對(duì)一道2015年浙江預(yù)賽附加題的再探究

浙江省臺(tái)州市玉環(huán)中學(xué) (317600) 鄔仁勇浙江省嘉興市第一中學(xué) (314050) 沈新權(quán)

文[1]對(duì)2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽附加題1的解法作了探討，得到了一些新的結(jié)論，并對(duì)試題作了推廣，讀后很受啟發(fā)．我們?cè)谖腫1]的基礎(chǔ)上對(duì)這個(gè)問(wèn)題及其解法作了進(jìn)一步的探究，得到了二階線性遞推關(guān)系與另外兩個(gè)遞推關(guān)系的等價(jià)結(jié)論，結(jié)合模數(shù)列周期性的結(jié)論，對(duì)文[1]留下的三個(gè)困惑作了研究和思考，提出了我們的看法．為了方便閱讀，我們將原題呈現(xiàn)如下：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+

1. 三個(gè)等價(jià)的遞推關(guān)系

利用上面的分析方法，我們可以得到下面的更一般性的結(jié)論，結(jié)論的證明請(qǐng)讀者自行完成．

定理1 如果數(shù)列{an}(其中an+2≠tan,n=1,2,… )滿足下列三個(gè)遞推關(guān)系中的一個(gè)，那么它也滿足其余兩個(gè)遞推關(guān)系(其中s,t≠0為常數(shù))：

(1)an+2+san+1+tan=0 ②；

也就是說(shuō)，上面的②③④三式是等價(jià)的．

2 困惑(3)、(2)的思考

上面的討論方法以及定理1的這幾個(gè)結(jié)論，對(duì)我們思考困惑(3)、(2)有很大的啟發(fā)．

3 困惑(1)的思考

下面我們利用同余的性質(zhì)來(lái)證明數(shù)列{an}的項(xiàng)被31除所得到的余數(shù)的周期為15.

因?yàn)閍n+2=6an+1-an且a1=1,a2=5，所以a3=6a2-a1=6×5-1≡29(mod31)，a4=6a3-a2≡6×29-5≡6×(-2)-5≡14(mod31)，為了節(jié)省篇幅，接下來(lái)我們只列出同余式：a5≡24(mod31)，a6≡6(mod31)，a7≡12(mod31)，a8≡4(mod31)，a9≡12(mod31)，a10≡6(mod31)，a11≡24(mod31)，a12≡14(mod31)，a13≡29(mod31)，a14≡5(mod31)，a15≡1(mod31)，a16≡1(mod31)，a17≡5(mod31)，于是，由遞推式an+2=6an+1-an并結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可以證明，模數(shù)列{an(mod31)}是周期為15的周期數(shù)列，即如果我們記模數(shù)列{an(mod31)}為{bn}，則對(duì)于一切的n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn+15=bn．

為了讓讀者進(jìn)一步了解遞推數(shù)列的模數(shù)列的周期性，我們?cè)俳o出定理2，有興趣的讀者可以參閱文[2]證明．

定理2 已知數(shù)列{an}滿足an+2=c1an+1+c2an(n∈N*)，其中a1,a2，c1,c2都是整數(shù).如果(ci,m)=1(i=1,2)，則模數(shù)列{an(modm)}是周期數(shù)列.

在定理2的基礎(chǔ)上，我們回過(guò)頭再來(lái)思考2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽附加題1第(2)小題的解法，這種思考會(huì)給我們今后解決這類問(wèn)題帶來(lái)一定的啟發(fā)．附加題1的第(2)小題是要我們判斷是否存在m∈N*，使得2015|am．由于數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系an+2=6an+1-an，由定理2我們知道用與6互素的數(shù)去模數(shù)列{an}中的項(xiàng)，其模數(shù)列必定是周期數(shù)列．因此，要解決第(2)小題，我們需首先考慮用2015的質(zhì)因數(shù)5，13以及31去模數(shù)列{an}中的項(xiàng)，由a1=1,a2=5及遞推關(guān)系an+2=6an+1-an，容易驗(yàn)證a2≡0(mod5)，a4≡0(mod13)，所以，為了解決問(wèn)題，我們只能選擇31去模數(shù)列{an}中的項(xiàng)，由于{an(mod13)}是周期數(shù)列，因此，接下來(lái)的事情我們只需要通過(guò)a1=1,a2=5及遞推關(guān)系an+2=6an+1-an找到{an(mod13)}一個(gè)周期里面的所有的項(xiàng)(余數(shù))中沒(méi)有一個(gè)為0，問(wèn)題就解決了．至此，文[1]中的困惑(1)徹底解決．