匯聚激波誘導(dǎo)具有正弦擾動雙層重氣柱界面的演化機(jī)理*

黨子涵 鄭純 張煥好? 陳志華

1)(南京理工大學(xué),瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實驗室,南京 210094)

2)(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,南京 210094)

基于可壓縮多組分Navier-Stokes 方程,結(jié)合5 階WENO(weighted essentially non-oscillatory)格式以及結(jié)構(gòu)化自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),數(shù)值研究了匯聚激波沖擊不同初始擾動幅值和氣層厚度的雙層SF6 重氣柱界面不穩(wěn)定性演化過程,揭示了界面與激波結(jié)構(gòu)相互作用及演變機(jī)理,定量分析了環(huán)量、混合率及湍動能的變化規(guī)律,并對渦量進(jìn)行動模態(tài)分解.結(jié)果表明: 初始擾動幅值較大的條件下,氣層內(nèi)界面內(nèi)外均形成馬赫反射結(jié)構(gòu)并在中心發(fā)生多次激波聚焦,激波穿透外界面后環(huán)量增速更大,內(nèi)界面“尖釘”“氣泡”更早發(fā)展,內(nèi)外界面幅值與混合率增速更大.氣層厚度較大時,透射激波在重氣柱內(nèi)移動時相位發(fā)生改變,使得內(nèi)界面波峰向外發(fā)展而波谷向內(nèi)發(fā)展.氣層厚度較小時,內(nèi)界面生成“尖釘”“氣泡”較晚且不明顯.通過動模態(tài)分解可以發(fā)現(xiàn):耦合效應(yīng)弱時,低頻弱增長的動模態(tài)決定了主干結(jié)構(gòu),低頻弱增長的動模態(tài)決定了主干結(jié)構(gòu)上正負(fù)渦量的交換,而高頻弱增長的動模態(tài)決定了界面上正負(fù)渦量的快速交換.

1 引言

匯聚激波與界面相互作用過程包含界面演化、激波與渦相互作用以及湍流混合等物理現(xiàn)象,其中還包含Richtmyer-Meshkov(RM)不穩(wěn)定性、Kelvin-Helmholtz(KH)不穩(wěn)定性和Rayleigh-Taylor(RT)不穩(wěn)定性.而RM 不穩(wěn)定現(xiàn)象廣泛存在于超音速燃燒[1]、水下爆炸[2]、慣性約束核聚變(inertial confinement fusion,ICF)[3]等領(lǐng)域中.因此,研究匯聚激波誘導(dǎo)界面不穩(wěn)定性中界面和激波結(jié)構(gòu)的演變、流動轉(zhuǎn)捩和后期湍流混合的機(jī)理及其影響因素,可以進(jìn)一步促進(jìn)或抑制過程中的不穩(wěn)定性.平面激波誘導(dǎo)界面RM 不穩(wěn)定性的研究較為廣泛,理論方面主要研究界面擾動的演化規(guī)律[4],表征不同階段的擾動增長規(guī)律的模型[5].實驗和數(shù)值模擬方面則主要研究不同條件(如激波強(qiáng)度[6]、Atwood數(shù)[7]以及氣柱形狀[8,9]等)下激波沖擊氣泡或氣柱的界面演變過程和激波結(jié)構(gòu).

近幾年匯聚界面不穩(wěn)定性的研究受到廣泛關(guān)注.理論研究方面,Mikaelian[10]建立了球形的分層殼體的積分模型,并擴(kuò)展到N層不同的流體的積分模型,得到了匯聚RT 和RM 不穩(wěn)定性中湍流混合層的寬度,且模型成立條件為幅長比小于0.1.Lombardini 和Pullin[11]將Mikaelian 的理論推廣到三維情況,研究匯聚激波沖擊柱體模型的擾動界面的擾動振幅變化規(guī)律,并提出三維擾動增長的線性模型.在實驗方面,Si 等[12]對豎直同軸匯聚激波管進(jìn)行改進(jìn),研究了正多邊形SF6重氣柱界面在匯聚激波作用下的演化過程,發(fā)現(xiàn)在前期界面上斜壓渦量是界面演化的主要原因,其中正三角形氣柱渦量最高,且可壓縮性在整個作用過程都起到重要作用.Ding 等[13]實驗研究了匯聚激波沖擊帶有正弦擾動的單層SF6重氣柱界面,透射激波速度在離中心較遠(yuǎn)時維持在一個定值,說明在遠(yuǎn)離中心處收斂效應(yīng)可以忽略.近幾年匯聚激波研究著重于更復(fù)雜的雙層界面,其中不僅包含多次激波透射與反射,還需要考慮到內(nèi)外界面耦合效應(yīng).Ding 等[14]使用豎直同軸匯聚激波管研究了外界面帶有正弦初始擾動界面重氣柱的匯聚RM 不穩(wěn)定性,實驗還展示外界面擾動幅值隨時間變化過程,同時引用Mikaelian[15]提出的耦合角來對界面耦合效應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行量化.Sun 等[16]采用內(nèi)界面有正弦初始擾動的界面進(jìn)行實驗,還展示了內(nèi)界面擾動幅值和氣泡尖釘結(jié)構(gòu)幅值隨時間變化過程,并根據(jù)擾動幅值變化將整個過程分為三個階段.Li 等[17]則將重氣柱換成輕氣柱進(jìn)行研究,與重質(zhì)氣體相比,初始激波接觸外界面后產(chǎn)生透射激波和稀疏波,透射激波也產(chǎn)生了與外表面一致的擾動,但是擾動在不斷衰減,到達(dá)內(nèi)表面時已經(jīng)十分微弱,因此對內(nèi)表面影響很小.而數(shù)值研究方面,計算方法上徐建于和黃生洪[18]則基于Harten Lax van Leer(HLL)黎曼求解器的SPH(smoothed particle hydrodynamics)算法對二維匯聚激波沖擊四邊形輕/重氣界面的RM 不穩(wěn)定性問題進(jìn)行數(shù)值模擬,與已有實驗結(jié)果對比證明了該方法的可靠性.梁煜等[19]對比匯聚激波及平面激波沖擊下SF6球形氣泡演化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)匯聚激波條件產(chǎn)生的渦量幅度大于平面激波條件,界面混合也更快,當(dāng)反射激波再次作用于界面后產(chǎn)生了正負(fù)渦量.Zhou 等[20]研究了雙模界面的演化過程,發(fā)現(xiàn)由于耦合效應(yīng)的影響,第一模態(tài)的幅值增長取決第二模態(tài)與第一模態(tài)的波數(shù)比,為偶數(shù)和奇數(shù)時分別對擾動增長產(chǎn)生抑制和促進(jìn)作用.而Tang 等[21]采用不同氣體組研究了Atwood 數(shù)對RM 不穩(wěn)定性的影響.何慧琴等[22]則研究偏心對匯聚激波沖擊不同形狀的二維氣柱界面RM 不穩(wěn)定性的影響,偏心導(dǎo)致界面環(huán)量分布不均,從而使得擾動結(jié)構(gòu)發(fā)生扭曲,且尖釘兩側(cè)的環(huán)量相差較多,結(jié)構(gòu)扭曲更嚴(yán)重.Fu 等[23]數(shù)值模擬研究了三維圓柱和球體匯聚RM 不穩(wěn)定性過程中的能量傳輸過程,計算了兩種界面RM 不穩(wěn)定性湍動能運(yùn)輸方程中各項(湍流擴(kuò)散項、黏性擴(kuò)散項、外力做功項、耗散項和可壓縮項)沿徑向的分布.

先前匯聚激波的研究主要針對不同初始條件下的界面演變過程,而對于匯聚RM 不穩(wěn)定性的界面形態(tài)、尤其激波結(jié)構(gòu)的演化過程等細(xì)節(jié)仍然不明確.而且,目前對后期界面上由于RM 不穩(wěn)定性出現(xiàn)的渦量分布以及湍流混合的機(jī)理研究也較少.因此,本文主要研究匯聚激波沖擊具有正弦擾動雙層SF6重氣柱界面過程,并改變初始擾動幅值與氣層厚度,分析界面形態(tài)與激波結(jié)構(gòu)演化過程,并對界面擾動幅值、混合率、環(huán)量及湍動能進(jìn)行定量分析.此外,利用動模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)方法對渦量的演化過程進(jìn)行分析,以揭示渦量輸運(yùn)誘導(dǎo)的混合機(jī)理.

2 數(shù)值方法與驗證

基于有限體積法和可壓縮多組分Navier-Stokes 方程[24],結(jié)合5 階WENO(weighted essentially non-oscillatory)格式[25]以及結(jié)構(gòu)化自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),對匯聚激波沖擊雙層重氣柱界面過程進(jìn)行數(shù)值模擬,為確保對流場中復(fù)雜激波與渦結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確描述,時間項采用3 階精度的Runge-Kutta 法[26].為了減少計算域邊界反射波對流場的干擾,對計算域四周邊界均采用無反射邊界條件.

為驗證本文數(shù)值方法的準(zhǔn)確性,圖1 是匯聚激波與雙層圓形界面作用過程計算結(jié)果與Ding 等[14]實驗結(jié)果的對比,計算與實驗中的雙層圓形重氣柱模型具有相同的尺寸、氣體參數(shù)及邊界條件.由圖1可見,數(shù)值結(jié)果清晰描述了匯聚激波與雙層圓形界面作用過程中外界面(OI)、內(nèi)界面(II)與激波(shock)位置的演變過程,其中內(nèi)外界面在受到匯聚激波沖擊后開始向中心處移動,而透射激波在中心處的匯聚反射則使內(nèi)外界面減速甚至反向運(yùn)動,此過程中它們的運(yùn)動軌跡與實驗結(jié)果相吻合,雖然后期界面向外的移動速度與實驗值相比較小,但誤差仍可接受,這表明本文數(shù)值方法準(zhǔn)確可靠.

圖1 數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中外界面(OI)、內(nèi)界面(II)與激波(shock)位置的對比Fig.1.Comparison of variations of displacements of outer and inner interfaces(OI and II)and shock waves of experimental[14] and numerical results.

此外,為驗證本數(shù)值模擬網(wǎng)格無關(guān)性,采取了1500×1500,2000×2000 和2500×2500 三種不同網(wǎng)格密度進(jìn)行模擬,圖2 為此三種網(wǎng)格密度下t=0.05 ms 時氣體密度與初始靜止空氣密度比ρ/ρa(bǔ)ir沿徑向分布情況,在保證準(zhǔn)確性的同時為減少計算時間,本文選用2000×2000 這一網(wǎng)格密度進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性檢驗Fig.2.Verification of the mesh resolution.

為研究外界面初始擾動幅值與氣層厚度的影響,設(shè)置五種不同工況進(jìn)行模擬,幾何參數(shù)如表1所列,其中R0表示外界面平均半徑,r0為內(nèi)界面半徑,a0為初始擾動幅值,n表示初始波數(shù),λ為初始擾動波長.計算域邊長取L=80 mm.初始激波馬赫數(shù)為1.22.環(huán)形氣層內(nèi)為SF6,其余為空氣,比熱比γ、摩爾質(zhì)量M和密度ρ這三個氣體參數(shù)如表2 所列.氣柱內(nèi)外壓力均設(shè)為101.49 kPa,初始溫度均為288 K,初始時刻氣體均靜止.圖3 為計算模型示意圖,其中OI 為外界面,II 為內(nèi)界面,is 為初始匯聚激波,且外界面初始擾動表示為R=R0+a0cos(nθ).

表2 氣體參數(shù)表Table 2. Parameters of gases.

圖3 計算模型示意圖(is,初始激波;R,外界面位置;R0,外界面平均半徑;r0,內(nèi)界面半徑;a0: 初始擾動幅值)Fig.3.Illustration of computational model(is,initial shock;R,location of outer interface;R0,mean radius of outer interface;r0,initial radius of inner interface;a0,initial amplitude).

3 結(jié)果與討論

3.1 界面及激波結(jié)構(gòu)演變

圖4 為case 1 中界面與激波結(jié)構(gòu)的演變過程.初始匯聚激波is 穿過OI,產(chǎn)生向內(nèi)傳播的透射激波(transmitted shock,ts1)與向外傳播的反射激波(reflected shock,rs1).由于SF6氣體的聲阻抗大于空氣的聲阻抗,激波在SF6氣體中傳播速度比在空氣中慢,沖擊OI 波峰的激波比沖擊波谷的激波更早開始減速,導(dǎo)致OI 的正弦擾動傳遞給ts1.OI 的擾動幅值在波峰被is 沖擊后開始減小,當(dāng)is 完全穿透后,OI 波谷在is 的沖擊加速和斜壓渦量的作用下開始快速向中心收縮,導(dǎo)致擾動幅值快速增加.t=0.06 ms 時,ts1以近似OI 的正弦擾動形態(tài)開始沖擊II,ts1的波谷首先與II 作用生成向外傳播的反射稀疏波(reflected rarefaction wave,rrw1)和向內(nèi)傳播的透射激波ts2.在ts1完全穿透II 后,生成向外傳播的反射激波rs2與透射激波ts3.ts2與ts3向內(nèi)傳播過程中相互作用形成由馬赫桿(Mach stem,m)和三波點(diǎn)(triple point,T)組成的馬赫反射結(jié)構(gòu)(t=0.073 ms).在向中心匯聚的過程中,ts2不斷縮短,m 長度幾乎不變,而ts3不斷增長且與相鄰ts3相交,同時向外移動的相鄰rs2也相交并生成rs3,如t=0.08 ms 所示.之后m 和ts2向中心移動,在t=0.083 ms 時發(fā)生第一次激波聚焦(shock focusing,SF1),生成向外傳播的二次反射激波(second reflected shock,srs).反射激波rs3向外移動的同時也向兩側(cè)傳播,相交產(chǎn)生rs4.當(dāng)t=0.096 ms 時srs 開始沖擊II,生成向外的二次透射激波(second transmitted shock,sts)和向中心移動的反射激波rs5,rs5向內(nèi)匯聚發(fā)生二次聚焦SF2,并生成向外移動的三次反射激波(third reflected shock,trs).II 受到srs 沖擊發(fā)展形成了“尖釘”(spike)與“氣泡”(bubble)結(jié)構(gòu),雖然trs 在“尖釘”處首先發(fā)生第三次透射產(chǎn)生三次透射激波(third transmitted shock,tts),但由于激波在SF6中傳播速度較慢,因此,trs 主要從“氣泡”處出現(xiàn)并向外傳播沖擊OI.之后sts 沖擊OI 波谷,產(chǎn)生向外的透射激波ts4和向內(nèi)的反射稀疏波rrw2.在t=0.152 ms 時sts 穿透OI 波峰,而tts則在向外傳播過程中逐漸減弱,并在與OI 上“氣泡”作用后轉(zhuǎn)變?yōu)槲⑷醯呐蛎洸?

圖4 case 1 的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程示意圖(ts,透射激波;rs,反射激波;rrw,反射稀疏波;m,馬赫桿;T,三波點(diǎn);SF,激波聚焦;srs,二次反射激波;spike,“尖釘”結(jié)構(gòu);bubble,“氣泡”結(jié)構(gòu);sts,二次透射激波;trs,三次反射激波;tts,三次透射激波;下文符號含義相同)Fig.4.Evolution of the interface and shock wave structures of case 1(ts,transmitted shock;rs,reflected shock;rrw,reflected rarefaction wave;m,Mach stem;T,triple point;SF,shock focusing;srs,the second reflected shock;spike,“spike” structure;bubble;“bubble” structure;sts,the second transmitted shock;trs,the third reflected shock;tts,the third transmitted shock.The meaning of these abbreviations is similar hereinafter).

界面演變受渦量分布影響,圖5 選取五個時刻流場的渦量分布情況對界面發(fā)展機(jī)理進(jìn)行說明.II 在ts1穿透后形成類似正弦曲面,其渦量方向與OI 一致(t=0.066 ms),而rs2在II 上產(chǎn)生的渦量與OI 對應(yīng)位置渦量方向相反(t=0.07 ms),因此OI 波峰位置對應(yīng)的II 波峰反而開始向內(nèi)凹陷.之后rs3誘導(dǎo)的渦量與rs2生成的方向相反,II 上產(chǎn)生不穩(wěn)定性,但對II 發(fā)展影響較小.在srs 沖擊II 后,II 上不穩(wěn)定性增強(qiáng),波峰形成的凹陷向內(nèi)移動形成了“尖釘”結(jié)構(gòu),波谷則向外移動形成了“氣泡”結(jié)構(gòu),且由于“尖釘”處激波與界面夾角較大,累積了更多的同向渦量(t=0.103 ms),導(dǎo)致“尖釘”發(fā)展更快,向內(nèi)移動帶動界面向內(nèi)收縮,其頭部兩側(cè)形成對稱的渦結(jié)構(gòu),而“氣泡”形態(tài)變化不大.之后,“尖釘”頭部向內(nèi)的移動速度逐漸降低,頭部兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)開始發(fā)展,相鄰兩個渦結(jié)構(gòu)開始互相影響,而“氣泡”在受到rrw2沖擊后產(chǎn)生同向渦量(t=0.155 ms),開始快速向外發(fā)展.OI 向內(nèi)收縮的同時幅值快速增大,受到sts 沖擊后生成反向渦量(t=0.135 ms),此時OI 波谷出現(xiàn)向外的“尖釘”,受到tts 沖擊后“尖釘”開始快速發(fā)展,OI 擾動幅值減小最終反相.

圖5 case 1 中不同時刻流場渦量分布圖Fig.5.Distribution of vorticity at different times of case 1.

由于cases 2-5 在ts1沖擊II 前的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程類似,這一階段示意圖省略.圖6表示case 2 界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程,由于OI 初始正弦擾動幅值變小,ts1與II 作用后在II 上的渦量累積較少,II 波峰向內(nèi)凹陷不明顯,直至受到srs 沖擊后II 上“尖釘”和“氣泡”才開始緩慢發(fā)展.圖7 表示case 3 界面與激波結(jié)構(gòu)演化過程,由于初始擾動幅值變大,ts1為具有明顯正弦擾動的形態(tài),且在ts1的波峰位置形成由透射反射激波(transmitted reflected shock,TRS)、ts1、馬赫桿m、三波點(diǎn)T 組成的馬赫反射結(jié)構(gòu)(t=0.057 ms),其中TRS 的移動方向垂直于激波移動方向.此外,ts1與II 相互作用之后,II 上生成了明顯的“尖釘”“氣泡”結(jié)構(gòu),使得srs 沖擊“尖釘”與“氣泡”的時間間隔較大,產(chǎn)生了兩道相位相反的反射激波rs5和rs6.rs5和rs6向中心匯聚分別發(fā)生第二次與第三次激波聚焦,先后生成向外傳播的trs 和四次反射激波(forth reflected shock,frs),在穿透II 后分別形成tts 與四次透射激波(forth transmitted shock,fts),并在t=0.134 ms時沖擊OI 的波谷.界面形態(tài)與case 1 相比,ts1與II 夾角更大,累積更多的斜壓渦量,且反射激波產(chǎn)生的不穩(wěn)定性對界面影響較小,因此II 上“尖釘”更早出現(xiàn).之后srs 在“尖釘”產(chǎn)生更多的同向渦量,頭部兩側(cè)渦發(fā)展較快卷吸周圍空氣,在“氣泡”內(nèi)發(fā)展更充分.“氣泡”受到相鄰TRS 相交誘導(dǎo)其頭部處產(chǎn)生的高壓區(qū),使其頭部的增長受到抑制,而在接觸rrw2后開始快速發(fā)展.

圖6 case 2 的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程Fig.6.Evolution of the interface and shock wave structures of case 2.

圖7 case 3 的界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程(frs.四次反射激波;fts,四次透射激波)Fig.7.Evolution of the interface and shock wave structures of case 3(frs,the forth reflected shock;fts,the forth transmitted shock).

從cases 1-3 可以看出,初始擾動幅值較大容易使激波在重氣柱內(nèi)生成馬赫反射結(jié)構(gòu),激波與II 夾角更大并產(chǎn)生更多的渦量.多次反射激波產(chǎn)生的正負(fù)交替的渦影響越小,II 上更早地發(fā)展出“尖釘”,受到srs 沖擊后生成兩個向內(nèi)的反射激波,進(jìn)而生成tts 和fts.此外,幅值越大OI 波谷越靠近II,使“氣泡”更早受到rrw2沖擊并向外發(fā)展.

圖8 為case 4 界面與激波結(jié)構(gòu)演變過程.由于II 半徑減小,ts1在重氣柱內(nèi)傳播時間增加,向內(nèi)傳播的過程中ts1波峰位置產(chǎn)生了由ts1,m 和TRS 組成的馬赫反射結(jié)構(gòu).當(dāng)t=0.087 ms 時,ts1和m 一起沖擊II,生成由ts2組成的六邊形透射激波,此時II 也轉(zhuǎn)變?yōu)榱呅涡螤?同時ts2在II 波峰位置內(nèi)側(cè)也生成了馬赫反射結(jié)構(gòu).在t=0.096 ms 時發(fā)生激波聚焦生成srs,同時II 上相鄰TRS 相交改變了rs2的形狀.由于ts1在II 上產(chǎn)生的渦量與OI 對應(yīng)位置渦量方向相反,II 波谷中點(diǎn)向內(nèi)凹陷而波峰向外凸出,并在srs 沖擊后逐漸分別發(fā)展為“尖釘”和“氣泡”.“尖釘”兩側(cè)相鄰的渦結(jié)構(gòu)十分接近,受到空間限制無法向中心移動,因此渦結(jié)構(gòu)在“氣泡”中互相混合快速發(fā)展,而“氣泡”由于沒有OI 的限制,在sts 和tts 穿透后快速向外發(fā)展.從圖9 可以看出,case 5 的激波結(jié)構(gòu)演變與case 1 相似,而界面形態(tài)有明顯不同.II 受到?jīng)_擊后在多次反射激波作用下累積了正負(fù)交替的小渦,同時II 由于較強(qiáng)的耦合效應(yīng)隨OI 一起向內(nèi)收縮,因此波峰沒有向內(nèi)凹陷.當(dāng)tts 沖擊OI 后,OI 上逐漸生成“尖釘”,II 隨著向外發(fā)展形成“氣泡”,而“尖釘”逐漸生成但幾乎不向內(nèi)發(fā)展.

對比cases 1,4,5 可以看出,氣層厚度對整個過程的影響主要表現(xiàn)在兩個方面.一是激波在重氣柱內(nèi)的運(yùn)動時間隨著氣層厚度增大而增加,重氣柱內(nèi)馬赫反射結(jié)構(gòu)有更長的發(fā)展時間,使得II 受到?jīng)_擊后與case 1 相位相差π,從而對II“尖釘”的生成產(chǎn)生影響.二是氣層厚度減小使耦合效應(yīng)增強(qiáng),前期II 與OI 一同向內(nèi)快速收縮,后期II“氣泡”向外發(fā)展受到OI 限制.

3.2 徑向統(tǒng)計量分析

圖10 為case 1 條件下壓強(qiáng)沿徑向分布圖.在第一次激波聚焦前(t=0.08 ms)壓力峰值出現(xiàn)在透射激波處,第一次激波聚焦后(t=0.09 ms)中心區(qū)域壓力突增,峰值出現(xiàn)在srs 處.當(dāng)t=0.108 ms時發(fā)生第二次集激波聚焦,中心處壓力達(dá)到最大值.而tts 穿透II 后,II 內(nèi)的壓力都較高.當(dāng)t=0.2 ms時可以看到中心處壓強(qiáng)較之前有所降低,且沿徑向變化較小,說明流場后期壓力影響較低.

圖10 case 1 中不同時刻壓力沿徑向分布圖Fig.10.Variations of pressure along the radial of case 1.

為定量地描述內(nèi)外界面形態(tài)變化,將計算域轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo),以case 1 某時刻SF6組分分布為例,結(jié)果如圖11 所示.首先計算了不同情況下內(nèi)外界面幅值隨時間變化過程,內(nèi)外界面幅值分別定義為

圖11 直角坐標(biāo)下t=0.1 ms 時case 1 的組分分布圖Fig.11.Illustration of the fraction of SF6 for case 1 in Cartesian coordinate system at t=0.1 ms.

II 幅值隨時間的變化如圖12(a)所示.對比cases 1-3 可以看到,ai在ts1完全穿透II 后先減小再緩慢增大,而且初始幅值a0越大ai則減小越多.這是因為ts1波谷比波峰更早沖擊II,因此II 上形成波谷并向內(nèi)移動,在ts1波峰沖擊II 前ai達(dá)到最小值.ts1穿透II 后,ai開始逐漸增大,II 凹陷形成后增長為正值,這一階段的擾動也隨著a0的增大而更加明顯.在srs 沖擊II 后ai開始進(jìn)入到線性增長階段,且a0越大,這一階段ai的增長速度越大.在線性階段結(jié)束后,a0小的情況更早進(jìn)入非線性階段.在case 4 中,由于II 相位與之前相差π,ai在ts1穿過II 后為正,在srs 沖擊II 后開始快速增長.但由于“尖釘”距離中心更近,向內(nèi)發(fā)展受到限制,因此ai增長速度較低.對于case 5,由于ts1穿過II 后,波峰沒有向內(nèi)凹陷,而II 由于強(qiáng)耦合效應(yīng)和OI 波谷一起向中心移動,因此ai此時為負(fù)值.在OI“氣泡”生成后,II 開始發(fā)展,ai開始逐漸增加.

圖12 cases 1-5 中(a)內(nèi)界面與(b)外界面擾動幅值演化過程Fig.12.Evolution of the amplitude of(a)inner interface and(b)outer interface of cases 1-5.

圖12(b)給出了OI 幅值隨時間的變化,is 沖擊OI 波峰后ao先快速減小,當(dāng)is 完全穿透OI 后ao再逐漸增大.初期階段ao在界面上斜壓渦量作用下線性增長,在向內(nèi)收縮的過程中增長速度緩慢增大,當(dāng)rrw1傳播到OI 后ao開始快速增大.但到達(dá)在峰值前由于RT 效應(yīng)有一個減速階段,在sts 沖擊OI 波谷后ao開始減小.當(dāng)tts 沖擊OI 波谷后,ao減小速度加快,并隨著波谷“尖釘”向外發(fā)展最終減小到負(fù)值,OI 上發(fā)生反相.在此過程中,當(dāng)sts 沖擊并穿透OI 波峰時,幅值減小速度有所放緩.對比cases 1-3 可以看到,初始擾動幅值較大的OI 在線性階段有更大的增長速度,能夠更快到達(dá)快速增長階段,且非線性階段增長幅度更大.而對比case 1,case 4 和case 5 可以看出,氣層厚度主要影響了ao從線性增長到非線性增長的時間,而對ao最大值影響較小.在case 5 中耦合效應(yīng)增強(qiáng),非線性階段ao快速增加.

激波與界面作用生成的渦強(qiáng)度可以通過界面上環(huán)量的變化來表征,而由于對稱性,界面總環(huán)量始終為零,因此定義環(huán)量絕對值如下:

其中區(qū)域D包含了所有含有SF6氣體的流體微元,即SF6質(zhì)量分?jǐn)?shù)f＞0,而ωi和Ai分別表示區(qū)域D中第i個網(wǎng)格內(nèi)的渦量與面積,結(jié)果如圖13(a)所示,可以看到幾種情況下環(huán)量變化過程比較相似.在is 沖擊OI時|Γ|突增,在ts1向II 移動的過程中加速增大,增速與初始擾動幅值正相關(guān).在ts1沖擊II 時,|Γ|會有一定降低.當(dāng)ts1完全穿透后|Γ|會小幅增大,且在rs2和rs4生成時,|Γ|增速較大,這與反射激波與II 作用交替生成的同向與反向渦量有關(guān).而之后sts,tts 沖擊OI 時,|Γ|均會突然減小再增加,而增速相較之前有所放緩,原因是激波強(qiáng)度較低且與“氣泡”夾角較小.而氣層厚度的影響不僅體現(xiàn)在ts1沖擊II前|Γ|增長的時間,而且還通過耦合效應(yīng)的強(qiáng)弱影響環(huán)量的增長.在case 4 中,|Γ|在ts1沖擊II 前增長時間較長且增速較快,且耦合效應(yīng)弱使得II 形態(tài)充分發(fā)展,激波沖擊在界面上產(chǎn)生的斜壓渦量更多.但由于rrw2在重氣柱內(nèi)運(yùn)動時間較長與“氣泡”作用時強(qiáng)度降低,后期流場渦量在黏性作用下逐漸耗散,渦量強(qiáng)度有明顯下降.而在case 5 中,sts 沖擊II 后耦合效應(yīng)使得II 形態(tài)變化小,導(dǎo)致界面上斜壓渦量少,環(huán)量增長緩慢,tts 沖擊OI 后逐漸振蕩減小.

圖13(b)表示不同情況混合率隨時間變化圖,混合率定義為

圖13 cases 1-5 中(a)環(huán)量絕對值 |Γ| 與(b)混合率隨時間變化情況Fig.13.Evolution of(a)absolute value of circulation |Γ| and(b)mixing rate of cases 1-5.

其中ξ表示空氣與界面內(nèi)SF6的混合程度;fi和ρi分別為區(qū)域D中第i個網(wǎng)格中SF6所占的質(zhì)量分?jǐn)?shù)和密度.最開始邊界擴(kuò)散使得混合率快速上升,其中氣層厚度薄、初始擾動大的情況由于兩氣體接觸面積大而擴(kuò)散更快.之后從ts1生成到?jīng)_擊II 前和從ts2生成到srs 沖擊II 的過程中,混合率均呈現(xiàn)增長趨勢,且前者的增速略高.這一階段初始擾動對混合率增長影響較小.在sts 沖擊OI 后混合率快速增大,之后增速慢慢減小,且初始擾動幅值越大增速越大,越早開始減速.而case 4 中由于內(nèi)外界面距離較大,在tts 沖擊II 后,較長時間沒有激波與界面作用,因此混合率在sts 沖擊OI 前增速幾乎為零.

由渦動力學(xué)方程可知二維條件下渦拉伸項為零,但為表示小尺度能量分布,定義湍動能為[27]

由圖14(d)可知,case 4 中ts1完全穿透II 后,相鄰TRS 的相交使得激波結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜,II 上湍動能比case 1 高出近50%.II 在srs 穿透后開始向中心收縮,“尖釘”頭部減速向中心移動,一段時間后開始向外移動且在發(fā)展一段時間后分布變得平均.由于內(nèi)OI 間距增加,sts 與tts 沖擊OI 時間間隔較小,因此兩部分湍動能較大的區(qū)域間隔時間更短.由圖14(e)發(fā)現(xiàn),case 5 中ts1更早地沖擊II,產(chǎn)生的湍動能較低.界面之間耦合效應(yīng)使得后期OI 處湍動能較低,僅在tts 沖擊OI 時出現(xiàn)峰值.

圖14 cases 1-5 中湍動能隨時間分布圖(a)case 1;(b)case 2;(c)case 3;(d)case 4;(e)case 5Fig.14.Distributions of turbulent kinetic energy(TKE)of(a)case 1,(b)case 2,(c)case 3,(d)case 4 and(e)case 5.

3.3 DMD 分析

通過DMD 方法對不同時刻渦量場提取快照序列進(jìn)行分析可以得到界面上渦量相干結(jié)構(gòu)變化,并且取前4 個特征值進(jìn)行分析.圖15(a)-(e)為cases 1-5 情況下頻譜分布情況,其中實部ωr＞0時說明模態(tài)為增長模態(tài),ωr＜0 則為衰減模態(tài),而ωi的絕對值越大頻率越大.

圖15 cases 1-5 中DMD 頻譜分布圖(a)case 1;(b)case 2;(c)case 3;(d)case 4;(e)case 5Fig.15.Distributions of the frequency spectrum of the DMD modes of(a)case 1,(b)case 2,(c)case 3,(d)case 4,and(e)case 5.

圖16 展示了cases 1-5 情況下對渦量分布進(jìn)行DMD 分解所得模態(tài)中,選定的4 個動模態(tài)實數(shù)部分,由于虛部相當(dāng)于將實部相位平移90°因此不做考慮,其中正值代表逆時針旋轉(zhuǎn)渦,負(fù)值則代表順時針旋轉(zhuǎn)渦.結(jié)合頻譜分布圖可以得知,cases 1-3 的第一動模態(tài)DM1表示的流動結(jié)構(gòu)振蕩頻率低且隨時間增長,代表了流場中的主要相干結(jié)構(gòu).在中心處有六個主干結(jié)構(gòu),且每個結(jié)構(gòu)均有反對稱的兩個分支,代表的是隨著時間逐漸增強(qiáng)的內(nèi)界面“尖釘”結(jié)構(gòu),反映了后期流動的整體結(jié)構(gòu),而且初始擾動越大,渦量越集中在“尖釘”的兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)上,解釋了“尖釘”和“氣泡”發(fā)展程度不同的原因.而DM2中,主干的每個分支上有兩個反向旋轉(zhuǎn)的渦量,反映“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)向外發(fā)展的過程.同時外界面渦量方向與DM1相反,反映的是sts 沖擊外界面后界面渦量反向增長的過程.而DM3和DM4表示的流動結(jié)構(gòu)振蕩頻率較高增長較慢,分布在“尖釘”“氣泡”上的快速交替的正負(fù)渦量反映相鄰“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)相互混合及內(nèi)界面受到srs 沖擊時界面渦量反向增長的過程,且振蕩頻率越高,渦量交替越密集.在case 4 中,DM1表示的是振蕩頻率低且隨時間衰減的流動結(jié)構(gòu),同樣有六個主干結(jié)構(gòu),且每個結(jié)構(gòu)有兩個分支,代表的是隨著時間逐漸衰減的內(nèi)界面“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu).同時也有渦量分布在外界面上,反映了流場后期結(jié)構(gòu).DM2中每個分支上有三個部分,為正負(fù)交替的渦量,與DM1相比衰減程度更大,反映了流場后期內(nèi)界面上“尖釘”發(fā)展較慢.而DM3和DM4表示的流動結(jié)構(gòu)振蕩頻率較高,反映的是內(nèi)界面相鄰“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)在“氣泡”中相互混合及外界面渦量反向增長的過程.而case 5 結(jié)構(gòu)與之前有所不同,DM1表示的流動結(jié)構(gòu)振蕩頻率低且隨時間增長,渦量主要分布在外界面上,反映了流場后期渦量集中在外界面“尖釘”并隨時間逐漸增強(qiáng).而DM2-4則均表示內(nèi)外界面振蕩頻率低且隨時間衰減的流動結(jié)構(gòu),主要反映了流場后期內(nèi)外界面之間密集的正負(fù)渦量交替.

圖16 (a)-(e)cases 1-5 中渦量的DMD 模態(tài)的實數(shù)部分(a1)-(e1)DM1;(a2)-(e2)DM2;(a3)-(e3)DM3;(a4)-(e4)DM4Fig.16.(a)-(e)Representation of DMD modes with their real parts using contours of vorticity of cases 1-5:(a1)-(e1)DM1;(a2)-(e2)DM2;(a3)-(e3)DM3;(a4)-(e4)DM4.

4 結(jié)論

本文基于有限體積法和可壓縮多組分Navier-Stokes 方程,并結(jié)合5 階WENO 格式以及結(jié)構(gòu)化自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),數(shù)值研究了匯聚激波沖擊雙層重氣柱界面過程,并研究了初始擾動幅值及氣層厚度對界面不穩(wěn)定性的影響.得到結(jié)論如下:

1)初始擾動幅值越大,透射激波在重氣柱內(nèi)更容易生成馬赫反射結(jié)構(gòu),內(nèi)界面受到?jīng)_擊時與激波夾角更大,反射激波與界面作用產(chǎn)生的反向渦量使其向內(nèi)凹陷更加明顯,導(dǎo)致“尖釘”更早發(fā)展,二次反射激波先后沖擊“尖釘”“氣泡”產(chǎn)生兩道反射激波,從而在中心發(fā)生更多次激波聚焦.同時二次透射激波更早地沖擊外界面波谷,使得外界面“尖釘”更早形成,內(nèi)界面“氣泡”也因此更早向外快速發(fā)展.因此界面環(huán)量、混合率的增速更大,流場后期湍動能也越高.

2)當(dāng)氣層厚度較大時,透射激波在向內(nèi)傳播的過程中馬赫反射結(jié)構(gòu)發(fā)展時間更長,內(nèi)界面受其沖擊后與case 1 中相位相差π.生成的內(nèi)界面“尖釘”間距很小,中心的高壓與空間限制使“尖釘”頭部無法向內(nèi)發(fā)展,兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)只能在“氣泡”內(nèi)部向外發(fā)展.此時耦合效應(yīng)小,外界面對內(nèi)界面發(fā)展影響較小.而氣層厚度較小時,激波結(jié)構(gòu)與之前沒有明顯區(qū)別,但由于耦合效應(yīng)較強(qiáng),內(nèi)界面隨外界面波谷一同向內(nèi)移動,直到外界面“尖釘”生成后,內(nèi)界面“尖釘”“氣泡”才開始發(fā)展.因此界面環(huán)量始終較少且增速小,湍動能較低,而由于兩氣體接觸面積較大,混合率增長較大.

3)通過對渦量進(jìn)行DMD 分析,cases 1-4 流場后期流動結(jié)構(gòu)主要有三個部分,首先是中心處有六個振蕩頻率低,且隨時間增長的主干結(jié)構(gòu)代表的是隨著時間逐漸增強(qiáng)的內(nèi)界面“尖釘”,第二個是分支上正負(fù)交替渦量,代表的內(nèi)界面相鄰“尖釘”兩側(cè)渦結(jié)構(gòu)相互混合,第三個是界面上振蕩頻率較高增長較慢的流動結(jié)構(gòu),反映了內(nèi)外界面受到向外激波沖擊后渦量反向增長的過程.而case 5 的結(jié)構(gòu)有所不同,一是外界面上有振蕩頻率低且隨時間增長的流動結(jié)構(gòu),反映了流場后期渦量集中在外界面“尖釘”結(jié)構(gòu)并隨時間逐漸增強(qiáng),二是內(nèi)外界面振蕩頻率較高且隨時間衰減的正負(fù)交替渦量,反映的是內(nèi)外界面的相互影響與渦量交換.