guān)鍵路徑上的單元為關(guān)鍵單元。其中，關(guān)鍵單元的重要性排序根據(jù)拆除該單元時整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能儲存變化大小判定。黃冀桌等[7]考慮構(gòu)件在總能量分布中的貢獻(xiàn)和引起的失效面積判定構(gòu)件重要性。蔣淑慧等[8]將單元重要性系數(shù)定義為拆除該單元后結(jié)構(gòu)冗余度標(biāo)準(zhǔn)差與單元冗余度的商，該商值越大，說明該拆除構(gòu)件對結(jié)構(gòu)魯棒性影響越大、重要性越高。楊逢春[9]從單元可靠度對結(jié)構(gòu)可靠度的貢獻(xiàn)來判定單元的重要性，其中，該貢獻(xiàn)值量化定義為單元可靠度重要因子，與結(jié)構(gòu)幾何拓?fù)潢P(guān)系、單元抗力相關(guān)性、單元失效行為等有關(guān)，但方法僅被一個簡單的索穹頂結(jié)構(gòu)驗證。還有其他學(xué)者從整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣的條件數(shù)[10]和行列式[11]、結(jié)構(gòu)幾何不穩(wěn)定性[12]等角度出發(fā)進(jìn)行關(guān)鍵重要構(gòu)件判別。

特征解靈敏度分析[13]是指對結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量關(guān)于單元剛度參數(shù)求一階偏導(dǎo)，反映的是區(qū)域單元剛度變化對結(jié)構(gòu)整體動力特性（頻率和振型）的影響程度。特征解靈敏度分析是一種定量評價單一單元參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)整體性能的影響程度的分析方法，在可識別損傷單元判別[14]、模型修正參數(shù)選擇[15]、傳感器優(yōu)化布置[16?18]方面得到廣泛應(yīng)用，也可以作為關(guān)鍵區(qū)域判定的依據(jù)[19]。結(jié)構(gòu)動力特征解的變化預(yù)示著結(jié)構(gòu)某些區(qū)域發(fā)生了損傷[20]。本研究將從結(jié)構(gòu)損傷的角度出發(fā)利用特征解靈敏度分析從定量的角度判定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵區(qū)域。另外，結(jié)構(gòu)在全壽命周期中會產(chǎn)生變化，例如結(jié)構(gòu)發(fā)生局部損傷，這將導(dǎo)致關(guān)鍵區(qū)域分布產(chǎn)生變化。本文將進(jìn)一步探討結(jié)構(gòu)損傷對結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域分布的影響。提出的方法將應(yīng)用于一榀平面框架和一座上承式拱橋模型。

1 關(guān)鍵區(qū)域判別方法

任何結(jié)構(gòu)都可以看作是由剛度、質(zhì)量、阻尼等結(jié)構(gòu)特征參數(shù)組成的動力系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)一旦出現(xiàn)損傷或其他異常，其結(jié)構(gòu)特性（振型、頻率、阻尼等）也將發(fā)生改變。因此，動力特性改變可視為結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生變化的標(biāo)志，可以利用其變化對結(jié)構(gòu)進(jìn)行診斷，例如結(jié)構(gòu)剛度的降低會引起結(jié)構(gòu)自振頻率的降低，結(jié)構(gòu)局部振型的改變可能預(yù)示著結(jié)構(gòu)局部損傷。結(jié)構(gòu)整體特征參數(shù)對單元剛度的靈敏度系數(shù)大小反映了該單元對損傷的敏感程度。通常，易發(fā)生損傷或已經(jīng)發(fā)生損傷的部位，其特征解靈敏度系數(shù)會更大。因此，通過實時動態(tài)計算結(jié)構(gòu)單元的靈敏度系數(shù)，可以確定結(jié)構(gòu)容易發(fā)生損傷的關(guān)鍵區(qū)域，即結(jié)構(gòu)探傷和維護(hù)的關(guān)鍵區(qū)域。

本文研究對象為線彈性結(jié)構(gòu)，線彈性結(jié)構(gòu)的固有振動方程有以下形式：

式中 M 為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；K 為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；λ i為結(jié)構(gòu)的第i階特征值；?i為對應(yīng)的第i階特征向量。

結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣由單元剛度矩陣組集得到：

式中設(shè)計參數(shù)rj是第j 個單元的剛度因子。Kje是第j 個單元剛度矩陣。L 是單元的數(shù)量。在本文中，特征解靈敏度是指關(guān)于單元剛度因子的靈敏度。

對振動方程（1）關(guān)于結(jié)構(gòu)的第 j 個單元剛度因子rj求偏導(dǎo)，得結(jié)構(gòu)特征值靈敏度?rj和特征向量靈結(jié)構(gòu)每階模態(tài)（特征值和特征向量）對結(jié)構(gòu)的動力特性的貢獻(xiàn)不一樣，通常，低階模態(tài)對結(jié)構(gòu)的貢獻(xiàn)更大。因此，為了提高效率，通常只保留少量低階模態(tài)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力特征分析，例如振型分解法和子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法。本文將計算部分低階特征解靈敏度，進(jìn)行基于動力靈敏度分析的關(guān)鍵區(qū)域判別。為了確保保留的模態(tài)能夠盡可能真實反映結(jié)構(gòu)的特性，保留低階模態(tài)的數(shù)目需要保證結(jié)構(gòu)薄弱主軸方向的振型質(zhì)量參與系數(shù)累計達(dá)到90%以上[23]，即：

式中? d 為結(jié)構(gòu)薄弱主軸的方向向量；N 為判定關(guān)鍵區(qū)域所保留的模態(tài)的數(shù)目；wj為第 j 階振型質(zhì)量參與系數(shù)，反映的是該階模態(tài)對結(jié)構(gòu)動力特征的貢獻(xiàn)，也可以作為特征解靈敏度的權(quán)重系數(shù)。

特征值隨著階數(shù)的增加而增加。為了使每階特征值靈敏度不受特征值大小的影響，對于第 j 個單元，其基于特征值靈敏度的指標(biāo)定義為與相對特征值靈敏度相關(guān)的量，第 j 個單元基于特征值靈敏度的加權(quán)重指標(biāo)如下式所示：

假設(shè)結(jié)構(gòu)有 P 個自由度，L 個單元。每階特征向量靈敏度的尺寸為1×P，也就是說，每階特征向量對某特定單元剛度的靈敏度共有 P 個元素，且有正有負(fù)。為了融合這 P 個特征向量靈敏度元素，對每階特征向量靈敏度取其元素絕對值之和，得到第j 個單元基于特征向量靈敏度的加權(quán)重指標(biāo)為：

分別找出Sλ（j）和S?（j）的最大值 max（Sλ（j））和 max（S?（j）），將Sλ（j）和S?（j）的每個元素分別除以 max（Sλ（j）），max（S?（j））歸一化得到第j 個單元的靈敏度指標(biāo)為：

第j 個單元基于特征靈敏度的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)定義為靈敏度指標(biāo)的二階范數(shù)：

關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)值大的單元所在區(qū)域判定為關(guān)鍵區(qū)域，而關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)值小的單元所在區(qū)域判定為非關(guān)鍵區(qū)域?；谔卣黛`敏度的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)將多階特征值靈敏度和特征向量靈敏度融合起來，同時也體現(xiàn)了靈敏度大即該單元比較關(guān)鍵的核心思想。

2 數(shù)值驗證

通過一榀平面框架和一座上承式拱橋數(shù)值算例驗證關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)的正確性。

2.1? 平面框架

該平面框架是一榀三層的梁柱結(jié)構(gòu)，共有44個節(jié)點、45個單元、126個自由度，如圖1所示。每個單元為100 mm 長，梁截面尺寸為50 mm×10 mm，柱子截面尺寸為50 mm×5 mm 。質(zhì)量密度為8.0267×103 kg/m3，楊氏模量為2×1011 Pa。

首先，判定關(guān)鍵區(qū)域步驟如下：

1）建立框架有限元模型，框架共有45個單元，故共有45個單元剛度因子；

2）組集框架的單元剛度矩陣和單元質(zhì)量矩陣得到結(jié)構(gòu)整體的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；

3）確定框架的薄弱主軸方向為水平方向，計算框架的振型質(zhì)量參與系數(shù)（見式（3）和（4）），發(fā)現(xiàn)框架只需要保留前三階模態(tài)就可以滿足累計振型質(zhì)量參與系數(shù)90%以上，其權(quán)重系數(shù)即各階振型質(zhì)量參與系數(shù)為68.61%，16.59%，6.01%；

4）求解有限元模型前三階特征值和特征向量（見式（1））；

5）求解前三階特征值靈敏度和特征向量靈敏度，由于共有45個剛度因子，故此過程需重復(fù)45次；

6）求解基于特征值靈敏度的加權(quán)指標(biāo)（見式（5））和基于特征向量靈敏度的加權(quán)指標(biāo)（見式（6））；

7）分別對基于特征值靈敏度的指標(biāo)和基于特征向量靈敏度的指標(biāo)關(guān)于其元素最大值進(jìn)行歸一化，得到一個融合的靈敏度指標(biāo)（見式（7）；

8）對融合的靈敏度指標(biāo)求二階范數(shù)，得到各個單元的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)；

9）關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)值大的區(qū)域即認(rèn)定為關(guān)鍵區(qū)域。

依據(jù)上述步驟計算的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)如圖2所示。同時，為了更加直觀地顯示不同區(qū)域的重要程度，根據(jù)關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)的大小給不同區(qū)域標(biāo)記不同的顏色。從圖2可以看出，紅色區(qū)域分布在支座附近；粉色和黃色區(qū)域分布在其余梁柱節(jié)點附近的柱子區(qū)域和梁區(qū)域。其中，靠近支座處柱子單元的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)值是最大的。這說明該平面框架的關(guān)鍵區(qū)域分布在靠近支座和梁柱節(jié)點附近區(qū)域。

為了進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)局部損傷是否會影響結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域的分布，假設(shè)該框架某一柱子單元的單元剛度折減50%，該損傷單元的位置如圖1所示。對該損傷框架進(jìn)行動力靈敏度分析，計算的關(guān)鍵區(qū)域分布如圖3所示。從圖3可以看出，最關(guān)鍵的區(qū)域分布在支座附近的柱子單元、梁柱節(jié)點附近的單元、損傷單元區(qū)域。具體地，損傷柱子單元的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)值從0.083增加到0.524，從最不關(guān)鍵區(qū)域（藍(lán)色）變成了相對關(guān)鍵的區(qū)域（黃色），這說明了當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷的時候，損傷區(qū)域的重要程度大大上升，即損傷區(qū)域的剛度變化對結(jié)構(gòu)整體動力性能（頻率和振型）影響大。

2.2? 怒江特大橋

怒江特大橋為大理至瑞麗鐵路線的重點工程及控制性工程。主橋采用跨度490 m 上承式鋼桁拱橋，矢跨比1/4.475，拱軸線采用懸鏈線，拱軸系數(shù)2.0。全橋孔跨布置：（7×41 m）連續(xù)鋼混結(jié)合梁（大理岸引橋）＋（14×37.2 m）連續(xù)鋼箱梁（拱上結(jié)構(gòu)）＋（5×41 m）連續(xù)鋼混結(jié)合梁（瑞麗岸引橋）。橋梁實景圖和布置圖分別如圖4和5所示。

利用 MATLAB 平臺建立怒江特大橋主橋有限元模型。所有單元均采用空間梁單元。箱梁采用梁格法建立。主拱和箱梁兩端邊界條件為固支。立柱和箱梁的連接為一般彈性連接，即6個自由度分別用一定剛度的彈簧模擬。立柱與拱圈的連接為固定彈性連接，即6個自由度用剛度很大的彈簧模擬。

怒江特大橋是一座上承式拱橋，由主梁、立柱、主拱圈組成，全橋共14跨，即14跨主梁、13跨立柱、14跨拱圈，編號如圖7所示。首先將每跨作為一個子結(jié)構(gòu)單元，各賦予一個單元剛度因子。同樣地，首先確定怒江特大橋的薄弱主軸方向為橫橋向，然后根據(jù)公式（3）和（4）得到結(jié)構(gòu)橫橋向的振型質(zhì)量參與系數(shù)累計曲線和振型質(zhì)量參與系數(shù)，分別如圖8和9所示。從圖8知結(jié)構(gòu)需要保留前37階模態(tài)（特征值和特征向量）來參與關(guān)鍵區(qū)域判別。各階振型質(zhì)量參與系數(shù)也是作為參與關(guān)鍵區(qū)域判別的各階特征解靈敏度的權(quán)重值。

計算前37階特征解對每個子結(jié)構(gòu)單元剛度因子的靈敏度，再根據(jù)第1節(jié)公式得到每跨的關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)，如圖10所示。從圖10可以看出，從整體而言，拱圈的重要性大于立柱，箱梁的重要性大于立柱；邊跨區(qū)域的重要性大于中間跨區(qū)域；其中，拱圈邊跨的重要性是最大的，明顯高于結(jié)構(gòu)其余區(qū)域。

同樣地，為了研究損傷對關(guān)鍵區(qū)域分布的影響，假設(shè)拱圈第3跨和第12跨區(qū)域整體剛度折減50%。對損傷后的怒江特大橋拱橋有限元模型進(jìn)行動力靈敏度分析，得到關(guān)鍵區(qū)域指標(biāo)分布如圖11所示。首先能夠得到與圖10類似的結(jié)果，拱圈重要性大于立柱，箱梁重要性大于立柱；邊跨區(qū)域的重要性大于結(jié)構(gòu)其余區(qū)域；拱圈拱腳區(qū)域的重要性最大。然后，可從圖12和13可以看出，從整體上而言，上下弦桿的重要性要大于腹桿；拱圈最關(guān)鍵部位位于拱腳上下弦桿區(qū)域。

3 結(jié)論

本文提出了加權(quán)融合多階動力特征解靈敏度的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域判別方法。該方法融合了多階歸一化加權(quán)的相對特征值靈敏度和特征向量靈敏度，將融合后的靈敏度值大的區(qū)域判定為關(guān)鍵區(qū)域。將該準(zhǔn)則應(yīng)用于一榀平面框架和一座上承式拱橋。

結(jié)果表明：（1）框架的關(guān)鍵區(qū)域為支座附近柱子區(qū)域、梁柱節(jié)點附近區(qū)域；（2）從構(gòu)件類型上來說，上承式拱橋的各區(qū)域關(guān)鍵程度從大到小分別為拱圈、箱梁、立柱。拱圈的上下弦桿比腹桿關(guān)鍵，拱圈拱腳區(qū)域構(gòu)件是整個結(jié)構(gòu)最關(guān)鍵區(qū)域；（3）結(jié)構(gòu)損傷會導(dǎo)致該損傷區(qū)域的關(guān)鍵程度上升，因此，在結(jié)構(gòu)全壽命使用過程中需要動態(tài)評價關(guān)鍵區(qū)域。本文研究探明拱橋關(guān)鍵區(qū)域，為監(jiān)測、評估、管養(yǎng)提供依據(jù)，節(jié)約人力物力。

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Evaluation of critical region based on dynamic eigensensitivity analysis

LI Jia-jing1，ZHU Hong-ping1，WENG Shun1，SONG Xiao-dong2，

YANG Guo-jing2，YAN Yong-yi2

（1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.China Railway Eryuan Engineering Group CO . LTD .，Chengdu 610031，China）

Abstract： The actual engineering structure is usually large-scale and has various local damages . Different damage has different im ? pact on the overall performance of the structure . Small damages in critical regions can threaten the safety of the overall structure . Therefore，it is necessary to identify the critical regions of the structure，so that the monitoring，evaluation，and management of the structure have a clear priority and focus . This paper proposes a method for discriminating structural critical regions based on weighted sensitivity analysis of dynamic eigensolutions . The proposed method deduces the sensitivity of eigenvalues and eigenvec? tors with respect to element stiffness parameters . Firstly，the number of modes for analysis and the weight coefficient of each re? tained mode are determined based on modal mass participation coefficient，and a weighted sensitivity index that combines multi-or? der normalized eigenvalues and eigenvector sensitivity is established . The sensitivity index seeks the second-order norm to obtain the critical region index，which is used as the basis for determining the critical regions . This method is a scientific and quantitative judgment basis，and is applied to a frame and an arch bridge . The results show that the critical regions of the frame structure are the column area near the beam-column node and the support，and the critical regions of the arch bridge are the arch toe area of the arch ring . In addition，the critical region is not static，and local damage can cause the originally uncritical region to become a critical re? gion . The proposed critical region identification method improves the efficiency of health monitoring and evaluation，and to save manpower and material resources .

Key words ： health monitoring；sensitivity analysis；dynamic eigensolutions；critical region；element importance

作者簡介：李佳靖（1992?），女，博士研究生。電話：15827252769；Email：jiajingli@hust .edu .cn。

通訊作者：翁順（1982?），女，博士，教授。電話：13971681883；Email：wengshun@hust .edu .cn。