概念表征視角下的高三“平面向量”復(fù)習(xí)課教學(xué)

韓聰

表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來(lái)，以達(dá)到交流的目的[1]．信息加工理論認(rèn)為，表征就是以一物代替另一物．美國(guó)學(xué)者Lesh認(rèn)為數(shù)學(xué)概念表征具有五種形式，即實(shí)際情境、圖象、實(shí)物操作（模型）、口頭語(yǔ)言和文字符號(hào)．Lesh強(qiáng)調(diào)各種表征之內(nèi)和表征之間的轉(zhuǎn)換，認(rèn)為學(xué)生必須具備以下條件才算真正理解一個(gè)概念：（1）能將概念放入不同表征系統(tǒng)中；（2）在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，能彈性處理這個(gè)概念；（3）能將概念在不同表征系統(tǒng)中進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換[1]．

不同表征將導(dǎo)致不同的思維方式，合理選擇表征形式可以降低解題難度[2，3]．教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)幫助學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)會(huì)合理選擇、使用以及轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)表征，并能在不同表征中建立聯(lián)系．

1 概念表征視角下的平面向量復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1教材分析

平面向量是高中數(shù)學(xué)的基本概念之一，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，常與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，在教學(xué)中占有重要地位．平面向量知識(shí)包括向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、數(shù)量積及其應(yīng)用三部分內(nèi)容，考查重點(diǎn)往往是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查中將幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)思維的靈活性．從表征的角度，平面向量主要有幾何表征、坐標(biāo)表征、符號(hào)表征三種表征形式[4]．

1.2學(xué)情分析

學(xué)生在高一已學(xué)過(guò)平面向量?jī)?nèi)容，已基本掌握平面向量的基本概念及相關(guān)運(yùn)算，但在多種表征相互轉(zhuǎn)化時(shí)常缺乏靈活性，尚不能解決平面向量較難問(wèn)題．因此本節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)及難點(diǎn)是幫助學(xué)生建立平面向量多種表征之間的聯(lián)系，能在不同表征間相互轉(zhuǎn)化以解決問(wèn)題．

2教學(xué)案例分析

2.1提高符號(hào)表征理解能力

向量是既有大小又有方向的量，這是它區(qū)別于數(shù)量的本質(zhì)特征．教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往忽視或不理解向量具有方向這一特征，教師應(yīng)在教學(xué)中幫助學(xué)生提高符號(hào)表征理解能力，

設(shè)計(jì)意圖 本題考查a．b=|a||b|cosθ在解題中的逆用，具有一定的技巧性，需要借助向量加減法的運(yùn)算及其幾何意義進(jìn)行適當(dāng)變形，在分析兩個(gè)向量夾角時(shí)，注意必須使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，此類題目需要學(xué)生根據(jù)題設(shè)建立幾何圖形與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)向量共線定理表示向量并進(jìn)行有效的向量運(yùn)算，進(jìn)而解決問(wèn)題．

2.3巧用坐標(biāo)表征解決復(fù)雜問(wèn)題

在解決圓、直角三角形、矩形等特殊圖形中的向量問(wèn)題時(shí)，可以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，能快速打開(kāi)思路，此類問(wèn)題往往考查平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算，在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中涉及多個(gè)未知數(shù)據(jù)以此來(lái)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)．

問(wèn)題4已知直角梯形ABCD中，AD／/BC，∠ADC= 90°，AD=2，BC=1，點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則| PA+3PB|的最小值為_(kāi)___．

師：此類問(wèn)題如果按照平面向量的線性運(yùn)算方法是很難求解的，因?yàn)轭}中有明顯的垂直關(guān)系，所以建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算后，難度就降低很多．本題我們應(yīng)該怎樣建坐標(biāo)系呢？

生：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OA，OC所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．

師：建立直角坐標(biāo)系后，就將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，難度就降低很多．我們?cè)诮忸}時(shí)如果遇到具有明顯垂直關(guān)系如圓、等邊三角形、直角三角形、矩形等圖形時(shí)，可以利用現(xiàn)有的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化計(jì)算．

設(shè)計(jì)意圖題中有垂直關(guān)系時(shí)，往往可以通過(guò)建坐標(biāo)系借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)求解，用坐標(biāo)表示向量后，向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用，通過(guò)此類題目的求解，讓學(xué)生再次體會(huì)幾何表征與坐標(biāo)表征相結(jié)合在解決向量難題時(shí)的優(yōu)勢(shì)．

3 教學(xué)反思

基于對(duì)平面向量概念的深度理解，在概念表征視角下設(shè)計(jì)平面向量高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)．教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用，有助于學(xué)生理解平面向量概念表征的多種形式，提高學(xué)生問(wèn)題表征能力及多種表征間相互轉(zhuǎn)換的能力．

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)概念具有多種表征形式．不同的表征形式反映概念表征中不同的邏輯水平，學(xué)生從一種表征到另一種表征的轉(zhuǎn)換不僅是概念邏輯水平的轉(zhuǎn)變，同時(shí)也是思維水平的轉(zhuǎn)變[5]．這種轉(zhuǎn)變代表著概念理解方面質(zhì)的飛躍，這種質(zhì)的飛躍往往需要較長(zhǎng)時(shí)間，有些學(xué)生甚至長(zhǎng)期無(wú)法完成，教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程，幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念，

參考文獻(xiàn)

[1]鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M]．上海：上海教育出版社，2009

[2]石翠娟．基于多元表征的初中函數(shù)問(wèn)題解決的研究[D]．揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2018

[3]韓茜鈴．小學(xué)生分?jǐn)?shù)表征能力的現(xiàn)狀研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2020

[4]陳影，基于表征視角高中生向量知識(shí)認(rèn)知的調(diào)查研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2017

[5]李善良．關(guān)于數(shù)學(xué)概念表征層次的研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14 （4）：35-37