基于DIC 的含3D 打印起伏節(jié)理試樣破裂特性及損傷本構(gòu)

王本鑫，金愛(ài)兵，趙怡晴?，孫 浩，劉加柱

1) 北京科技大學(xué)金屬礦山高效開(kāi)采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083 2) 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083 3) 查爾姆斯理工大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，哥德堡 41296 4) 五礦有色金屬股份有限公司，北京 100044

巖體工程的失穩(wěn)破壞受很多因素影響[1]，除了巖體是否完整以及巖體的連續(xù)性[2]，巖體中節(jié)理形貌特征也是影響巖體力學(xué)及破裂特性的重要因素[3].目前雖然規(guī)則節(jié)理巖體力學(xué)性質(zhì)已有較多研究，但受限于實(shí)際表征的困難性和復(fù)雜性，含起伏等不規(guī)則節(jié)理巖體力學(xué)性質(zhì)方面的研究仍不夠深入.起伏節(jié)理的形貌特征與平直節(jié)理有很大差異，室內(nèi)試驗(yàn)中插縫和切槽等方式不能適用于起伏節(jié)理試樣的制作.室內(nèi)條件下如何進(jìn)行起伏節(jié)理模型的準(zhǔn)確表征和精準(zhǔn)制作是研究起伏節(jié)理巖體力學(xué)特性的基礎(chǔ)和前提.

3D 打印技術(shù)的興起[4-6]，為解決上述問(wèn)題提供了有效途徑.其操作簡(jiǎn)單靈活，能夠制作各種形狀的節(jié)理模型，實(shí)現(xiàn)同種模型批量制作，保證模型參數(shù)的一致性，提高節(jié)理角度和位置精度[7-8].目前已有較多學(xué)者將3D 打印技術(shù)應(yīng)用于巖體力學(xué)及破裂特性的研究[9-12].王培濤等[13]基于3D 打印技術(shù)分別進(jìn)行了含粗糙節(jié)理網(wǎng)絡(luò)和粗糙節(jié)理試樣的單軸壓縮和直剪試驗(yàn)，證明了3D 打印技術(shù)可用于含粗糙節(jié)理試樣力學(xué)特性研究.金愛(ài)兵等[14-15]對(duì)含3D 打印單一節(jié)理和交叉節(jié)理試樣的破裂機(jī)理進(jìn)行了研究，通過(guò)理論分析探究了起裂角與節(jié)理傾角之間的關(guān)系，結(jié)果與前人研究具有良好的一致性，再次證明了3D 打印技術(shù)可用于探究節(jié)理巖體的破裂特性.

荷載條件下巖體破裂和損傷本構(gòu)特性的研究一直以來(lái)都是巖體力學(xué)研究的重點(diǎn).雖然已有較多關(guān)于節(jié)理巖體損傷本構(gòu)方面的研究[16-21]，但是大多以平直節(jié)理為前提，起伏節(jié)理巖體的本構(gòu)模型研究涉及較少，需進(jìn)一步探究起伏節(jié)理巖體的損傷本構(gòu)模型.

應(yīng)力強(qiáng)度因子(Stress intensity factor，SIF)[22]作為求解節(jié)理對(duì)巖體損傷的基本參數(shù)，可根據(jù)斷裂力學(xué)原理采用數(shù)學(xué)方法通過(guò)節(jié)理尖端的位移場(chǎng)計(jì)算求得[23].數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)(Digital image correlation method，DIC)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)加載過(guò)程中試樣的全程位移場(chǎng)進(jìn)行提取.基于DIC 技術(shù)將室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和節(jié)理巖體損傷本構(gòu)模型相結(jié)合，為節(jié)理尖端SIF、起伏節(jié)理試樣破裂機(jī)理和損傷本構(gòu)分析提供新的途徑.

本文采用3D 打印技術(shù)制作了不同傾角的起伏節(jié)理模型，澆筑成試樣后進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn).為了探究起伏節(jié)理試樣的破裂機(jī)理和損傷本構(gòu)特性，基于DIC 技術(shù)對(duì)加載過(guò)程中試樣變形進(jìn)行監(jiān)測(cè)分析，提取應(yīng)變及位移場(chǎng)進(jìn)行破裂演化規(guī)律和破裂模式表征.根據(jù)斷裂力學(xué)方法利用節(jié)理尖端位移場(chǎng)計(jì)算節(jié)理尖端的SIF，進(jìn)而通過(guò)數(shù)據(jù)擬合對(duì)起伏節(jié)理試樣的損傷本構(gòu)模型進(jìn)行求解分析.該方法亦可用于其他節(jié)理巖體的破裂和損傷本構(gòu)特性的研究.

1 試驗(yàn)方案

1.1 含3D 打印起伏節(jié)理試樣的制作

含3D 打印起伏節(jié)理試樣的制作分為兩個(gè)部分：起伏節(jié)理的制作和試樣的澆筑，制作流程如圖1所示.首先采用CAD 軟件進(jìn)行起伏節(jié)理數(shù)值模型的構(gòu)建，并導(dǎo)出為STL 格式，然后將模型導(dǎo)入打印軟件并設(shè)置打印參數(shù)，最后進(jìn)行模型的打印.模型采用XYZ Printing 3D 打印機(jī)基于熔融堆積原理制作而成.

圖1 含3D 打印起伏節(jié)理試樣制作流程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the production process of specimens with 3D printing of undulating joints

預(yù)制節(jié)理為聚乳酸PLA 材料剛度遠(yuǎn)小于試樣基質(zhì)材料，相同應(yīng)力條件下節(jié)理變形遠(yuǎn)大于基質(zhì)變形，在剪切作用下能發(fā)生斷裂，所以3D 打印節(jié)理變形不會(huì)影響試樣本有的破裂特性.起伏節(jié)理制作時(shí)打印了寬度為50 mm 的底座，底座寬度與試模寬度相等，澆筑時(shí)兩者可卡牢固定.節(jié)理幾何參數(shù)如圖2 所示，節(jié)理厚度為1 mm，節(jié)理長(zhǎng)度取兩端的連線(xiàn)距離，用l表示，l=15 mm；起伏高度為頂點(diǎn)到兩端連線(xiàn)的距離，用h表示，文中節(jié)理的最大起伏高度hmax=4.5 mm，故最大起伏角i=arctan[2hmax/(0.5l)]≈50.2°；節(jié)理傾角為兩端連線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)與水平方向的夾角，用α表示，試驗(yàn)設(shè)計(jì)了0°，30°，45°，60°和90° 5 種有代表性的傾角.試樣為長(zhǎng)方體形，長(zhǎng)×寬×高=50 mm×50 mm×100 mm，均在相同尺寸的鋼制模具中澆筑而成.澆筑材料為水泥砂漿，按水泥、砂和水以質(zhì)量比4∶2∶1 混合均勻后配制而成.經(jīng)測(cè)試澆筑材料的單軸強(qiáng)度、彈性模量和泊松比分別為26.7 MPa、7.51 GPa 和0.25.

圖2 起伏節(jié)理試件幾何參數(shù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of geometric parameters of an undulating joint specimen

1.2 試驗(yàn)條件及加載方案

為了探究單軸壓縮條件下起伏節(jié)理試樣的力學(xué)變形特性、破裂演化規(guī)律及損傷本構(gòu)特性，采用YAW-600 型微機(jī)控制電液伺服巖石壓力試驗(yàn)機(jī)對(duì)試樣進(jìn)行加載，采用Correlated Solutions 非接觸全場(chǎng)應(yīng)變監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)試樣表面全程變形過(guò)程進(jìn)行監(jiān)測(cè)，基于DIC 技術(shù)通過(guò)Vic-3D 圖像處理軟件對(duì)試樣表面的全場(chǎng)位移和應(yīng)變進(jìn)行分析，最后根據(jù)位移和應(yīng)變場(chǎng)探究破裂和損傷本構(gòu)特性，單軸壓縮測(cè)試系統(tǒng)如圖3 所示.

圖3 單軸壓縮測(cè)試系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of a uniaxial compressive test system

YAW-600 型試驗(yàn)機(jī)最大試驗(yàn)力600 kN，加載過(guò)程采用位移控制，速率為0.0015 mm·s-1，位移分辨率為3 μm，峰后應(yīng)力降至峰值應(yīng)力的50%左右時(shí)停止加載.Correlated Solutions 非接觸全場(chǎng)應(yīng)變監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采集的單張圖像大小12 MB，全程采用1 幀·s-1的速率進(jìn)行圖像采集，該速率可有效觀(guān)測(cè)到裂隙的演化過(guò)程，同時(shí)可以減小采集數(shù)據(jù)量，便于后期數(shù)據(jù)處理分析.Vic-3D 圖像分析軟件基于DIC 技術(shù)可進(jìn)行最小分辨率0.005%的數(shù)據(jù)處理工作，應(yīng)變測(cè)量范圍在0.005%～2000%，比普通處理方法的精度高、測(cè)量范圍廣.為了避免因試樣數(shù)量太少造成試驗(yàn)結(jié)果誤差較大，每種工況條件的試樣均進(jìn)行3 次試驗(yàn)，取強(qiáng)度與平均值較為接近的試樣進(jìn)行研究.

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 不同傾角起伏和平直節(jié)理試樣力學(xué)特性對(duì)比分析

不同傾角條件下起伏節(jié)理試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)均有與完整試樣相同的壓密、彈性、屈服和應(yīng)變軟化4 個(gè)變形階段(圖4)，但由于起伏節(jié)理的存在，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)與完整試樣均有所不同，其中α=0°試樣除峰值強(qiáng)度略有下降外，其壓密和彈性變形階段與完整試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)最為接近，由此可知，α=0°時(shí)對(duì)力學(xué)性質(zhì)影響最小.由圖4中完整試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)可知，水泥砂漿材料具有完整的壓密、彈性、屈服、應(yīng)變軟化和殘余強(qiáng)度階段，力學(xué)及變形特性與真實(shí)巖石十分相似，采用水泥砂漿進(jìn)行本文研究是合理的.

圖4 試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.4 Stress-strain curves of joint specimens

對(duì)比圖4 前期研究中[14]不同傾角平直節(jié)理試樣的單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)，兩種試樣在α=30°和60°時(shí)的峰值應(yīng)力較為接近，其他傾角條件下差異均較大.α=90°時(shí)，起伏節(jié)理試樣的峰值應(yīng)力接近最小值，但平直節(jié)理試樣峰值應(yīng)力最大；α=45°時(shí)，起伏節(jié)理試樣的峰值應(yīng)力較大，但平直節(jié)理試樣的峰值應(yīng)力最小.這是由起伏節(jié)理復(fù)雜性造成的，節(jié)理的起伏使其相對(duì)于平直節(jié)理具有了更強(qiáng)的各向異性，所以不同傾角條件下起伏節(jié)理試樣力學(xué)性質(zhì)的規(guī)律性較差.

起伏節(jié)理試樣強(qiáng)度在14.27～22.07 MPa 之間波動(dòng)，相對(duì)于完整試樣強(qiáng)度減小了17.3%～46.6%.隨節(jié)理傾角的變化，起伏節(jié)理試樣單軸強(qiáng)度呈倒“N”型，平直節(jié)理試樣呈“V”型(圖5).起伏節(jié)理試樣的單軸強(qiáng)度在α=0°時(shí)最大，而平直節(jié)理試樣在α=90°時(shí)最大；α=30°時(shí)起伏節(jié)理試樣的單軸強(qiáng)度最小，且α=60°和90°時(shí)單軸強(qiáng)度與之相差較小，三者單軸強(qiáng)度與α=45°時(shí)對(duì)應(yīng)的平直節(jié)理試樣最小單軸強(qiáng)度非常接近，差異性小于5%，相對(duì)于完整試樣強(qiáng)度最多減小46.6%，故可認(rèn)為兩種節(jié)理對(duì)試樣造成的損傷上限為46.6%.某一強(qiáng)度條件下(如圖5中紅色虛線(xiàn)所示)，平直節(jié)理試樣最多對(duì)應(yīng)兩種傾角，起伏節(jié)理試樣最多對(duì)應(yīng)3 種傾角，所以起伏節(jié)理試樣強(qiáng)度受傾角影響的敏感性大于平直節(jié)理試樣，這與起伏節(jié)理形態(tài)比平直節(jié)理復(fù)雜，試樣的各向異性更強(qiáng)，強(qiáng)度離散性更大有關(guān)，因此會(huì)出現(xiàn)相同傾角條件下兩種試樣的強(qiáng)度差異較大的情況.

圖5 不同傾角起伏節(jié)理和平直節(jié)理試樣的單軸強(qiáng)度對(duì)比Fig.5 Comparison of the uniaxial strength of undulating and straight joints specimen with various dip angles

2.2 起伏節(jié)理試樣破裂模式及破裂演化分析

采用DIC 技術(shù)對(duì)試樣的全場(chǎng)應(yīng)變處理分析，獲取壓縮過(guò)程中起伏節(jié)理試樣表面的全程位移場(chǎng)，進(jìn)一步計(jì)算Lagrange 應(yīng)變張量，獲取應(yīng)變場(chǎng)，通過(guò)對(duì)比位移云圖和ε2-Lagrange(最小主應(yīng)變)云圖，發(fā)現(xiàn)ε1-Lagrange(最大主應(yīng)變)云圖能有效表征試樣的破裂模式，如圖6 所示，圖中的應(yīng)變集中帶與試樣破裂后裂隙的分布情況有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，故采用ε1-Lagrange(下文用ε1表示)主應(yīng)變?cè)茍D對(duì)試樣的破裂模式進(jìn)行分析.

圖6 不同傾角起伏節(jié)理試樣的ε1 主應(yīng)變?cè)茍DFig.6 ε1 principal strain nephogram of undulating joint specimens with various dip angles

由圖7(a)可見(jiàn)，起伏節(jié)理試樣中的裂隙主要由縱向張裂隙(紅線(xiàn))和傾斜剪裂隙(藍(lán)線(xiàn))組成，其中，剪裂隙多分布在節(jié)理附近，并向試樣兩端演化為沿最大主應(yīng)力方向的張裂隙.α=30°、60°和90°試樣，裂隙呈正“Y”形和倒“Y”形分布，α=0°試樣的破裂模式為兩條連接節(jié)理端部的縱向裂隙，α=45°試樣下部為剪裂隙，上部為連接節(jié)理上端的張裂隙和剪裂隙分支.對(duì)比前期研究中不同傾角條件下平直節(jié)理試樣的破裂模式(圖7(b))[14]，起伏節(jié)理試樣的破裂模式更為復(fù)雜，平直節(jié)理試樣的破裂以單條貫通裂隙為主，裂隙類(lèi)型較為單一，如α=30°和60°試樣為剪切破裂，α=90°試樣為張拉破裂，而起伏節(jié)理試樣裂隙數(shù)量多大于等于2 條，且多以張剪破裂組合為主.

圖7 試樣的破裂模式.(a)起伏節(jié)理試樣；(b)平直節(jié)理試樣Fig.7 Fracture modes of: (a) undulating joint specimens;(b) straight joint specimens

為了進(jìn)一步探究起伏節(jié)理試樣的破裂演化過(guò)程，以α=45°試樣為例對(duì)裂隙演化過(guò)程(圖8)進(jìn)行分析.由圖8 可知，壓密和彈性階段節(jié)理附近無(wú)明顯應(yīng)變集中，不發(fā)生裂隙擴(kuò)展；屈服階段a 點(diǎn)時(shí)節(jié)理下端開(kāi)始產(chǎn)生小范圍的應(yīng)變集中，此后應(yīng)變集中區(qū)逐漸向節(jié)理上端延伸，連接節(jié)理上下兩端；b 點(diǎn)時(shí)應(yīng)力達(dá)到峰值19.83 MPa，形成一條兩端向縱向延伸覆蓋節(jié)理的應(yīng)變集中帶，且節(jié)理下端附近應(yīng)變集中區(qū)的應(yīng)變?cè)龃蟮?.32%；應(yīng)變軟化階段，c 點(diǎn)時(shí)應(yīng)力由峰值降至18.43 MPa，應(yīng)變集中帶的應(yīng)變進(jìn)一步增加至0.63%，但應(yīng)變集中帶無(wú)明顯延伸；d 點(diǎn)時(shí)應(yīng)力降至17.43 MPa，應(yīng)變集中帶擴(kuò)展至試樣上下兩端，且最大應(yīng)變?cè)鲋?.75%，隨后應(yīng)變集中帶中的應(yīng)變繼續(xù)擴(kuò)大，如e 點(diǎn)和f 點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的ε1主應(yīng)變?cè)茍D所示.起裂主要發(fā)生在峰值應(yīng)力附近，裂隙在峰后迅速擴(kuò)展，當(dāng)應(yīng)力降至峰值應(yīng)力的87.9%時(shí)，應(yīng)變集中帶擴(kuò)展至試樣上下兩端，此時(shí)的裂隙由損傷帶上眾多微裂隙組成，當(dāng)應(yīng)力降至峰值應(yīng)力的63%時(shí)，微破裂連接成肉眼可見(jiàn)的宏觀(guān)裂隙.

圖8 α=45°起伏節(jié)理試樣破裂隨應(yīng)力-應(yīng)變的演化過(guò)程Fig.8 Fracture evolution in an undulating joint specimen with stress-strain at α=45°

3 起伏節(jié)理尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

為了進(jìn)一步探究單軸壓縮條件下起伏節(jié)理試樣的破裂演化機(jī)理，基于DIC 技術(shù)獲取的試樣表面位移場(chǎng)，采用斷裂力學(xué)方法計(jì)算起伏節(jié)理左右尖端的SIF，分析起裂擴(kuò)展機(jī)理，并為損傷本構(gòu)關(guān)系的研究提供基礎(chǔ).Williams 多項(xiàng)式是通過(guò)表面位移場(chǎng)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的橋梁，其原理為將裂隙尖端坐標(biāo)和應(yīng)力強(qiáng)度因子作為未知量，以裂隙尖端為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)裂隙面與x軸的負(fù)半軸重合，采用極坐標(biāo)(r，θ)表示裂隙尖端附近的位移場(chǎng)(圖9)方程組[22-23]，如式(1)～(3)所示.

圖9 節(jié)理尖端極坐標(biāo)示意圖Fig.9 Polar coordinate diagram of a joint tip

式中，ux和uy分別為x和y方向的位移；G為剪切模量，G=E/[2(1+μ)]；E為彈性模量；μ為泊松比；r和θ分別為極坐標(biāo)參數(shù)；An和Bn分別表示位移對(duì)應(yīng)的I 型和II 型裂隙系數(shù)，n為級(jí)數(shù)序列.由文獻(xiàn)[23]可知裂隙平動(dòng)與A0和B0有關(guān)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與B2有關(guān)，I 型和II 型裂隙的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI和KII分別與系數(shù)A1和B1對(duì)應(yīng)，可通過(guò)式(4)計(jì)算：

采用以上方法對(duì)各試樣節(jié)理尖端的SIF 進(jìn)行計(jì)算，不同變形階段節(jié)理左右尖端的KI和KII的計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表1 所示.表中KI_l和KII_l分別表示節(jié)理左端一型和二型SIF，KI_r、和KII_r分別表示節(jié)理右端一型和二型SIF.

表1 不同變形階段節(jié)理尖端SIFTable 1 SIF of joint tips at various deformation stages

由于起裂擴(kuò)展主要發(fā)生在應(yīng)力峰值和峰后破裂階段，故對(duì)各試樣這兩個(gè)階段節(jié)理尖端的I 型和II 型SIF 進(jìn)行分析，如圖10 所示.應(yīng)力峰值和峰后節(jié)理右端應(yīng)力強(qiáng)度因子KI_r＜KII_r，說(shuō)明右端主要以剪切形式起裂和擴(kuò)展；而節(jié)理左端峰值階段KI_l＞KII_l，峰后階段KI_l＜KII_l，說(shuō)明節(jié)理左端以張拉形式起裂，以剪切形式擴(kuò)展，左右兩端的起裂形式不同，但擴(kuò)展方式相同.峰值時(shí)隨節(jié)理傾角的增大，KI_l呈先減小后增大再減小的趨勢(shì)，與強(qiáng)度的變化趨勢(shì)相同，峰值時(shí)節(jié)理左端I 型SIF(KI_l)能一定程度上表征強(qiáng)度的變化趨勢(shì).

圖10 應(yīng)力峰值和峰后破裂時(shí)各試樣的SIFFig.10 SIF in specimens at peak stress and postpeak stress

為了更加充分說(shuō)明加載過(guò)程中試樣尖端SIF隨應(yīng)力、應(yīng)變以及破裂的變化關(guān)系，以α=30°試樣為例對(duì)起伏節(jié)理試樣加載過(guò)程中應(yīng)力、應(yīng)變、節(jié)理左右兩端的SIF 以及水平位移場(chǎng)隨時(shí)間的變化(圖11)進(jìn)行分析.由于全程采用同一速率的位移加載方式，加載時(shí)間和位移可看作正比例關(guān)系，根據(jù)應(yīng)力隨時(shí)間的變化，將圖11 中應(yīng)力、應(yīng)變—時(shí)間曲線(xiàn)劃分成壓密、彈性、屈服和應(yīng)變軟化4 個(gè)階段.

圖11 α=30°試樣應(yīng)力、節(jié)理兩端SIF 和水平位移場(chǎng)隨時(shí)間的變化Fig.11 Variation of stress,SIF at both ends of joints and horizontal displacement field with time in a specimen with α=30°

如圖11 所示，α=30°條件下節(jié)理左右兩端的SIF(KI_l、KII_l、KI_r和KII_r)隨應(yīng)力的增加基本呈線(xiàn)性增加的趨勢(shì)，這與花崗巖三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)中加載初期預(yù)制裂紋尖端KI未隨載荷的增加而增大[20]不同，但與文獻(xiàn)[24]中節(jié)理尖端的SIF 和應(yīng)力呈正比例關(guān)系相對(duì)應(yīng)，說(shuō)明文中所得結(jié)果與理論解更為接近，進(jìn)一步驗(yàn)證了基于DIC 求解節(jié)理尖端SIF 的準(zhǔn)確性.屈服階段后，同一荷載條件下，節(jié)理右端SIF 基本小于左端，說(shuō)明節(jié)理右側(cè)比左側(cè)節(jié)理更容易發(fā)生擴(kuò)展，這與節(jié)理右端裂隙比左端明顯相對(duì)應(yīng)；峰后節(jié)理左右兩端KII基本大于KI，微觀(guān)上節(jié)理尖端材料會(huì)先以張拉形式開(kāi)裂，宏觀(guān)擴(kuò)展多受剪切作用控制，與圖11 中應(yīng)變軟化階段12.54 MPa應(yīng)力水平時(shí)位移云圖中節(jié)理右端附近傾斜分布的等位移線(xiàn)有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也與圖7(a)中節(jié)理右端附近分布的宏觀(guān)剪切裂隙相對(duì)應(yīng).

4 損傷本構(gòu)模型分析

SIF 是求解巖體損傷變量的一個(gè)重要參數(shù)，目前多采用理論計(jì)算的方式獲得，本文首次提出通過(guò)對(duì)節(jié)理尖端SIF 與傾角關(guān)系進(jìn)行擬合，建立基于DIC 技術(shù)的不同傾角條件下起伏節(jié)理巖體損傷本構(gòu)方程.所得結(jié)果與巖體實(shí)際變形參數(shù)聯(lián)系更為緊密，可信度更高，為研究巖體損傷本構(gòu)特性的研究提供了一條新的思路.

荷載作用下巖石內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)損傷，根據(jù)巖體內(nèi)部基元體受荷破壞的統(tǒng)計(jì)學(xué)分布特征，采用Weibull 分布模型，根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變幾何條件[25]，可獲得巖石受荷損傷Ds演化方程[26]

式中，ε為試樣的實(shí)時(shí)應(yīng)變；φ(x)用于度量加載過(guò)程中巖石內(nèi)部基元體的損傷率；εf為峰值應(yīng)力 σf時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，εf=0.5489%；m為損傷演化參數(shù)，為完整試樣的彈性模量.

由文獻(xiàn)[27]可知預(yù)制節(jié)理?yè)p傷Dj和荷載損傷Ds對(duì)試樣造成的耦合總損傷Djs可用下式表示

單軸壓縮時(shí)，試樣單位體積彈性應(yīng)變能為[28]

式中，σ為試樣所受應(yīng)力.

彈性體中不含節(jié)理時(shí)，Dj=0，此時(shí)單位體積彈性應(yīng)變能為

將式(6)帶入式(9)，可得

斷裂力學(xué)中，求解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，單位體積巖體單組中心節(jié)理產(chǎn)生的附加彈性應(yīng)變能ΔU為[28]

式中，A為節(jié)理表面積，取A=31 cm2，ρV為節(jié)理體積密度，其計(jì)算可參考文獻(xiàn)[29]，這里取ρV=0.004 cm-3.

由式(12)可知節(jié)理對(duì)試樣造成的損傷受SIF和σ的共同影響，但實(shí)際中節(jié)理造成的損傷Dj為一個(gè)定值，又由文獻(xiàn)[24]可知受壓閉合裂隙的SIF與σ呈正比例關(guān)系，所以KI/σ和KII/σ為定值，圖11中SIF 隨σ的增大而增大，兩者呈正相關(guān)，基本符合這一規(guī)律.

由于節(jié)理起裂擴(kuò)展發(fā)生在峰值應(yīng)力附近，并且實(shí)際工程中巖體破壞通常在峰值應(yīng)力處發(fā)生，所以這里取峰值應(yīng)力處的Dj表征節(jié)理對(duì)試樣造成的定值損傷.對(duì)各試樣峰值應(yīng)力σmax時(shí)SIFP/σmax(KI_r/σmax、KII_r/σmax、KI_l/σmax和KII_l/σmax)與傾角α采用傅里葉函數(shù)(式13)進(jìn)行擬合，然后帶入式(12)即可確定Dj隨傾角的變化關(guān)系，擬合后的R2均大于0.95，擬合結(jié)果較好，說(shuō)明所選擬合函數(shù)具有合理性，擬合結(jié)果如圖12 所示.

圖12 不同傾角條件下節(jié)理尖端SIFP/σmax 和α 的擬合關(guān)系Fig.12 Fitting relationship between SIFP/σmax of joint tips and α in various deformation stages

式中，a0，a1，b1和w為擬合公式的系數(shù)，SIFP為峰值應(yīng)力時(shí)的SIF.各曲線(xiàn)的擬合系數(shù)如表2 所示.

表2 擬合曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)公式系數(shù)Table 2 Corresponding formula coefficient of a fitting curve

將式(13)帶入式(12)，節(jié)理?yè)p傷Dj隨傾角α變化如圖13 所示，兩者呈正弦曲線(xiàn)型，當(dāng)α=22.5°時(shí)，Dj有最小值為0.193，當(dāng)α=64.8°時(shí)，Dj有最大值為0.586.當(dāng)α=0°或90°時(shí)，Dj并非為最小損傷值，這與袁小清等[27]研究中對(duì)應(yīng)傾角條件下Dj=0 不同，實(shí)際中只要有節(jié)理存在巖體就會(huì)有損傷，所以基于DIC 技術(shù)的巖體損傷求解方法以室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際損傷值.

圖13 節(jié)理?yè)p傷Dj 隨節(jié)理傾角α 的變化Fig.13 Change in joint damage Dj with joint dip angle α

將式(5)和式(12)一起帶入式(6)即可獲得荷載條件下由節(jié)理傾角α和應(yīng)變?chǔ)艃蓞?shù)決定的耦合總損傷Djs，總損傷隨應(yīng)變的變化規(guī)律如圖14 所示.不同傾角條件下的Djs隨ε的增大大致呈“S”型變化關(guān)系，與汪杰等[30]的研究結(jié)果相同.當(dāng)ε=0 時(shí)，Djs為不同傾角條件下各試樣的初始損傷即節(jié)理?yè)p傷Dj.對(duì)于完整試樣，內(nèi)部沒(méi)有節(jié)理，可認(rèn)為初始損傷為零.開(kāi)始時(shí)總損傷緩慢增大，隨后快速增加，不同傾角試樣的總損傷曲線(xiàn)逐漸向彼此靠近，最后增長(zhǎng)速度減慢，總損傷穩(wěn)定在1，此時(shí)試樣完全破壞.

圖14 不同傾角條件下總損傷Djs 演化曲線(xiàn)Fig.14 Evolution curves of total damage Djs under various dip angles

根據(jù)Lemaitre 應(yīng)變等價(jià)原理[31]，可得不同傾角起伏節(jié)理巖體單軸壓縮作用下的損傷演化本構(gòu)方程

單軸壓縮條件下，不同傾角起伏節(jié)理試樣應(yīng)力隨應(yīng)變演化的計(jì)算結(jié)果如圖15 所示，對(duì)比圖4室內(nèi)試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)，兩者雖然有所差異，但各試樣的強(qiáng)度和彈性模量理論解均在一定范圍內(nèi)變化，與試驗(yàn)結(jié)果并未出現(xiàn)較大偏差.采用該方法可進(jìn)一步探究除本文以外的其他傾角條件下起伏節(jié)理試樣和不規(guī)則節(jié)理巖體的損傷本構(gòu)關(guān)系.

圖15 不同傾角條件下試樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.15 Stress-strain relationship under various dip angles

本文的研究方法以起伏節(jié)理巖體為載體但不限于起伏節(jié)理巖體，也可應(yīng)用于其他巖體工程穩(wěn)定性分析.條件允許的情況下，可直接現(xiàn)場(chǎng)鉆取不同傾角節(jié)理試樣，然后采用本文方法進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)及理論分析，建立巖體的損傷本構(gòu)模型，進(jìn)一步采用理論或數(shù)值模擬手段解決工程問(wèn)題.現(xiàn)場(chǎng)節(jié)理復(fù)雜的情況下，可進(jìn)行相似材料試驗(yàn)，基于3D打印技術(shù)從試樣尺度探究工程巖體的穩(wěn)定性.

5 結(jié)論

(1) 通過(guò)分析最小強(qiáng)度確定了起伏和平直節(jié)理對(duì)試樣強(qiáng)度損傷的上限為46.6%；受形貌特征的影響，起伏節(jié)理試樣比平直節(jié)理試樣具有更強(qiáng)的各向異性，強(qiáng)度對(duì)節(jié)理傾角的敏感性前者大于后者.不同傾角條件下起伏節(jié)理試樣強(qiáng)度的規(guī)律性較差，但在14.27～22.07 MPa 之間波動(dòng)，相對(duì)于完整試樣強(qiáng)度減小了17.3%～46.6%.

(2) 起裂發(fā)生在峰值應(yīng)力附近，峰后應(yīng)力降至峰值應(yīng)力的87.9%時(shí)，破裂路徑上分布有眾多微裂隙，應(yīng)力降至峰值應(yīng)力的63%時(shí)，微裂隙貫通成宏觀(guān)裂隙.起伏節(jié)理試樣的破裂模式比平直節(jié)理試樣復(fù)雜，主要表現(xiàn)為多條張剪裂隙組合的破裂模式，剪裂隙多分布在節(jié)理端部和附近位置，且在試樣兩端逐漸演化為張裂隙.

(3) 峰前加載階段節(jié)理尖端的SIF 隨荷載的增加而增加，兩者近似成正比關(guān)系.峰后節(jié)理右側(cè)SIF基本小于左側(cè)，說(shuō)明節(jié)理右側(cè)比左側(cè)更易擴(kuò)展；節(jié)理擴(kuò)展主要發(fā)生在峰后，兩端KII均大于KI，節(jié)理以剪切裂隙的擴(kuò)展，這與剪裂隙多分布在節(jié)理附近相對(duì)應(yīng).

(4) 節(jié)理左右兩端的起裂形式不同，但擴(kuò)展方式相同.應(yīng)力峰值和峰后時(shí)節(jié)理右端的KI＜KII，而節(jié)理左端峰值階段KI＞KII，峰后階段的KI＜KII，說(shuō)明節(jié)理右端起裂擴(kuò)展都以剪切形式發(fā)生，節(jié)理左端以張拉形式起裂，以剪切形式擴(kuò)展.

(5) 起伏節(jié)理對(duì)試樣的損傷Dj與傾角α呈正弦關(guān)系，當(dāng)α=22.5°時(shí)，Dj有最小值0.193，當(dāng)α=64.8°時(shí)，Dj有最大值0.586；總損傷與應(yīng)變大致呈“S”型曲線(xiàn)關(guān)系，隨應(yīng)變的增加各試樣總損傷逐漸接近并趨近于1.