數(shù)學(xué)史滲透數(shù)學(xué)教學(xué)的微思考
——以“有理數(shù)”單元為例

黃賢明 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校 215129)

近年來，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)的研究在國內(nèi)受到廣泛關(guān)注，并從理論與實(shí)踐上證實(shí)了HPM的教育價值．正如“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，數(shù)學(xué)史使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有吸引力．對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)史既能促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)知識的理解，拓展相關(guān)的數(shù)學(xué)背景，還可以引發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的共鳴，培養(yǎng)正確的價值觀．對教師而言，數(shù)學(xué)史能幫助預(yù)測學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，進(jìn)而指導(dǎo)教學(xué)，同時豐富了教學(xué)資源，提升課堂的文化底蘊(yùn)．本文介紹了“有理數(shù)”單元中數(shù)學(xué)概念的歷史，并分析了不同版本教材中“有理數(shù)”單元的數(shù)學(xué)史，提出在“有理數(shù)”單元滲透數(shù)學(xué)史的思考與建議，敬請指正．

1 “有理數(shù)”單元中的數(shù)學(xué)概念的歷史

通過介紹“有理數(shù)”單元中負(fù)數(shù)、有理數(shù)和乘方的歷史，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)中國古代對于有理數(shù)及其運(yùn)算的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)，相比同時期的國外處于相對領(lǐng)先的地步.

1.1 負(fù)數(shù)的歷史

負(fù)數(shù)的歷史源遠(yuǎn)流長，它的概念最早出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中，書中的“方程”章主要講解了“方程術(shù)”，在方程組的加減消元中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的情形．為處理該情形，書中給出了正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則——“正負(fù)術(shù)”．同時，書中也給出了許多正負(fù)數(shù)的例子，如“方程”章中將“賣”記為正、“買”記為負(fù)，“余錢”記為正、“不足錢”記為負(fù)．?dāng)?shù)學(xué)家劉徽對正負(fù)數(shù)給出“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”的定義，更明確了正負(fù)數(shù)是用于表示相反意義的量，并用紅色(正放)算籌表示正、黑色(斜放)算籌表示負(fù)．

在國外，對負(fù)數(shù)的認(rèn)識比中國要晚很多．歐洲數(shù)學(xué)家更多關(guān)注負(fù)數(shù)的合理性，他們認(rèn)為0是最小的數(shù)，而比0小的數(shù)是不存在的，即負(fù)數(shù)是荒謬的．直到19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)建立，負(fù)數(shù)才逐漸被普遍認(rèn)可．

1.2 有理數(shù)的歷史

“萬物皆數(shù)”是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)基礎(chǔ)，這里的“數(shù)”指的是正整數(shù)或正整數(shù)之比，即正有理數(shù)．不難發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)更應(yīng)該是“可比數(shù)”或“成比例的數(shù)”．在《幾何原本》中，“λογο”(有理數(shù))就是“成比例的數(shù)”．1607年，中國數(shù)學(xué)家徐光啟在翻譯《幾何原本》時將有理數(shù)“proportio”翻譯為“理”，“理”在古漢語中意為“比例”．后來，日本學(xué)者在翻譯有理數(shù)的“理”時，直接使用了“理”，而非原意“比值”，這個錯誤就慢慢延續(xù)了下來．直到清末時期，中國留學(xué)生又將“有理數(shù)”傳回，“有理數(shù)”的叫法沿用至今．

1.3 有理數(shù)乘方的歷史

劉徽在《九章算術(shù)》中用“冪”表示矩形的面積，這是在數(shù)學(xué)著作中首次出現(xiàn)的“冪”．此后在《數(shù)書九章》《四元玉鑒》等數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，“冪”均表示一數(shù)的平方．1607年，徐光啟在《幾何原本》的譯本中重新使用“冪”字，并將其定義為“自乘之?dāng)?shù)”，這就相當(dāng)于定義“冪”為

a

．指數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代的音樂理論中．《管子》中說：“先主一而三之，四開合九九．”其中“四開”表示連乘4次，這將指數(shù)的概念明顯地表達(dá)了出來，也就是1用3去乘，連乘4次，得到結(jié)果就是九九之?dāng)?shù)，即3=9×9=81．在西方，乘方運(yùn)算起源很早，但指數(shù)的概念形成較晚．在法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)用字母表示數(shù)之后，相關(guān)冪的記法層出不窮，直到法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造了冪的新記號

a

，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉補(bǔ)充給出了指數(shù)的概念，自此形成了教材中乘方、指數(shù)等概念的定義與冪的符號．

2 不同教材中“有理數(shù)”單元的數(shù)學(xué)史

教材是教學(xué)內(nèi)容的重要載體，是教師教學(xué)的主要依據(jù)，教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容是教師進(jìn)行HPM教學(xué)的首要參考．現(xiàn)行的許多教材都通過設(shè)置特定欄目、選擇數(shù)學(xué)史習(xí)題等方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，供學(xué)生課后閱讀拓展．?dāng)?shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教材中的呈現(xiàn)方式主要有：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式(表1)．“有理數(shù)”單元中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)史料，以國內(nèi)人民教育出版社、江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社、北京師范大學(xué)出版社和華東師范大學(xué)出版社(以下分別簡稱為人教版、蘇科版、北師大版、華師大版)的四本七年級上冊數(shù)學(xué)教材為例，分析不同教材中“有理數(shù)”單元的數(shù)學(xué)史(表2)．

表1 數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式

類別描述點(diǎn)綴式與數(shù)學(xué)家、古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)等相關(guān)的插圖附加式數(shù)學(xué)史的文字閱讀材料,如數(shù)學(xué)家生平、數(shù)學(xué)概念的起源等復(fù)制式直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題、解法等順應(yīng)式根據(jù)歷史材料改編的數(shù)學(xué)問題重構(gòu)式借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展的歷史

表2 不同版本教材“有理數(shù)”單元中的數(shù)學(xué)史

教材版本章節(jié)主要內(nèi)容呈現(xiàn)方式人教版1.1 正數(shù)與負(fù)數(shù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展點(diǎn)綴式中國古代用算籌表示正負(fù)數(shù)附加式1.3 有理數(shù)的加減法填幻方順應(yīng)式中國負(fù)數(shù)的歷史附加式蘇科版2.5 有理數(shù)的加法與減法填幻方順應(yīng)式2.6 有理數(shù)的乘法與除法國內(nèi)外負(fù)數(shù)的歷史附加式北師大版2.1 有理數(shù)國內(nèi)外負(fù)數(shù)的歷史附加式2.9 有理數(shù)的乘方棋盤擺米的故事附加式華師大版2.1 有理數(shù)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展附加式2.8 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中國負(fù)數(shù)的歷史附加式2.11 有理數(shù)的乘方264有多大附加式2.15 用計算器進(jìn)行計算從繩結(jié)計數(shù)到計算器附加式

(1)編排數(shù)學(xué)史的章節(jié)．在四本教材中，數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)主要集中在有理數(shù)、有理數(shù)的運(yùn)算和有理數(shù)的乘方這三個章節(jié)中．編排數(shù)學(xué)史的章節(jié)與“有理數(shù)”單元中數(shù)學(xué)概念歷史基本吻合．

(2)滲透數(shù)學(xué)史的內(nèi)容．在四本教材中，“有理數(shù)”單元數(shù)學(xué)史的內(nèi)容主要為數(shù)的發(fā)展、負(fù)數(shù)的歷史、棋盤擺米的故事和幻方．其中負(fù)數(shù)的歷史在四本教材中都專門設(shè)置了閱讀板塊呈現(xiàn)．在人教版和華師大版中主要圍繞《九章算術(shù)》講述了中國負(fù)數(shù)的歷史，并重點(diǎn)介紹了“正負(fù)術(shù)”．人教版給出了用紅黑算籌進(jìn)行有理數(shù)加減運(yùn)算的圖示，直觀地呈現(xiàn)了古代的運(yùn)算方式，吸引力與可讀性更強(qiáng)；華師大版的材料中詳細(xì)介紹了《九章算術(shù)》和“正負(fù)術(shù)”，篇幅較大，且材料中出現(xiàn)“加減消元法”“韋達(dá)”等名詞，超越了學(xué)生的認(rèn)知水平，難以引發(fā)學(xué)生的閱讀興趣和認(rèn)知共鳴．蘇科版和北師大版都從國內(nèi)外兩個方面介紹了負(fù)數(shù)的發(fā)展.蘇科版是史料的列舉，學(xué)生淺嘗輒止，只能體會到負(fù)數(shù)發(fā)展的漫長；北師大版從中國負(fù)數(shù)概念的歷史切入，并與國外負(fù)數(shù)概念建立的曲折對比，選取內(nèi)容更利于學(xué)生形成對負(fù)數(shù)的文化性理解．

(3)數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式．在四本教材中，“有理數(shù)”單元的數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式以附加式為主，順應(yīng)式等其他方式為輔．附加式的內(nèi)容均在課后閱讀欄目中呈現(xiàn)，作為學(xué)生課后補(bǔ)充閱讀的相關(guān)素材．順應(yīng)式的數(shù)學(xué)史只聚焦于中國傳統(tǒng)游戲幻方．其他方式在四本教材的“有理數(shù)”單元中基本沒有體現(xiàn)．

3 思考與建議

3.1 有“米”而炊：融合不同版本教材

在HPM教學(xué)中，教師最大的煩惱就是缺乏數(shù)學(xué)史素材，而不同版本的教材就會從多種角度為教師提供數(shù)學(xué)史料．例如，在“正數(shù)與負(fù)數(shù)”一課中，教師可選取人教版“數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展”的圖片引入，揭示數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展離不開人類社會發(fā)展的需要，并提出“數(shù)0就表示‘沒有’嗎？”的問題，以數(shù)學(xué)史上西方對數(shù)0的困擾來導(dǎo)入對負(fù)數(shù)的探索，重構(gòu)負(fù)數(shù)的歷史；在課后拓展環(huán)節(jié)，可選取北師大版的閱讀材料“負(fù)數(shù)小史”來介紹中外負(fù)數(shù)的歷史，促進(jìn)學(xué)生文化性理解的形成，增強(qiáng)民族自豪感．教師在教學(xué)中有選擇地將不同教材中的史料融合，發(fā)揮它們的優(yōu)勢與亮點(diǎn)，同時將數(shù)學(xué)史素材“問題化”，引導(dǎo)學(xué)生重走數(shù)學(xué)內(nèi)容的產(chǎn)生與發(fā)展過程，形成對數(shù)學(xué)史的內(nèi)在認(rèn)同，真正發(fā)揮出數(shù)學(xué)史的育人價值．

3.2 多樣呈現(xiàn)：讓課堂浸潤數(shù)學(xué)史

就數(shù)學(xué)史在教材中的呈現(xiàn)方式而言，附加式偏多，其他方式相對較少．在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)彌補(bǔ)教材的不足，以多樣化的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，增添課堂的文化味．以蘇科版教材為例，在“有理數(shù)”單元，教材更關(guān)注有理數(shù)內(nèi)容的生活化，淡化了有理數(shù)中蘊(yùn)含的歷史價值．此時，教師可以在教學(xué)課件中以點(diǎn)綴式或附加式呈現(xiàn)相關(guān)史料，如《九章算術(shù)》中的“正負(fù)術(shù)”簡介、數(shù)學(xué)家劉徽的圖片、《九章算術(shù)》書影，等等．其次，可有目的地選取合適的課題組織重構(gòu)知識發(fā)生的歷史．另外，教師也可設(shè)計數(shù)學(xué)史主題的導(dǎo)學(xué)案，將精選的史料以紙質(zhì)形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以此增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

3.3 指向理解：數(shù)學(xué)史為知識學(xué)習(xí)服務(wù)

數(shù)學(xué)史料的選取要具備趣味性、科學(xué)性、可學(xué)性、有效性和人文性．這些數(shù)學(xué)史的選取以及在課堂教學(xué)中滲透的目的不僅是為了學(xué)生情感與價值觀的培養(yǎng)，更重要的是為學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想和掌握數(shù)學(xué)方法，做到數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而服務(wù)．例如，在有理數(shù)概念的教學(xué)中，教師可呈現(xiàn)有理數(shù)名稱由來的數(shù)學(xué)史料，但其目的是建立“理”與“比例”之間的聯(lián)系，消除學(xué)生從字面意思來理解有理數(shù)而產(chǎn)生的困惑，促進(jìn)學(xué)生對有理數(shù)概念的理解．

總之，數(shù)學(xué)史并非教師的“作秀”工具，數(shù)學(xué)史的滲透有其深層次的價值與意義.作為一線的教育工作者，更要重視教材、教學(xué)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)史，真正讓數(shù)學(xué)史落實(shí)到課堂中，真正讓數(shù)學(xué)史從“史學(xué)形態(tài)”走向“教育形態(tài)”．