晶體相場法研究不同初始缺口微裂紋高溫下的擴展連通

王 進 馬文婧 呂美妮 李冬德 汪嘉成

（1．廣西機器視覺與智能控制重點實驗室，廣西 梧州 543002；2．梧州學院電子與信息工程學院，廣西 梧州 543002）

0 引言

已有研究者對金屬微互連結(jié)構(gòu)界面微裂紋擴展導致斷裂這一決定金屬微互連結(jié)構(gòu)服役性能的重要因素進行了大量的研究，但是已有的研究者大多從宏觀規(guī)律出發(fā)研究裂紋斷裂現(xiàn)象，隨著對微裂紋擴展研究的深入，研究者們發(fā)現(xiàn)裂紋擴展在微觀納米尺度就已經(jīng)開始。雖然已有大量試驗研究微裂紋的形核與擴展生長，但是受到試驗條件的影響，很難在目前試驗條件下進行詳細的跟蹤研究。因此，借助計算模擬的方法對微裂紋擴展連通進行研究顯得尤為重要。Gao等人通過晶體相場模型研究了材料中裂紋擴展行為；Lu等人研究發(fā)現(xiàn)單軸拉伸應力下同取向角對微裂紋的擴展行為影響較大。該文采用基于經(jīng)典密度泛函理論的晶體相場方法研究金屬微互連結(jié)構(gòu)界面不同初始缺口區(qū)域形貌微裂紋在高溫情況下擴展過程中的連通行為，主要研究高溫對初始缺口區(qū)域形貌為雙正方形和初始缺口區(qū)域形貌為雙矩形的微裂紋擴展過程中擴展形貌的微觀組織形貌演化過程的影響，分析對微裂紋擴展長度和微裂紋擴展面積等生長動力學的影響。

1 計算模型

單組元晶體相場模型中固相原子密度場可以表示如公式（1）～公式（3）所示。

式中：為平均原子密度；為固相原子周期結(jié)構(gòu)的振幅，為一個特定常數(shù)，如公式（3）所示；為無量綱化原子密度場；、為空間坐標。

模擬過程用與時間相關的Cahn-Hilliard動力學方程描述保守的原子密度場變量，如公式（4）所示。

式中：為隨機熱噪聲項，由于在該文的研究中噪聲項的影響很小，因此可以忽略不計；Δ為拉普拉斯（Laplace）算子；為與溫度有關的無量綱化過冷度。

將公式（4）采用Euler迭代的數(shù)值求解方法。在求解過程中，對于Δ，為了保證數(shù)值的穩(wěn)定性，只考慮次近鄰格點，如公式（5）所示。

不同初始缺口區(qū)域形貌情況下應變（）施加方式如圖1（a）所示，放大的初始缺口（空位聚集）區(qū)域正方形形貌如圖1（b）所示，放大的初始缺口（空位聚集）區(qū)域矩形形貌如圖1（c）所示。

圖1 模擬區(qū)域示意圖

形變過程中公式（1）將發(fā)生相應的變化，變形后如公式（6）所示。

式中：ε為方向應變；ε為方向上的應變。

該文模擬區(qū)域設置為512Δ×512Δ的四方格子網(wǎng)絡（也稱之為512×512gp，gp即grid point，表示一個Δ×Δ的格點）所使用的所有物理參數(shù)均已進行無量綱化處理。體系動力學方程在形變前后均保持一致，時間步長設置為Δ=0.05，空間步長設置為Δ=Δ=π/3，高溫設置在=-0.8，晶粒取向角為15.0°，模擬過程中均采用周期性邊界條件。初始缺口區(qū)域形貌采用分布在區(qū)域中位線的兩端同為正方形（或者同為矩形），且正方形初始缺口區(qū)域和矩形初始缺口區(qū)域的面積相等。

2 結(jié)果與分析

2.1 高溫情況下不同初始缺口區(qū)域形貌對金屬微互連結(jié)構(gòu)界面微裂紋擴展影響的微觀組織分析

高溫（=-0.8）情況下兩種初始缺口區(qū)域形貌微裂紋擴展連通過程的微觀形貌演化圖如圖所示。從圖2中可以看出，隨著演化時間的增加，金屬微互連結(jié)構(gòu)界面微裂紋逐漸開始擴展生長，生長過程中主裂紋不斷長大，同時隨著演化時間的增加二次微裂紋和三次微裂紋逐漸出現(xiàn)并生長。生長過程中無論初始缺口區(qū)域形貌為矩形或者初始缺口區(qū)域形貌為正方形，初始缺口區(qū)域左側(cè)的微裂紋生長明顯比初始缺口區(qū)域右側(cè)的微裂紋生長緩慢。從圖2（a4）中可以看出，初始缺口區(qū)域為正方形的微裂紋生長過程中的二次微裂紋和三次微裂紋在初始缺口區(qū)域周圍，距離主裂紋有一定的距離，造成這一現(xiàn)象的原因是主裂紋擴展過程中原子畸變引起初始缺口區(qū)域周圍出現(xiàn)新的缺陷，并導致二次微裂紋和三次微裂紋的出現(xiàn)與擴展生長。從圖2中可以看出隨著演化時間的增加，主裂紋的擴展呈現(xiàn)“一字型”。主裂紋的尖端比較尖銳，呈“劍型”尖端。初始缺口區(qū)域位于左側(cè)的微裂紋擴展生長基本沿著右上方進行擴展生長，擴展生長少量分布在演化區(qū)域下半部分，而初始缺口區(qū)域位于右側(cè)的主裂紋擴展生長主要沿著左下方進行擴展生長，大部分位于模擬區(qū)域下半部分，少量分布在模擬區(qū)域上半部分。從圖2（a2）、（a3）和（a4）中可以看出，初始缺口區(qū)域位于右側(cè)的主裂紋擴展生長過程中會出現(xiàn)較多的階梯狀微裂紋擴展，而這一現(xiàn)象不存在于初始缺口區(qū)域形貌為矩形的微裂紋擴展過程中。

圖2 高溫下不同初始缺口區(qū)域形貌微裂紋擴展的微觀組織形貌

2.2 高溫情況下2種不同初始缺口區(qū)域形貌金屬微互連結(jié)構(gòu)界面微裂紋擴展連通過程的動力學分析

高溫情況下金屬微互連結(jié)構(gòu)界面兩種初始缺口區(qū)域形貌微裂紋擴展過程中微裂紋長度隨演化時間的變化規(guī)律如圖3所示。由于微裂紋在納米級別，因此微裂紋長度的統(tǒng)計采用主裂紋周長的一半來表示。從圖3中可以看出，隨著演化時間的增加，初始缺口區(qū)域形貌為正方形和初始缺口區(qū)域形貌為矩形的微裂紋擴展長度逐漸增加。微裂紋擴展過程中初始缺口區(qū)域形貌為矩形的微裂紋擴展長度大于初始缺口區(qū)域形貌為正方形的微裂紋擴展長度。從圖3中微裂紋擴展生長的長度可以得出微裂紋的擴展生長基本呈線性生長。

圖3 高溫情況下2種初始缺口區(qū)域形貌微裂紋長度隨時間的變化關系

隨演化時間的增加微裂紋擴展面積占總面積的百分比規(guī)律如圖4所示。從圖4中可以看出，初始缺口區(qū)域形貌為正方形和初始缺口區(qū)域形貌為矩形的微裂紋擴展面積隨著演化時間的增加逐漸增大。相同演化時間情況下，初始缺口區(qū)域形貌為矩形的微裂紋在擴展過程中所占面積百分比比初始缺口區(qū)域形貌為正方形的微裂紋擴展面積占總面積的百分比大，和圖2中反映的生長規(guī)律一致。

圖4 縱坐標單位是%

2種不同初始缺口區(qū)域形貌高溫下主裂紋擴展過程中占整個微裂紋擴展面積的百分例如圖5所示。從圖5中可以看出，隨著演化時間的增加，初始缺口區(qū)域形貌為正方形和初始缺口區(qū)域形貌為矩形的主裂紋擴展面積占微裂紋擴展總擴展面積的百分比逐漸增大。相同演化時間情況下，初始缺口區(qū)域形貌為矩形的主裂紋所占微裂紋擴展面積的比例遠高于初始形貌區(qū)域為正方形的主裂紋擴展面積所占微裂紋擴展總面積的百分比，演化后期趨于一致。隨著主裂紋擴展百分比的增加，說明擴展過程中主裂紋的擴展占主導地位。演化后期主裂紋擴展占總擴展面積比例接近58%。

圖5 不同初始缺口高溫情況下主裂紋擴展面積與總擴展面積的關系

3 結(jié)論

初始缺口區(qū)域形貌為正方形和初始缺口區(qū)域形貌為矩形的微裂紋隨著演化時間的增加呈“一字型”劍狀擴展。初始缺口區(qū)域位于左側(cè)的微裂紋擴展生長基本沿著右上方進行擴展生長，擴展生長少量分布在演化區(qū)域下半部分，而初始缺口區(qū)域位于右側(cè)的主裂紋擴展生長主要沿著左下方進行擴展生長，大部分位于模擬區(qū)域下半部分，少量分布在模擬區(qū)域上半部分。相同演化時間情況下，主裂紋周圍分布大量和主裂紋并不連通的二次微裂紋和三次微裂紋。

隨著演化時間的增加微裂紋擴展長度、擴展過程中擴展面積占總面積的百分比和主裂紋擴展面積占總擴展面積的百分比逐漸增加，初始缺口區(qū)域為矩形的微裂紋擴展過程中微裂紋擴展長度、擴展過程中擴展面積占總面積的百分比和主裂紋擴展面積占總擴展面積的百分比均高于初始缺口區(qū)域為正方形的微裂紋擴展過程中微裂紋擴展長度、擴展過程中擴展面積占總面積的百分比和主裂紋擴展面積占總擴展面積的百分比。